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高一数学 2.4《向量的数量积》学案(苏教版必修4)


一:学习目标 1.理解平面向量数量积的概念、两向量夹角的概念及其取值范围,学会运用概念 求两个向量的数量积。2.会解有关两向量平行及垂直的问题;3.学会运用向量 数量积的性质解决有关问题。 二、学习重点、难点 重点:平面向量数量积的概念,性质及运算律。 难点:平面向量数量积的重要性质及运算律的理解和运用 三:学习过程 问题 1: 我们已经学过了向量的哪些运算?运算的结果有什么特点?向量与向量之 间有没有乘法运算呢?运算的结果有什么特点?
[来源:学&科&网]

?? ? ?? ? 问题 2:物理课中,物体所做的功的计算方法:W ?| F || s | cos ? (其中 ? 是 F 与 s 的

夹角)从求功的运算中,你能抽象出什么样的数学运算?

问题 3:如何定义两向量的数量积?零向量有没有数量积?应该如何定义?

问题 4:对于公式中的两个非零向量的夹角 ? 是如何规定的?

思考:若两个向量的起点不同呢?

问题 5:根据向量的数量积的定义你还能得出它有哪些性质? (1) a ? b ? (2)当 a 与 b 同向时, a ? b = 特别地, a ? a =
? ? ? ? ? ? ? ?

当 a 与 b 反向时, a ? b = 或a=
?

?

?

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(3) cos ? ?

(4)当 a 与 b 夹角为锐角时,满足什么条件?

?

?

(5)当 a 与 b 夹角为钝角时,满足什么条件?

?

?

练习 1、判断下列说法是否正确: (1)向量的数量积可以是任意实数 (2)若 a =0,则对任意向量 b ,有 a ? b =0 (3)若 a ? 0 ,则对任意非零向量 b ,有 a ? b ? 0 (4)如果 a ? b ? 0 ,那么 a 和 b 的夹角为锐角 (5)若 a ? 0 , a ? b ? 0 则 b ? 0 (6)若 b ? 0 a ? b = b ? c 则 a ? c
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2、已知向量 a 和 b 的夹角为 ? , a =2, b =3,分别在下列条件下求 a ? b (1) ? ? 135 0
? ?

?

?

? ?

(2) a || b

(3) a ? b

?

?

问题 6:两个实数的运算 满足哪些运算律?类比到向量,两个向量的数量积满足怎样的运算 律?

问题 7:三个不共线的向量的数量积是否满足结合律?你能说明理由吗?
[来源:学科网]

四、阅读课本 77 页链接了解 a ? b 的几何意义。 五、课堂练习:课本第 89 页 六、巩固练习: 1、在 ?ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则 ?ABC 的形状是 2、下列命题中: (1) 若 a ? b ? 0 ,则 a 和 b 中至少有一个为 0 (2) 若 a ? 0 , a ? b = a ? c 则 b = c
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?

? ?

三角形

(3) 对任意向量 a , b , c ,有( a ? b ) c = a ( b ? c )

?

?2

(4) 对任意向量 a ,有 a = a 正确命题的 序号是
? ?
? ?

2

3、已知 a =6, b =4, a 与 b 的夹角为 120 0 ,则 a? (2 b )= 4、已知 a =2, b =3, a ? b = ? 3 2 ,则 a 与 b 的夹角 ? =
? ?
? ? ? ? ? ?

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5、已知 a =4, b =5, a - b )与( a +2 b )互相垂直,则 a 与 b 的夹角的余弦是 (3 6、若以 o 点为起点作向量 a , b ,使终点分别为 A, B ,且 a =2, b =2, a ? b =0,则 S ?AOB = 7、已知 a =6, b =4, a 与 b 的夹角为 60 0 ,则 a ? 2 b 等于 8、 已知 a + b = 2 i ? 8 j ,a - b = ? 8 i ? 16 j(其中 i 和 j 是互相垂直的单位向量) 那么 a ? b = , 9、已知 a = (m ? 1) i ? 3 j , b = i ? (m ? 1) j 其中 i 和 j 是互相垂直的单位向量。若( a + b )
? ? ?

