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【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第6讲 解析几何课件_图文

第四篇

回归教材,纠错例析,帮你减少高考失分点

6.解析几何

栏目索引

要点回扣 易错警示

查缺补漏

要点回扣
1.直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0,π). (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条 直线的斜率k,即k=tan α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有 斜率;②斜率公式:经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜 证明三点共线:kAB=kBC.

y1-y2 率为k= (x1≠x2);③直线的方向向量a=(1,k);④应用: x1-x2

问题1

(1)直线的倾斜角 θ越大,斜率k就越大,这种说法

正确吗? 答案 错
(2)直线 xcos θ+ 3y-2=0 的倾斜角的范围是 π 5π [0,6]∪[ 6 ,π) ______________.

2.直线的方程
(1) 点斜式:已知直线过点 (x0 , y0) ,其斜率为 k ,则直线方

程为y-y0=k(x-x0),它不包括垂直于x轴的直线.
(2)斜截式:已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k,则直线 方程为y=kx+b,它不包括垂直于x轴的直线.
(3)两点式:已知直线经过 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,则直 y-y1 x-x1 线方程为 = ,它不包括垂直于坐标轴的直线. y2-y1 x2-x1

(4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a,b,则直 x y 线方程为a+b=1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点 的直线.

(5)一般式:任何直线均可写成 Ax+By+C=0(A,B不同时
为0)的形式.

问题2

已知直线过点P(1,5),且在两坐标轴上的截距相等,

5x-y=0或x+y-6=0 则此直线的方程为_____________________.

3.点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1) 点 P(x0 , y0) 到 直 线 Ax + By + C = 0 的 距 离 为 d = |Ax0+By0+C| ; 2 2 A +B
(2)两平行线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 间的距 |C1-C2| 离为 d= 2 2. A +B

问题3 两平行直线3x+2y-5=0与6x+4y+5=0间的距离 15 13 26 为________.

4.两直线的平行与垂直 (1)l1 :y =k1x +b1, l2 : y= k2x+ b2( 两直线斜率存在,且不 重合),则有l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1· k2=-1. (2)l1 : A1x + B1y + C1 = 0 , l2 : A2x + B2y + C2 = 0 , 则 有

l1∥l2?A1B2 - A2B1 = 0 且 B1C2 - B2C1≠0 ; l1⊥l2?A1A2 +
B1B2=0.

A 1 B 1 C1 A 1 B 1 A 1 B 1 C1 特别提醒:(1)A =B ≠C 、A ≠B 、A =B =C 仅是两直线 2 2 2 2 2 2 2 2 平行、相交、重合的充分不必要条件; (2)在解析几何中, 研究两条直线的位臵关系时,有可能这两条直线重合,而在 立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线.

设直线l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0, 1 -1 时, l1∥l2 ;当 m = ________ 当 m = ________ 时, l1⊥l2 ;当 2 问题4 3 m≠3且m≠-1 时 l1 与 l2 相交;当 m = ________ _______________ 时, l1 与 l2 重合.

5.圆的方程

(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 只有当 D2+E2-4F>0 时, 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 才表 1 D E 示圆心为(- 2 ,- 2 ),半径为2 D2+E2-4F的圆.

问题5

若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a=

-1 ________.

6.直线、圆的位臵关系

(1)直线与圆的位臵关系
直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)有 相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断: ①代数方法 ( 判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情 况 ): Δ>0? 相交;Δ<0?相离;Δ=0?相切;②几何方法 ( 比较圆心到直线的距离与半径的大小 ):设圆心到直线的 距离为d,则d<r?相交;d>r?相离;d=r?相切.

(2)圆与圆的位臵关系

已知两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,则①
当 |O1O2|>r1 + r2 时,两圆外离;②当 |O1O2| = r1 + r2 时,两

圆外切;③当 |r1 - r2|<|O1O2|<r1 + r2 时,两圆相交;④当
|O1O2|=|r1-r2|时,两圆内切;⑤当0≤|O1O2|<|r1-r2|时,

两圆内含.

x2 y2 问题 6 双曲线a2-b2=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径

内切 的两圆的位臵关系为________.

