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中国石油大学 大物2-1 7章习题解答03--


习题 7 7-1. 选择题 1.若理想气体的体积为 V,压强为 p,温度为 T,一个分子的质量为 m0,k 为玻耳兹曼常 量,R 为摩尔气体常量,则该理想气体的分子数为( ) (A) pV/m0 (B) pV/ (kT) (C) pV /(RT) (D) pV/(m0T) 2.关于温度的意义,有下列几种说法 (1) 气体的温度是分子平均动能的量度 (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现,具有统计意义 (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同 (4) 从微观上看,气体的温度表示每个气体分子的冷热程度 上述说法中正确的是( ) (A) (1)、(2)、(4) (B) (1)、(2)、(3) (C) (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4) 3.三个容器 A、B、C 中装有同种理想气体,其分子数密度 n 相同,而方均根速率之比
2 1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2 为 (v A 2∶ 4,则其压强之比 pA∶ pB∶ pC 为( ) (vC ) = 1∶ ) ∶ (vB ) ∶ (A) 1∶ 2∶ 4 (B) 4∶ 2∶ 1 (C) 1∶ 4∶ 16 (D) 1∶ 4∶ 8 4.下列各式中表示气体分子的平均平动动能的是( )。(式中,m 为气体的质量,m0 为 气体分子质量,M 为气体的摩尔质量;n 为气体分子数密度,NA 为阿伏伽德罗常数,V 为 气体的体积) (A) [3m0/(2m)] pV (B) [3m/(2M)] pV (C) (3/2)npV (D) [3M/(2m)] NApV 5.一容器内装有 N1 个单原子理想气体分子和 N2 个刚性双原子理想气体分子,当该系统 处在温度为 T 的平衡态时,其内能为( ) (A) (N1+N2) [(3/2)kT+(5/2)kT] (B) (1 /2 ) (N 1+N2) [(3/2)kT+(5/2)kT] (C) (3/2) N1kT+ (5/2) N2kT (D) (5/2) N1kT+ (3/2) N2KT 6.已知一定量的某种理想气体,在温度为 T1 与 T2 时的分子最可几速率分别为 vp1 和 vp2, 分子速率分布函数的最大值分别为 f(vp1)和 f(vp2) 。如果已知 T1>T2,则( ) (A) vp1>vp2 f(vp1)>f(vp2) (B) vp1>vp2 f(vp1)<f(vp2) (C) vp1<vp2 f(vp1)>f(vp2) (D) vp1<vp2 f(vp1)<f(vp2) 7.两种不同的理想气体,若它们的最概然速率相等,则它们的( ) (A) 平均速率相等,方均根速率相等 (B) 平均速率相等,方均根速率不相等 (C) 平均速率不相等,方均根速率相等 (D) 平均速率不相等,方均根速率不相等 f (v ) 8.麦克斯韦速率分布曲线如习题 7-1(8) 图所示,图中 A、 B 两部分面积相等,则该图表示 ( ) (A) v0 为最可几速率。 A B (B) v0 为平均速率。 (C) v0 为方均根速率。 O v v0 (D) 速率大于和小于 v0 的分子数各占一半。 9.玻尔兹曼分布律表明:在某一温度的平衡态,有 习题 7-1(8)图 (1) 分布在某一区间(坐标区间和速度区间)的分子数,与 该区间粒子的能量成正比 (2) 在同样大小的各区间(坐标区间和速度区间)中,能量较大的分子数较少;能量较小 的分子数较多

(3) 大小相等的各区间(坐标区间和速度区间)中比较,分子总是处于低能态的几率大些 (4) 分布在某一坐标区间内、具有各种速度的分子总数只与坐标区间的间隔成正比,与 粒子能量无关 以上四种说法中,正确的是( ) (A) 只有(1)、(2) (B) 只有(2)、(3) (C) 只有(1)、(2)、( 3) (D) 全部正确 10.一定量的某种理想气体若体积保持不变,则其平均自由程 ? 和平均碰撞次数 z 与温度 的关系是( ) (A) 温度升高, ? 减少而 z 增大 (B) 温度升高, ? 增大而 z 减少 (C) 温度升高, ? 和 z 均增大 (D) 温度升高, ? 保持不变而 z 增大 7-2.填空题 1.在推导理想气体压强公式中,体现统计意义的两条假设是: (1)_______________________________________________________; (2)_______________________________________________________。 2. 如习题 7-2(2)图所示,两个容器容积相等,分别储有 ▆ N2 O2 相同质量的 N2 和 O2 气体,它们用光滑细管相连通,管子 中置一小滴水银,两边的温度差为 30K,当水银滴在正中 习题 7-2(2)图 不 动 时 , N2 和 O2 的 温 度 为 TN ,
2

