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【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1 第2课时 椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修1-1


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
圆锥曲线与方程

第二章
2.1 椭圆

第2课时 椭圆的简单几何性质

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

自主预习学案

1.理解椭圆的简单几何性质.

2.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.

重点:利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质.

难点:椭圆的几何性质的实际应用.

椭圆的简单几何性质思维导航
x2 y2 1.观察椭圆a2+b2=1(a>b>0)的形状,你能从图中看出它 的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?

新知导学

中心 对称图形,也 1.观察椭圆的图形可以发现,椭圆是______
2 2 x y 轴 对称图形.事实上,在椭圆方程 2 + 2 = 1 中以 是 _______ a b

x2 x y ,方程不变,∴椭圆 2 -x 、_______ -y 分别代替______ ______ 、_____ a y2 y轴 对称,从而 x轴 对称,又关于______ +b2=1(a>b>0)既关于_______

坐标原点 对称,椭圆的对称中心叫做椭圆的_______ 中心 . 关于__________

2.如图

x2 y2 ,椭圆 a2+b2 =1(a>b>0)与

它的对称轴共有四个交点,即 A1、A2 和 B1、B 2,这四个点叫

顶点 ,线段 A1A2 叫做椭圆的_______ 长轴 ,它的长等于 做椭圆的_______ 2a ;线段 B1B2 叫做椭圆的_______ 2b 显 短轴 ,它的长等于______. ______ 长轴 上. 然,椭圆的两个焦点在它的_______

思维导航
2 .观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样,哪些量 影响其扁平程度?怎样刻画? 新知导学 离心率 . 3.椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的__________

4.依据椭圆的几何性质填写下表:
标准方程 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) x2 y2 b2+a2=1(a>b>0)

图形

F F1(0,-c),F2(0,c) ________________ __________________ 焦点 1(-c,0),F2(c,0) 焦距 |F1F2|=2c(c= a2-b2) |F1F2|=2c(c= a2-b2) |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a ________________ ________________ 范围 性 对称性 x轴、y轴和原点 对称 关于________________ 质 顶点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) ________________ ________________ 2a 2b 轴 长轴长__________ ,短轴长__________ c 离心率 e=__________ (0<e<1) a

5.离心率对椭圆扁圆程度的影响 c c 如图所示,在 Rt△BF2O 中,cos∠BF2O=a,记 e=a则 0<e<1,e 越大,∠BF2O 越小,椭圆越扁;e 越小,∠BF2O 越 大,椭圆越圆.

6 .根据曲线的方程,研究曲线的几何性质,并正确地画 出它的图形,是解析几何的基本问题之一.本节就是根据椭圆 的标准方程来研究它的几何性质.其性质可分为两类:一类是 长、短轴长 、 ______ 焦距 、 与坐标系无关的本身固有性质,如 ____________ 离心率 ;一类是与坐标系有关的性质,如 __________ 顶点 、 __________ 焦点 __________ .

牛刀小试 1. (2014· 佛山质检)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点 恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( 1 A.3 3 C. 3
[答案] D

)

1 B.2 2 D. 2
依题意椭圆的焦距和短轴长相等,故 b=c,a2-

[解析]
2 2

2 c =c ,∴e= 2 .

2.(2014· 广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴, 1 离心率为3,长轴长为 12,则椭圆方程为( x2 y2 x2 y2 A.144+128=1 或128+144=1 x2 y2 B. 6 + 4 =1 x2 y2 x2 y2 C.36+32=1 或32+36=1 x2 y2 x2 y2 D. 4 + 6 =1 或 6 + 4 =1 )

[答案] C

[解析]

c 1 由条件知 a=6,e=a=3,∴c=2,∴b2=a2-c2

=32,故选 C.