7.对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”,抓住关键词, 例如椭圆中定长大于定点之间的距离,双曲线定义中是到 两定点距离之差的“绝对值”,否则只是双曲线的其中一 支.在抛物线的定义中必须注意条件:F ? l,否则定点的轨 迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线.

问题7

已知平面内两定点A(0,1),B(0,-1),动点M

到两定点A、B的距离之和为4,则动点M的轨迹方程是 x2 y2 + 4 =1 3 ____________.

8. 求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程,一般遵循先定位, 再定型,后定量的步骤,即先确定焦点的位臵,再设出其 方程,求出待定系数.
x2 y2 (1)椭圆的标准方程:焦点在 x 轴上,a2+b2=1(a>b>0);焦 y2 x2 点在 y 轴上,a2+b2=1(a>b>0).

x2 y2 (2)双曲线的标准方程: 焦点在 x 轴上, b>0); a2-b2=1(a>0, y2 x2 焦点在 y 轴上,a2-b2=1(a>0,b>0). x2 y2 x2 y2 (3)与双曲线a2-b2=1 具有共同渐近线的双曲线系为a2-b2
=λ(λ≠0). (4)抛物线的标准方程

焦点在x轴上:y2=±2px(p>0);
焦点在y轴上:x2=±2py(p>0).

x2 y2 问题 8 与双曲线 9 -16=1 有相同的渐近线,且过点 4x2 y2 - 4 =1 9 (-3,2 3)的双曲线方程为_______________.

9.(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程
中要注意二次项的系数是否为零,利用解的情况可判断

位臵关系:有两解时相交;无解时相离;有唯一解时,
在椭圆中相切.在双曲线中需注意直线与渐近线的关系, 在抛物线中需注意直线与对称轴的关系,而后判断是否 相切.

(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为 k的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1 ,y1),P2(x2, y2) , 则所得弦长
|P1P2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]或 |P1P2|= 1 ?1+k2?[?y1+y2?2-4y1y2].

(3)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 C(x1, p y1)、D(x2,y2),则①焦半径|CF|=x1+2;②弦长|CD|=x1+ p2 x2+p;③x1x2= 4 ,y1y2=-p2.

问题9

已知F是抛物线 y2= x的焦点,A,B是该抛物线上

的两点, |AF| + |BF| = 3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 5 ________. 4
1 解析 ∵|AF|+|BF|=xA+xB+2=3, 5 ∴xA+xB=2. xA+xB 5 ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 2 =4.

易错警示 易错点1 直线的倾斜角与斜率关系不清
例1 4 已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切 e +1

线的倾斜角,则 α 的取值范围是______.

错因分析

本题易出现的错误有两个:一是利用导函数的

几何意义求出曲线在点P处的切线的斜率之后,不能利用

基本不等式求出斜率的取值范围;二是混淆直线倾斜角的
取值范围以及直线的倾斜角和斜率之间的关系,不能求出 倾斜角的取值范围. 解析 设曲线在点P处的切线斜率为k,
-4ex -4 则 k=y′= , x 2= 1 ?1+e ? ex+ex+2

因为ex>0,所以由基本不等式,
得 k≥ 2 -4 1 e ×ex+2
x

又k<0,所以-1≤k<0,
3π 即-1≤tan α<0.所以 4 ≤α<π. 3π 答案 [ 4 ,π)

易错点2 忽视直线的特殊位置 例2 已知l1 : 3x +2ay -5=0 ,l2 : (3a-1)x -ay-2= 0. 求

使l1∥l2的a的值. 错因分析 本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特

殊情况,即忽视a=0的情况.