TO

2

=

。( N2 的摩尔质量为 28 ?10?3 kg ? mol?1 ,O2 的摩尔质量为 32 ?10?3 kg ? mol?1 ) . 。

3. 自由度为 i 的一定量刚性分子理想气体, 当其体积为 V、 压强为 p 时, 其内能 E= 4 . 已 知 f (v) 为 麦 克 斯 韦 速 率 分 布 函 数 ,vp 为 分 子 的 最 概 然 速 率 , 则 示 ;速率 v > vp 的分子的平均速率表达式为 5. 习题 7-2(5) 图所示的曲线为处于同一温度 T 时氦(原 f (v ) (a) 子量 4) 、氖(原子量 20)和氩(原子量 40)三种气体分子 的速率分布曲线,其中曲线(a)是__________________气分子 的速率分布曲线;曲线(c)是__________________气分子的速 率分布曲线。 答案: 7-1.选择题 O 1.B;2.B;3.C;4.A;5.C;6.B;7.A;8.D; 9.B;10.D 7-2.填空题 1.沿空间各方向运动的分子数相等;vx2=vy2=vz2 2. 210K,240K 3.
i 2 pV
?
p

?

vp

0

f ? v ? dv 表

(b )
(c )

v
习题7-2(5)图

4. 速率在 0~vp 范围内的分子数占总分子数的比率; ?v 5. 氩;氦

vf ? v ? dv / ? f ? v ? dv
vp

?

7-3.在体积为 2.0× 10-3m3 的容器中,有内能为 6.75× 102J 的刚性双原子分子理想气体。 试求: (1) 气体的压强; (2) 分子的平均平动动能及气体的温度(设分子总数为 5.4× 1022 个) 。 [解] (1)理想气体的内能

i E ? N ? kT 2

(1)

压强

p ? nkT ?

N kT V

(2)

由(1)、(2)两式可得 (2) 由 E ? N ? kT

p?

2E ? 1.35 ? 10 5 Pa 5V

i 2E 则 T? ? 362 K 2 5kN 3 3 又 w ? kT ? ? 1.38 ? 10 ?23 ? 362 ? 7.5 ? 10 ?21 J 2 2

7-4.容器内储有氧气,其压强为 p = 1.01× 10 5 Pa,温度为 t= 27℃ 。试求: (1)单位体积内的分子数; (2)分子的平均平动动能。 解: (1)由 p ? nkT

p 1.01?105 ? ? 2.44 ?1025 m-3 kT 1.38 ?10?23 ? 300 3 3 ? 23 ? 21 (2) w ? kT ? ? 1.38 ? 10 ? 300 ? 6.21 ? 10 J 2 2 n?
7-5.容器内某理想气体的温度 T=273K、压强 p=1.00 × 10-3atm(1atm=1.013?105Pa) ,密 ?3 度为 ? ? 1.25g ? m 。试求: (1)气体的摩尔质量; (2)气体分子运动的方均根速率; (3)气体分子的平均平动动能和转动动能; (4)单位体积内气体分子的总平动动能; (5)0.3mol 该气体的内能。 [解] (1) 气体的摩尔质量

M mol ? N 0 m ? N 0

?kT
p

1.25? 10?3 ? 1.38? 10?23 ? 273 ? 6.02 ? 10 ? ? 0.028kg ? mol-1 ?3 5 1.00? 10 ? 1.013? 10
23

所以该气体是 N 2 或 CO (2) 由 P ? nkT 所以 得

n?

P kT

m?

?
n

?

?kT
P

所以

?2 ?