3.已知椭圆的焦点 F1、F2 在 x 轴上,它与 y 轴的一个交 点为 P, 且△PF1F2 为正三角形, 且焦点到椭圆上的点的最短距 离为 3,则椭圆的方程为________.
x2 y2 [答案] 12+ 9 =1
[ 解析 ]

x2 y2 ∵椭圆的焦点在 x 轴上,则设方程为 a2 + b2 =

1(a>b>0),两焦点 F1(-c,0),F2(c,0),P(0,b). 不妨设 x 轴与椭圆的一个交点为 A(a,0), ∴c= a2-b2,

由△PF1F2 为正三角形可知:|PF1|=|PF2|=|F1F2|, ∴a=2c 又焦点到椭圆上的点的最短距离为 a-c, 于是 a-c= 3 由①②可得:a=2 3,c= 3,从而 b2=a2-c2=9. x 2 y2 ∴所求椭圆方程为12+ 9 =1. ② ①

4.求椭圆 9x2 +y2 =81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶
点坐标和离心率.
2 2 x y [解析] 将 9x2+y2=81 化为标准方程32+92=1,

∴椭圆长轴在 y 轴上,其中 a=9,b=3,c=6 2, ∴长轴长 2a=18, 短轴长 2b=6, 焦点坐标为 F1(0, -6 2)、 F2(0,6 2),顶点坐标为 A1(-3,0)、A2(3,0)、B1(0,-9)、B2(0,9). c 2 2 离心率为 e=a= 3 .

典例探究学案

椭圆的主要几何量
求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、 短轴长、 离心 率、焦点和顶点坐标.

[ 分析 ]

由题目可获取以下主要信息:①已知椭圆的方

程;②研究椭圆的几何性质.解答本题可先把方程化成标准形

式然后再写出性质.

x2 y2 [解析] 把已知方程化成标准方程16+ 9 =1, 于是 a=4,b=3,c= 16-9= 7, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a=8 和 2b=6, 离心率 e 7 c =a= 4 , 两个焦点坐标分别是(- 7,0),( 7,0), 四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3),(0,3).

[方法规律总结] 由椭圆方程讨论其几何性质的步骤: (1)化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个轴上. (2)由标准形式求a、b、c,写出其几何性质.

求椭圆25x2+16y2=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点 坐标和顶点坐标.

y2 x2 [解析] 将方程变形为25+16=1,得 a=5,b=4,所以 c =3,故椭圆的长轴和短轴的长分别为 2a=10,2b=8,离心率 e c 3 =a=5,焦点坐标 F1(0,-3),F2(0,3),顶点坐标为 A1(0,- 5),A2(0,5),B1(-4,0),B2(4,0).

利用椭圆的几何性质求标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程. 6 (1)椭圆过点(3,0),离心率 e= 3 ; (2)在 x 轴上的一个焦点, 与短轴两个端点的连线互相垂直, 且焦距为 8.

[分析] 1.求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置, 不 能确定的要分情况讨论,然后设出标准方程,再用待定系数法 确定 a、b、c. c 2.(1)中由离心率 e=a,及 a2=b2+c2 可知椭圆的标准方 程中只有一个待定系数,再由过点(3,0)可求之. (2)设短轴端点为 A,F 为一个焦点,由条件知△OAF 为等 腰直角三角形,于是 a、b、c 可求之.

[解析] (1)若焦点在 x 轴上,则 a=3, 6 c ∵e=a= 3 , ∴c= 6,∴b2=a2-c2=9-6=3. x2 y2 ∴椭圆的方程为 9 + 3 =1. 若焦点在 y 轴上,则 b=3, b2 9 6 c ∵e=a= 1-a2= 1-a2= 3 , 解得 a2=27. y2 x2 ∴椭圆的方程为27+ 9 =1. x2 y2 y2 x2 综上可知椭圆方程为 9 + 3 =1 或27+ 9 =1.

x 2 y2 (2)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32, x2 y2 故所求椭圆的方程为32+16=1.

[方法规律总结 ]

已知椭圆的几何性质,求其标准方程主

要采用待定系数法,解题步骤为:(1)确定焦点所在的位置,以 确定椭圆方程的形式;(2)确立关于a、b、c的方程(组),求出参

数a、b、c;(3)写出标准方程.