解 当直线斜率不存在,即a=0时, 有l1:3x-5=0,l2:-x-2=0,符合l1∥l2;
3 3a-1 1 当直线斜率存在时,l1∥l2?-2a= a ?a=-6, 1 经检验,a=-6符合题意. 1 故使 l1∥l2 的 a 的值为-6或 0.

易错点3 焦点位置考虑不全
x2 y2 3 例 3 已知椭圆 4 +m=1 的离心率等于 2 , 则 m=________.

错因分析

本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭

圆,其焦点在x轴上导致漏解.该题虽然给出了椭圆的方程, 但并没有确定焦点所在坐标轴,所以应该根据其焦点所 在坐标轴进行分类讨论.

解析 ①当椭圆的焦点在x轴上时,
则由方程,得a2=4,即a=2.
3 c 又 e=a= 2 ,所以 c= 3,m=b2=a2-c2=22-( 3)2=1. y2 x2 ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的方程为m+ 4 =1.

则由方程,得b2=4,即b=2.
2 2 a - b 3 3 c 又 e=a= 2 ,故 a = 2 ,

b 1 解得a=2,即 a=2b,

所以a=4.故m=a2=16. 综上,m=1或16. 答案 1或16

易错点4 忽视“判别式”致误
例4
2 y 已知双曲线 x2- 2 =1,过点 A(1,1)能否作直线 l,使 l

与双曲线交于 P、Q 两点,并且 A 为线段 PQ 的中点?若存 在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

错因分析

只利用根与系数的关系考虑中点坐标,而忽视

直线与双曲线相交于两点的条件.

解 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为y=k(x-1)+1.
2 y 代入双曲线方程 x2- 2 =1,整理得,

(2-k2)x2+2k(k-1)x-3+2k-k2=0,
由Δ=4k2(k-1)2-4(2-k2)(2k-3-k2)>0,
3 解得 k<2.

设直线与双曲线交点为M(x1,y1),N(x2,y2),

2k?k-1? 由根与系数的关系,得 x1+x2= 2 , k -2 x1+x2 点 A(1,1)是弦中点,则 2 =1.
k?k-1? 3 ∴ 2 =1,解得 k=2>2, k -2

故不存在被点A(1,1)平分的弦.

易错点5 求离心率范围忽视特殊情况
例5 x2 y2 双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若

P 为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取 值范围为________.

错因分析 围缩小.

忽视P为双曲线右顶点的情况,导致离心率范

解析 设|PF2|=m,∠F1PF2=θ (0<θ≤π),

当点P在右顶点处时,θ=π.
c 2c 3m e=a=2a= m =3.

当θ≠π时,由条件,

得|PF1|=2m,|F1F2|2=m2+(2m)2-4m2cos θ,
且||PF1|-|PF2||=m=2a.

2 2 2 m + ? 2 m ? - 4 m cos θ 2c 所以 e=2a= = 5-4cos θ. m

又-1<cos θ<1,所以e∈(1,3). 综上,e∈(1,3]. 答案 (1,3]

易错点6 定点问题意义不明 例6 已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F作两条相互垂直的

弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.求证:直线 MN恒过定点.

错因分析

直线恒过定点是指无论直线如何变动,必有

一个定点的坐标适合这条直线的方程,问题就归结为用
参数把直线的方程表示出来,无论参数如何变化这个方 程必有一组常数解.本题容易出错的地方有两个:一是在 用参数表示直线MN的方程时计算错误;二是在得到了直 线系MN的方程后,对直线恒过定点的意义不明,找错方 程的常数解.

证明 由题设,知F(1,0),直线AB的斜率存在且不为0,
设lAB:y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x,

得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
xA+xB k2+2 得 xM= 2 = k2 , 2 k +2 2 2 又 yM=k(xM-1)=k,故 M( k2 ,k).
1 1 因为 CD⊥AB,所以 kCD=-k .以-k代 k,

同理,可得N(2k2+1,-2k).