3kT 3kT 3P 3 ? 1.00 ? 10 ?3 ? 1.013 ? 10 ?3 m ? s-1 ? ?P ? ? ?493 ?3 m ?kT ? 1.25 ? 10

(3) 气体分子的平均平动动能

? ? kT ? ? 1.38 ? 10?23 ? 273 ? 5.65 ? 10 ?21 J

3 2

3 2

气体分子的转动动能

? 2 ? kT ? 1.38 ? 10?23 ? 273 ? 3.77 ? 10?21 J
(4) 单位体积内气体分子的总平动动能

2 2

E ? n? 1 ?

p 3 3 3 ? kT ? p ? ? 1.00 ? 10 ?3 ? 1.013 ? 10 5 ? 1.52 ? 10 2 J ? m -3 kT 2 2 2

(5) 该气体的内能

i 5 E ? 0.3Emol ? 0.3 ? RT ? 0.3 ? ? 8.31? 273 ? 1.701? 103 J 2 2
(删除)7-6.设 N 个粒子的系统的速率分布函数为:dNv=kdv (V>v>0,k 为常量),dNv=0 (v> V), (1) 画出分布函数图; (2)用 N 和 v 定出常量 k; (3) 用 V 表示出算术平均速率和方均根 速率。 7-7.有 N 个质量均为 m0 的同种气体分子,f(v)是速率分布函数,N f(v)随速率的分布如习 题 7-7 图所示。试问: (1)曲线与横坐标所包围面积的含义; (2)由 N 和 v0 求 a 值; (3)在速率 v0 到 3v0 间隔内的分子数;
2 2

(4)分子的平均平动动能。 解: (1)曲线下的面积表示总分子数 N (2)根据图可得

Nf (v)

a

?a ?v v ? 0 Nf (v) ? ? ?a ? ?0

(v0 ? v ? 0) (2v0 ? v ? v0 ) (其他)
O

v0

2v0

v

总分子数可表示为:

?

?

0

Nf (v)dv ? N ,

习题7-7图

1 av0 ? a (2v0 ? v0 ) ? N 2 3 2N v0 a ? N , a ? 2 3v0
(3)在速率 v0 到 3v0 间隔内的分子数为:
2 2
3v0 2 v0 2
0 a 3 1 7 vdv ? ? 2 adv ? av0 ? av0 ? av0 v0 v0 8 2 12

?

Nf (v)dv ? ?v0
2

v0

3v

(4)速率分布函数为

? a ? Nv v 0 ? ? f (v ) ? ? a ?N ? ? 0 ?

(v0 ? v ? 0) (2v0 ? v ? v0 ) (其他)

则分子的平均平动动能为:

v0 1 2v0 1 ma 7m a 1 a a 31 m0av03 m0v2 f (v)dv ? ? m0v2 vdv ? ? m0v 2 dv ? 0 v03 ? 0 v03 ? 0 2 0 2 v0 2 v0 N N 8N 6N 24 N 2N 又因为 a ? , 3v0

w??

?

w?

31 m0v03 2 N 31 ? ? m0v0 2 24 N 3v0 36

7-8.设地球大气是等温的,温度为 17℃ ,海平面上的气压为 P0=1.0× 105pa,已知某地的
?3 ?1 海拔高度为 h=2000 m,空气的摩尔质量 29 ?10 kg ? mol ,试求该地的气压值。

解: p ? p0 e

?

m0 gz kT

? p0 e

?

Mgz RT

? 1.01? 10 ? e
5

?

29?10?3 ?10? 2000 8.31?(273?17)

? 7.95 ? 10 4 Pa

7-9.试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率,取分子有效直径为 ?3 ?1 3.5× 10-10m,空气平均摩尔质量为 29 ?10 kg ? mol 。 解: ? ?

kT 1.38? 10-23 ? 273 ? ? 6.85? 10-8 m 2 -10 2 5 2πd p 2 ? 3.14? ?3.5 ? 10 ? ? 1.01? 10

v?

8RT 8 ? 8.31? 273 ? m ? s ?1 ? 4.46? 102 m ? s ?1 πM 3.14? 29? 10?3 v 4.46? 102 ?1 z? ? s ? 6.54? 109 s ?1 ?8 ? 6.85? 10

7-10.设氮分子的有效直径为 10-10m,试求: (1)氮气在标准状态下的平均碰撞次数; (2)如果温度不变,气压降到 1.33× 10-4 Pa 时的平均碰撞次数。 解: (1)分子的平均速率

v?