已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 2 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________.

x2 y2 [答案] 36+ 9 =1

x 2 y2 [解析] 依题意设椭圆 G 的方程为a2+b2=1(a>b>0). ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12, ∴2a=12?a=6. 3 ∵椭圆的离心率为 2 , a2-b2 36-b2 3 3 ∴ a = 2 ,∴ =2, 6 解得 b2=9, x 2 y2 ∴椭圆 G 的方程为36+ 9 =1.

求椭圆的离心率

A 为 y 轴上一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,△ AF1F2 为正三角形,且 AF1 的中点 B 恰好在椭圆上,求此椭圆 的离心率. [解析] 如图,连接BF2.

∵△AF1F2 为正三角形, 且 B 为线段 AF1 的中点. ∴F2B⊥BF1. 又∵∠BF2F1=30° ,|F1F2|=2c, ∴|BF1|=c,|BF2|= 3c, 由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a, 即 c+ 3c=2a, c ∴a= 3-1. ∴椭圆的离心率 e= 3-1.

[方法规律总结]

求椭圆离心率的值或取值范围问题,就

是寻求 a、b、c 的方程或不等式的问题. c (1)若已知 a、c 可直接代入 e=a求得; (2)若已知 a、b 则使用 e= b2 1-a2求解;

(3)若已知b、c,则求a,再利用(1)或(2)求解; (4) 若已知 a 、 b 、 c 的关系,可转化为关于离心率 e 的方程 (不等式)求值(范围). (5) 给出图形的问题,先由图形和条件找到 a 、 b 、 c 的关

系,再列方程(不等式)求解.

若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是( 4 A.5 2 C.5
[答案] B

) 3 B.5 1 D.5

[解析] 由题意得 4b=2a+2c, ∴2b=a+c,即 4b2=a2+2ac+c2, 又∵b2=a2-c2, ∴5c2+2ac-3a2=0, ∴5e2+2e-3=0, 3 ∵0<e<1,∴e=5.

x2 y2 若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 5 +m= 1 总有公共点,求 m 的取值范围.
[解题思路探究 ] 第一步,审题:审结论明确解题方向,

求 m 的取值范围,需利用条件建立关于 m 的不等式求解;审条

件,发掘解题信息,直线与椭圆有公共点,则联立方程组有
解,焦点在x轴上,则x2项的分母较大.

第二步,建联系,找解题突破口,确定解答步骤.由直线 过定点,若定点在椭圆上或椭圆内,则直线与椭圆有公共点; 将直线与椭圆方程联立消元,当 Δ≥0 时,直线与椭圆有公共 点.

第三步,规范解答.

y=kx+1, ? ? 2 2 [解析] 由?x y 消去 y, 得(m+5k2)x2+10kx+5(1 + =1, ? ?5 m -m)=0, ∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1). ∵直线与椭圆总有公共点, ∴Δ≥0 对任意 k∈R 都成立. ∵m>0,∴5k2≥1-m 恒成立,∴1-m≤0,即 m≥1. 又椭圆的焦点在 x 轴上,∴0<m<5,∴1≤m<5.

忽视焦点位置致误 已知椭圆的中心在原点, 对称轴是坐标轴, 离心 3 率 e= 2 ,且过点 P(2,3),求此椭圆的标准方程.

x2 y2 [错解] 设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0), 3 ?c ?a= 2 ? 由题意知? 4 9 ?a2+b2=1 ? 2 2 2 ? a =b + c

,解得 b2=10,a2=40.

x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为40+10=1.

[辨析]

上述解法没有讨论焦点的位置,而默认了椭圆的

焦点在x轴上.

[正解] (1)当焦点在 x 轴上时,解法同上,所求椭圆的标 x2 y2 准方程为40+10=1. y2 x2 (2)当焦点在 y 轴上时, 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 由 3 ?c ?a= 2 ? 题意得? 9 4 ?a2+b2=1 ? 2 2 2 ?c =a -b

25 2 ,解得 b = 4 ,a =25,所以所求椭圆的
2

y2 4x2 标准方程为25+ 25 =1.

x2 y 2 y2 4x2 综上,所求椭圆的标准方程为40+10=1 或25+ 25 =1.


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