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? ( a - b )则 m =
10、已知 a 与 b 满足 a ? b =
? ?

?

?

a?b

,求 a ? b

? ?

11、已知向量 e1 和 e2 是单位向量,它们的夹角为 60 0 ,求 e1 ? e2 和 2 e1 ? e2

?

?

?

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?

?

12、已知 a =3, b =4,且( a + k b ) ? ( a - k b ) ,求实数 k 的值

?

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13、设 m , n 是两个单位向量,其夹角为 60 0 ,试求 a =2 m + n 与 b =2 n -3 m 的夹角 ?

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§2.4 向量的数量积(2)
一、学习目标 1、学会平面两个向量数量积的坐标表示,

2、掌握平面两向量共线与垂直的坐标表示的充要条件。 3、掌握平面内两点间的距离公式 二、学习重、难点: 1、平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式; 2、向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。 3、向量数量积的运算律和运算律的理解;
三、学习过程: 问题 1:向量的加法、减法、实数与向量的积都可用坐标表示,那么向量的数量积能否用坐标 表示呢?若能?该如何表示?

?

?2

特别 地,设 a = ( x, y ) ,则 a =
? ?

,即 a ?

?

问题 2:你能用向量的数量积的坐标形式来表示两个向量的其他的一些问题吗? (1) 、设连个非零向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) ,它们的夹角为 ? ,则 cos ? ? (2) a ? b ? 、
?
? ?

(3) a = 、
? ?

(4) 、如果表示向量 a 的起点和终点的坐标分别为 A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,那么 a = AB = (5) a = AB ? 、
? ?

?

?

,----两点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 间的距离公式。
? ? ? ?

问题 3:已知 a = (2,?1) , b = (3,?2) ,你能求(3 a - b ) a -2 b )的值吗? (

问题 4:已知直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l 2: x ? 3 y ? 0 ,你能求出直线 l1 和直线 l 2 的夹角吗?

问题 5:已知 A(1,2), B (2,3), C (?2,5) ,试判断 ?ABC 的形状,并给出证明?

变式:在 ?ABC 中,设 AB ? (2,3), AC ? (1, k ) ,且 ?ABC 是直角三角形,求 k 的值。

[来源:学科网]

四、练习:书 80 页练习题 五、巩固练习: 1、设 a = (1,?1) , b = (2,2) 则向量 a 与 b 的夹角 ? =
?
? ? ? ?
[来源:Z。xx。k.Com]

2、设 a =(
? ? ?

3 1 , sin a ) , b =( cos a, )且 ? a ? b ,则 tan a ? 4 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

3、已知 a = ( 2,3) , b = (3,4) 则(5 a - b ) ? ( b -3 a )= 4、已知 a = (?1,3) , b = (2,?1) 。若( k a + b ) ? ( a -2 b ) ,则 k = 5、已知 a = (1, m) ,若 a ? 2 ,则 m 的取值范围是 6、在平行四边形 ABCD 中,已知 A(0,1),B(1, 0),C(4,2),则 BD ? 7、设 a = (1,2) , b = (?1, m) ,若 a 与 b 夹角为钝角,则 m 的取值 范围是
? ? ? ? ? ?

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?

8、已知 a = (1,2) , b = (x,1) ,且 a +2 b 与 2 a - b 平行,则实数 x = 9、已知 a = b =1, a + b =( ?
? ?
? ?

? ? 1 7 ,求 a ? b , ) 5 5

10、已知 a = (2,3) , b = (2,?1) , a + k b ) ? ( a - b ) (
? ?

?

?

?

?

?

?

(1)求 a 与 b 夹角的余弦
[来源:Z。xx。k.Com]

(2)求 k

11、已知 OA =(-3,1) OB =(0,5) , ,若 AC // OB , BC ? AB ,求点 C 的坐标

探究:已知 A(3,0), B (0,3), C (cos ? , cos ? ) (1) 、若 AC ? BC ?
? ?
? ?

2 ? , 且 ? ? ? ? , 求 cos ? ; 5 2
? ?

(2) 、若 OA? OC ? 13 且 ? ? (0, ? ), 求 OB 与 OC 的夹角


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