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【精品】新版高中数学人教A版选修1-1习题:第三章导数及其应用3.3.2含解析

高中 精品 教案 试卷

3.3.2

函数的极值与导数
课时过关· 能力提升
基础巩固

1.设 x0 为可导函数 f(x)的极值点,则下列说法正确的是 A.必有 f'(x0)=0 B.f(x0)为极大值 C.f(x0)为极小值 D.f'(x0)可能不为 0 答案:A 2.已知可导函数 f(x),x∈R 有唯一极值,且当 x=1 时,f(x)存在极小值,则( A.当 x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0 B.当 x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0 C.当 x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0 D.当 x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0 解析: f(x)在 x=1 时存在极小值,则当 x<1 时,f'(x)<0;当 x>1 时,f'(x)>0. 答案:C 3.下列四个函数中,能在 x=0 处取得极值的是( ①y=x3;②y=x2+1;③y=x2-1;④y=2x. ) )

(

)

A.①②

B.②③

C.③④

D.①③

解析: ①④为单调函数,不存在极值. 答案:B

4.函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f'(x)的图象如图,则函数 y=f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有 ( ) B.2 个 D.4 个

A.1 个 C.3 个

解析: 当满足 f'(x)=0 的点,左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0 时,该点为极小值点.观察题图,只有一个极小值点. 答案:A 制作不易 推荐下载 1

高中 精品 教案 试卷 5.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( A.-1<a<2 C.a<-1 或 a>2 B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6 )

解析: f'(x)=3x2+2ax+(a+6), 因为 f(x)既有极大值又有极小值, 所以 Δ=(2a)2-4× 3× (a+6)>0, 解得 a>6 或 a<-3. 答案:D 6.已知 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0),则 f(x)的极值情况是( A.极大值为 极小值为 )

B.极大值为 f(1),极小值为 C.极大值为 没有极小值

D.极小值为 f(1),没有极大值 答案:A 7.函数 y=2x3-6x2-18x+7 的极大值为 ,极小值为 .

解析: f'(x)=6(x+1)(x-3),由 f'(x)=0,得 x=-1 或 x=3. 进而求得 f(-1)是极大值,f(3)是极小值. 答案:17 -47 8.函数 f(x) 解析: f'(x)
-

∈R)的极大值为

.

令 f'(x)=0,得 x=e1-a. 当 x<e1-a 时,f'(x)>0; 当 x>e1-a 时,f'(x)<0, 所以函数的极大值为 f(e1-a) 答案:ea-1 9.已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时,有极大值 3,则 a= ,b= .
-

解析: y'=3ax2+2bx,由题意,得当 x=1 时,y'|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3, 即 解得a=-6,b=9.

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2

高中 精品 教案 试卷 答案: -6 9 10.已知函数 f(x)=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,求 c 的值. 解: f'(x)=3x2-3,由 f'(x)>0,得 3x2-3>0, 解得 x<-1 或 x>1; 由 f'(x)<0,得 3x2-3<0,解得-1<x<1. ∴f(x)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. ∴当 x=-1 时,f(x)取极大值 c+2;当 x=1 时,f(x)取极小值 c-2. 结合图象,要使函数 f(x)的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c+2=0 或 c-2=0,即 c=-2 或 2.

能力提升
1.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f'(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y=xf'(x)的图象可 能是( )

解析: 由题意知,当 x<-2 时,f'(x)<0,∴xf'(x)>0;当-2<x<0 时,f'(x)>0,∴xf'(x)<0.又当 x=-2 时,xf'(x)=0,x=0 时,xf'(x)=0,故选 C. 答案:C 2.已知函数 f(x)=x2-2(-1)kln x(k∈N*)存在极值,则 k 的取值集合是( A.{2 4 6 8 …} C.{1 3 5 7 …} 解析: f'(x)=2x
-

)

B.{0 2 4 6 8 …} D.N*
--

若 k 为奇数,则 f'(x) f(x)在定义域内是增函数,无极值. 若 k 为偶数,则 f'(x) 答案:A 3.若函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值,则实数 a 的取值范围是( A.1<a<2 B.1<a<4 )
-

在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,在 x=1 处取极小值.

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3

高中 精品 教案 试卷 C.2<a<4 D.a>4 或 a<1

解析: y'=3x2-3a,当 a≤0 时,y'≥0 函数 y=x3-3ax+a 为单调函数,不合题意,舍去;当 a>0 时,y'=3x23a=0?x= 答案:B 4.函数 y=x3-6x+a 的极大值为 解析: y'=3x2-6,令 y'=0,得 x= 当 x< 当 故函数在 x= 答案: a+ 5.若函数 f(x)=aln x+bx2+3x 的极值点为 x1=1,x2=2,则 a= 解析: f'(x) ∵函数的极值点为 x1=1,x2=2, ∴x1=1,x2=2 是方程 f'(x) 的两根,也即 2bx2+3x+a=0 的两根. - . ,b= . 或x 时,y'>0; 时,y'<0. 时取得极大值a+ 在x 时取得极小值a,极小值为 . 不难分析,当 1 即1<a<4 时,函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值.

∴由根与系数的关系知

解得

答案: -2 ★6.若函数 f(x)=x3+x2-ax-4 在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围 为 解析: f'(x)=3x2+2x-a. ∵f(x)在(-1,1)内恰有一个极值点, ∴f'(x)在(-1,1)内有一个变号零点, ∴f'(-1)f' 1 ≤0 即(a-5)(a-1 ≤0 ∴1≤a≤5. 当 a=5 时,由 3x2+2x-5=0,得 x=1 或 x= x 符合题意,∴1≤a<5. 不合题意.当 a=1 时,由 3x2+2x-1=0,得 x=-1 或 .

答案:[1,5) 7.已知函数 f(x) (1)求 f(x)的定义域,并讨论 f(x)的单调性;

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4

高中 精品 教案 试卷 (2)若 求 在 内的极值

解:(1)由题意知 x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞). f(x)
-

f'(x)

所以当 x<-r 或 x>r 时,f'(x)<0.当-r<x<r 时,f'(x)>0. 因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r). (2)由(1)的解答可知 f'(r)=0,f(x)在(0,r)内单调递增,在(r,+∞)内单调递减. 因此,x=r 是 f(x)的极大值点. 所以 f(x)在(0,+∞)内的极大值为 f(r) ★8.当 a 为何值时,方程 x3-3x2-a=0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根?有没有可能无实 根? 解: 令 f(x)=x3-3x2,则 f(x)的定义域为 R. 由 f'(x)=3x2-6x=0,得 x=0 或 x=2, 所以当 x<0 或 x>2 时,f'(x)>0; 当 0<x<2 时,f'(x)<0. 函数 f(x)在 x=0 处有极大值 0,在 x=2 处有极小值-4.

如图,故当 a>0 或 a<-4 时,原方程有一个根; 当 a=0 或 a=-4 时,原方程有两个不等实根; 当-4<a<0 时,原方程有三个不等实根; 由图象可知,原方程不可能无实根.

.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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