2 k +2 2 所以直线 MN 的方程为(2k +1- k2 )(y+2k)

2 =(-2k-k)(x-2k2-1),

化简整理,得yk2+(x-3)k-y=0,该方程对任意k恒成立,
?y=0, ? 故?x-3=0, ? ?-y=0, ?x=3, 解得? ?y=0.

故不论k为何值,直线MN恒过点(3,0).

查缺补漏

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1.(2014·安徽)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有 公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (
? π? ? A.?0,6? ? ? ? ? π? ? B.?0,3? ? ? ? ? π? ? C.?0,6? ? ? ?

)
? π? ? D.?0,3? ? ? ?

解析 方法一 如图,过点P作圆的切线PA,PB,

切点为A,B.
由题意知|OP|=2,|OA|=1,

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1 则 sin α=2,

π π 所以 α=6,∠BP A =3.
故直线 l 的倾斜角的取值范围是
? π? ? ? 0 , ? ?. 3 ? ?

方法二 设过点 P 的直线方程为 y=k(x+ 3)-1,
| 3k-1| 则由直线和圆有公共点知 2 ≤1. 1+k

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解得 0≤k≤ 3.
π 故直线 l 的倾斜角的取值范围是 [0,3].

答案 D

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x2 y2 2.(2014·广东)若实数 k 满足 0<k<9, 则曲线 25- =1 与曲 9-k x2 y2 线 - 9 =1 的( 25-k )

A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等

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解析 因为0<k<9,所以两条曲线都表示双曲线. x2 y2 双曲线25- =1 的实半轴长为 5,虚半轴长为 9-k
焦距为 2 25+?9-k?=2 34-k,离心率为 34-k . 5

9-k,

x2 y2 双曲线 - =1 的实半轴长为 25-k,虚半轴长为 3, 25-k 9 34-k 焦距为 2 ?25-k?+9=2 34-k,离心率为 , 25-k 故两曲线只有焦距相等.故选A. 答案 A

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3.已知抛物线 C 的方程为 y2=8x,设抛物线 C 的焦点为 F, 准线为 l,P 为抛物线上一点, PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|等于( )

A.2
解析 点B ,

B.4 C.6

D.8

设P(x0,y0),直线AF的倾斜角为α,准线l与x轴交于

由题意知,F(2,0),直线l:x=-2.

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2 π 又 tan α=- 3,∴α=3π,∴∠AFB =3,
∵|BF|=4,∴|AB|=4 3,即 A(-2,4 3).
∵PA⊥l,∴P(x0, 4 3),

代入y2=8x得x0=6,∴|PF|=x0+2=8.
答案 D

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x2 y2 4.若双曲线 a2-b2=1(a>0, b>0) 的渐近线与圆 (x-2)2+y2=2 相交,则此双曲线的离心率的取值范围是
A.(2,+∞) C.(1, 2) B.(1,2) D.( 2,+∞)

(

)

解析 双曲线的渐近线为bx±ay=0, 因为它与圆(x-2)2+y2=0相交, 所以圆心(2,0)到该直线的距离小于圆的半径,

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|2b| 即 2 2< 2,整理得 b2<a2, a +b
2 c 所以 c2-a2<a2,得a2<2,所以 1<e< 2.

答案 C

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5.已知点 F1、F2 是椭圆 x2+2y2=2 的左、右两个焦点,点 是该椭圆上的一个动点,那么
A.0 B.1 C.2

P )

→ → |PF1+PF2|的最小值是 (
D.2 2

解析 设P(x0,y0),
→ → 则PF1=(-1-x0,-y0),PF2=(1-x0,-y0).
→ → ∴PF1+PF2=(-2x0,-2y0),

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→ → 2 2 2 2 ∴|PF1+PF2|= 4x2 0+4y0=2 2-2y0+y0=2 -y0+2,
∵点 P 在椭圆上, ∴0≤y2 0≤1.
→ → ∴当 y2 = 1 时, | PF + PF 0 1 2|取最小值为 2.

