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【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2课件:本章回顾1导数及其应用_图文

名师一号 ·高中同步学习方略 ·新课标A版 ·数学 ·选修2-2

第一章

导数及其应用

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第一章

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知识结构

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规律方法总结 一、导数的应用 1.导数的概念是本章学习的关键,它不但提供了一般的求导 方法,并且常见函数的导数,函数的和、差、积、商的导数法则 都是用定义得出的.

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2.函数求导的常用方法 (1)定义法:用定义求导的一般步骤: Δy ①求函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x);②求平均变化率 Δx = f?x+Δx?-f?x? Δy ;③取极限,得 f ′ (x) = lim . Δx Δx Δx→0 (2)公式法:对于较复杂的函数,在求导前应先对解析式进行 化简或变形,再用公式求导.

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(3)复合函数的求导方法:运用复合函数的求导法则y′x= y′u· u′x,但应注意以下几点: ①利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量 的函数,层层求导. ②要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混 淆,计算到最后,如(cos2x)′=-sin2x是错的,正确的是 (cos2x)′=-sin2x· (2x)′=-2sin2x. ③求复合函数的导数,关键是分清楚函数的复合关系,选好 中间变量.
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3.求曲线的切线方程 由于函数y=f(x)在x=x0处的导数,表示曲线在点P(x0,f(x0)) 处切线的斜率,因此,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程 可按如下求得: ①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率.

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②在已知切点坐标和切线斜率的条件下,可得切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). 如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线垂直于x轴时,此时导 数不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0.

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4.求函数的单调区间 只需解不等式f′(x)>0(增区间)或f′(x)<0(减区间),最后写单 调区间时要注意,各单调区间中间用“逗号”或用“和”“或” 隔开,千万不能用“∪”连接.

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5.点x0是函数f(x)的极值点,可推出f′(x0)=0,反过来, f′(x0)=0,x0不一定是函数f(x)的极值点,还要判断在x0的左右两 侧f′(x)符号是否相异,如果符号相异,是极值点,如果符号相 同,不是极值点.

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求函数极大(小)值的方法步骤:①确定函数定义区间,求导 数f′(x);②求方程f′(x)=0的根;③用函数的导数为0的点,从 小到大顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格, 检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在 这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极 小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.

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6.求函数最大(小)值的步骤是:①求f(x)在(a,b)内的极值; ②将f(x)的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为 最小值.在实际问题中,如果函数在定义域内只有一点使得f′(x) =0,此时,函数在此点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可 以知道这就是最大(小)值.

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二、定积分的应用 1.利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的 原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导函数是互逆运 算,因此应注意掌握常见函数的导数;此外,如果被积函数是绝 对值函数或分段函数,那么可以利用定积分的性质
?b ? ? ?a

f(x)dx=

?c ? ? ?a

b f(x)dx+ ? ? f(x)dx,根据函数的定义域,将积分区间分为几部分,代 ?
?c

入相应的解析式,分别求出积分值,相加即可.

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2.求平面图形的面积是定积分的最重要的应用之一,其基本 步骤是: ①根据题意画出图形; ②找出变量的取值范围,定出积分上、下限; ③确定被积函数; ④写出相应的定积分表达式; ⑤用微积分基本定理计算定积分,求得结果.

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3.做变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v
b =v(t)(v(t)≥0)在时间[a,b]上的定积分,即S=? ? v(t)dt. ?
?a

4.如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着 与F(x)相同的方向从x=a到x=b(a<b),那么变力F(x)所做的功W=
?b ? ? ?a

F(x)dx.

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数学思想方法 1.函数与方程的思想 函数的思想是用运动变化的观点,提出问题的数学特征,建 立各变量之间固有的函数关系,利用函数的性质,使问题得到解 决.方程的思想,就是分析各变量之间的等量关系,建立方程组 或构造方程,通过解方程或方程组或用方程的性质去分析转化问 题,使问题得到解决.

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π 【例1】 当x∈(0,2)时,证明:tanx>x. π 【分析】 构造函数f(x)=tanx-x.利用导数判断在x∈(0, ) 2 上的单调性.

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【证明】

π 设f(x)=tanx-x,x∈(0,2),

? sinx ? 则f′(x)=?cosx?′-1 ? ?

cos2x+sin2x = -1 cos2x sin2x = 2 =tan2x>0. cos x π ∴f(x)在(0,2)上是增函数.

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又f(x)=tanx-x在x=0处可导,且f(0)=0. π ∴当x∈(0, )时,f(x)>f(0)恒成立. 2 ∴tanx-x>0,即tanx>x.