8RT 8 ? 8.31? 273 ? m ? s ?1 ? 4.54? 102 m ? s ?1 ?3 πM 3.14? 28? 10
p 1.013? 105 ? m ?3 ? 2.69 ? 1025 m ?3 ? 23 kT 1.38? 10 ? 273
2

由气体的压强公式可求得气体分子的数密度

n?
平均碰撞次数

z ? 2n?d 2 v ? 2 ? 2.69 ? 10 25 ? 3.14 ? ?10 -10 ? ? 4.54 ? 10 2

? 5.42 ? 10 8 次? s -1
(2)温度不变的情况下,分子的平均速率不变,又因为

z ? 2n?d v ?
2

2 p?d 2v z p ,所以 1 ? 1 kT z 2 p2

p2 1.33? 104 z2 ? z1 ? ? 5.42? 108 ? 7.14? 107 次? s-1 5 p1 1.01? 10
7-11.设电子管内温度为 300 K,如果要管内分子的平均自由程大于 10cm 时,则应将它 抽到多大压强?(分子有效直径约为 3.0× 10-8 cm)。

解:气体分子的平均自由程为:

??

1 ? 2πd 2 n

kT ,要使自由程大于 ?0 ? 10cm, 2πd 2 p

则有

kT ? ?0 ,最大气压为 2πd 2 p

p?

kT 1.38? 10?23 ? 300 ? ? 0.1036 Pa 2 2πd 2?0 2 ? 3.14? ?3.0 ? 10?10 ? ? 0.1

第二版补充: 1. 一 容积为 10cm 3 的 电子管 ,当 温度为 300K 时, 用真 空泵把管 内空气抽 成压 强为

5 ? 10 ?6 mmHg 的真空,问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转
动动能是多少?总动能是多少? [解] 由理想气体状态方程 P ?

N kT V



N?

PV 5 ? 10 ?6 ? 1.013 ? 10 5 ? 10 ? 10 ?6 ? ? 1.61 ? 1012 ? 23 kT 760 ? 1.38 ? 10 ? 300

一个理想气体分子的平均平动动能为: 所以总的平均动能为:

e1 ?

i 3 kT ? kT 2 2

E1 ? N

3 PV 3 3 3 5 ? 10 ?6 ? 1.013 ? 10 5 kT ? ? kT ? PV ? ? 1.0 ? 10 ?6 ? 1 ? 10 ?8 J 2 kT 2 2 2 760

将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成,而每一个双原子分子的平均转动动能 为

r 2 e2 ? kT ? kT ? kT 2 2
所以总的转动动能为:

E 2 ? N e2 ?

PV 5 ? 10 ?6 ? 1.013 ? 10 5 kT ? PV ? ? 10 ? 10 ?6 ? 0.667 ? 10 ?8 J kT 760

总动能 Ek ? E1 ? E2 ? 1.667 ? 10?8 J

2. 容积为 10 ? 10 ?3 m 3 的容器以速率 200m s 匀速运动,容器中充有质量为 50g, 温度为 18℃ 的氢气。设容器突然静止,全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能,若容器与外界 没有热交换,达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。

[解] 由能量守恒定律知 又因

1 Mv 2 ? ?E k 2

?E k ?

M i M 5 RT ? RT M mol 2 M mol 2

所以

?T ?

M mol 2 mv 2 3.35 ? 10 ?27 ? 4 ? 10 4 v ? ? ? 1.9K 5R 5k 5 ? 1.38 ? 10 ? 23



p?

N kT V

?p ?

N Mk?T 50 ? 10 ?3 ? 1.38 ? 10 ?23 ? 1.9 k ? ?T ? ? ? 3.95 ? 10 4 Pa ? 27 ?3 V mV 3.35 ? 10 ? 10 ? 10
容积为 30 ? 10 ?3 m 3 的容器中,贮有 20 ? 10?3 kg 的气体,其压强为 50.7 ? 10 3 Pa 。求

3.

气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。 [解] 设容器内气体分子总数为 N,则有 N ? 该气体分子质量为 最概然速率为

pV kT

m?

M kT ?M N pV

vp ?

2 pV 2kT 2kT pV 2 ? 50.7 ? 103 ? 30 ? 10 ?3 ? ? ? ? 3.89 ? 10 2 m s ?3 m M kT M 20 ? 10

平均速率为

v?

pV 8kT kT 50.7 ? 103 ? 30 ? 10 ?3 ? 1.60 ? 1.60 ? 1.60 ? ? 4.39 ? 10 2 m s ?m m M 20 ? 10 ?3

方均根速率

v2 ?

pV 3kT kT 50.7 ? 103 ? 30 ? 10 ?3 ? 1.73 ? 1.73 ? 1.73 ? ? 4.77 ? 10 2 m s ?3 m m M 20 ? 10


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