答案 C

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6.(2014·课标全国 Ⅰ)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准 → 线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点, 若 FP → =4FQ,则|QF|等于( )

7 A.2

5 B.2

C.3

D.2

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解析

|PQ| 3 → → → → ∵FP=4FQ,∴|FP|=4|FQ|,∴ |PF| =4.

如图,过Q作QQ′⊥l,垂足为Q′,

设l与x轴的交点为A,则|AF|=4,
|PQ| |QQ′| 3 ∴ |PF| = |AF| =4,

∴|QQ′|=3,根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3,故选C.

答案 C

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7.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15= 0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________. 解析 圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).

由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,
|4k-2| 即 2 ≤2. k +1

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4 整理,得 3k -4k≤0.解得 0≤k≤3.
2

4 故 k 的最大值是3.
4 答案 3

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8.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,经过F的直线与 抛物线交于 A 、 B 两点,交准线于 C 点,点 A 在 x 轴上方, AK⊥l ,垂足为 K ,若 |BC| = 2|BF| ,且 |AF| = 4 ,则△AKF 的 面积是________. 解析 设点A(x1,y1),其中y1>0. 又|CB|=2|FB|,因此有|CB|=2|BB1|,

过点B作抛物线的准线的垂线,垂足为B1,则有|BF|=|BB1|;

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|BB1| 1 π cos ∠CBB 1= |BC| =2,∠CBB 1=3, π 即直线 AB 与 x 轴的夹角为3. π p 又|AF|=|AK|=x1+2=4,因此 y1=4sin 3=2 3, 1 1 因此△AKF 的面积等于 2|AK|· y1=2×4×2 3=4 3.
答案 4 3

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9.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物
线及其准线于点 A , B , C ,若 |BC| = 2|BF| ,且 |AF| = 3 ,则 抛物线的方程是______________.

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解析 如图,分别过点A,B作准线的垂线AE,BD,
分别交准线于点E,D,则|BF|=|BD|, ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BD|,∴∠BCD=30°, 又|AE|=|AF|=3,∴|AC|=6,
3 即点 F 是 AC 的中点,根据题意得 p=2, ∴抛物线的方程是y2=3x.

答案 y2=3x

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x2 y2 10.过双曲线 a2-b2=1(a>0,b>0) 的右焦点 F 向其一条渐近 线作垂线,垂足为 M,已知∠MFO =30° ( O 为坐标原点 ),

则该双曲线的离心率为 ________ .

解析 由已知得点 F 的坐标为 (c,0)( c= a2+b2),

其中一条渐近线方程为bx-ay=0, bc 则|MF|= 2 2=b, a +b

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|MF| b 3 由∠MFO =30° 可得 |OF| =c =cos 30° = 2 ,
c2-a2 3 c 所以 c = 2 ,所以 e=a=2.

答案 2

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11.已知点 A(-2,0) ,B(2,0) , 过点 A 作直线 l 与以 A,B 为焦 点的椭圆交于 M,N 两点, 线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 4 2 2 ,且直线 l 与圆 x + y =1 相切,则该椭圆的标准方程是 5 ________ .

解析 根据题意,知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y=k(x+2),①

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x2 y2 由题意设椭圆方程为 a2+ 2 =1(a2>4),② a -4
由直线 l 与圆 x +y =1 相切,得
2 2

|2k| 2=1, 1+k

1 解得 k =3.
2

3 4 将①代入②,得(a -3)x +a x-4a +4a2=0,
2 2 2

设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),

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a2 由根与系数的关系,得 x1+x2=- 2 . a -3 4 8 又线段 MN 的中点到 y 轴的距离为5,所以|x1+x2|=5, a2 8 即- 2 =-5,解得 a2=8. a -3
x2 y2 所以该椭圆的标准方程为 8 + 4 =1. x2 y2 答案 8 + 4 =1


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