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【例2】 已知f(x)=ax3+bx2+cx+d的定义域是R上的函 数,其图象交x轴于A,B,C三点,若点B的坐标为(2,0),且f(x)在 [-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调 性. (1)求c的值; (2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点 M处的切线斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请 说明理由.

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【解】 (1)由题可知f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反单调性, ∴x=0是f(x)的一个极值点,故f′(x)=0, 即3ax2+2bx+c=0有一个解为x=0,∴c=0. (2)∵f(x)交x轴于点B(2,0), ∴8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a). 令f′(x)=0,则3ax2+2bx=0, 2b ∴x1=0,x2=- . 3a ∵f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,

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2b b ∴2≤-3a≤4,∴-6≤a≤-3. 假设存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M处的切线斜率为3b,则
2 f′(x0)=3b,即3ax0 +2bx0-3b=0.

∵Δ=(2b) -4×3a×(-3b)=4b +36ab=4ab b 6≤a≤-3,∴Δ<0.

2

2

?b ? ? +9? ?a ?

,又-

∴不存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b.

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2.数形结合的思想 数形结合的思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联 系,既分析研究对象的代数含义,又揭示其几何意义,使数量关 系和空间图形巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种结合寻找 解题思路,使问题获得解决.

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【例3】 一张1.4

m高的图片挂在墙上,它的底边高于观察

者的眼1.8 m,问观察者应站在距离墙多远处看图,才能最清楚(即 视角最大,视角是指观察图片的上底的视线与观察图片下底的视 线所夹的角)?

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【解】 如图所示,AB=1.4 m,AO=1.8 m,要求解α的最 大值,由已知条件可转化为求tanα的最大值,从而求得距离OD.

设OD=x,∠ADO=β,∠BDO=γ. 3.2 1.8 则α=γ-β,tanγ= x ,tanβ= x ,

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3.2 1.8 tanγ-tanβ x-x 1.4x tanα=tan(γ-β)= = = 2 (x>0). 1+tanγtanβ 3.2×1.8 x +5.76 1+ x2 1.4?x2+5.76?-2x×1.4x 令(tanα)′= =0, ?x2+5.76?2 解得x=2.4,在x=2.4附近,导数值由正到负,在x=2.4 处,tanα取得最大值. 即观察者站在距离墙2.4 m处看图最清晰. m

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3.转化与化归的思想 转化与化归就是在处理问题时,把待解决的问题或难解决的 问题,通过某种转化过程,归结为一类已解决或易解决的问题, 最终求得问题的解答.

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【例4】

1 3 已知f(x)=-x +ax,其中a∈R,g(x)=- 2 x

3 2

,且

f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立.求实数a的取值范围.
【解】
3 1 2 设F(x)=f(x)-g(x)=-x +ax+ x , 2

3

∵f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立 ?F(x)<0在(0,1]上恒成立, 1 ∴a<x - x 2
2
1 2

,这样,要求a的取值范围,使得上式在区间
2

1 1 (0,1]上恒成立,只需求函数h(x)=x -2x 2 在(0,1]上的最小值.
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∵h′(x)=2x-

1 4 x

?2 x-1??4x+2 x+1? = , 4 x 由h′(x)=0,(2 x-1)(4x+2 x+1)=0. ∵4x+2 x+1>0, 1 ∴2 x-1=0,x= . 4

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1 又∵x∈(0,4]时,h′(x)<0, 1 x∈( ,1]时,h′(x)>0, 4 1 1 3 ∴x= 时,h(x)有最小值h( )=- , 4 4 16 3 ∴a<- . 16

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【例5】 若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递 增,求a的取值范围. 【分析】 由f(x)在R上为增函数知f′(x)>0,从而将问题转化 为一元二次不等式问题求解.

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【解】 由题意可得f′(x)=3ax2-2x+1. 因为f(x)在R上单调递增,所以f′(x)>0. 即3ax2-2x+1>0在R上恒成立.
? ?a>0, 即? ? ?Δ=4-12a<0,

1 所以a> . 3

1 又因为当a=3时,f(x)在R上也是递增的, 1 所以a≥3.

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4.分类讨论的思想 分类讨论通俗地讲就是“化整为零,各个击破”.或者说不 同的情况要采用不同的方法.解决这类问题的关键是弄清为什么 要分类,分类的标准是什么?最后如何整合?请看下面的例子.

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【例6】 已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,- 6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

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【解】 (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6), 得m-n=-3,① 由f(x)=x3+mx2+nx-2, 得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 2m+6 而g(x)的图象关于y轴对称,所以- =0. 2×3 所以m=-3,代入①得n=0.

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于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>0,得x<0,或x>2, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 由f′(x)<0,得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是(0,2).

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(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0,得x=0,或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表.

由此表可得:

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当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小 值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大 值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1,或a≥3时,f(x)无极值.
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