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备战2015高考理数热点题型和提分秘籍 专题06 函数的奇偶性与周期性(原卷版)


专题六 函数的奇偶性与周期性 【高频考点解读】 从近几年的高考试题来看,函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点.主要是奇偶性与 单调性的小综合,周期性的考查常以利用周期性求函数值,以选择题、填空题的形式出现, 这部分知识对学生要求很高,属中低档题. 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 【热点题型】 题型一 函数奇偶性的判定 例 1、判断下列各函数的奇偶性: 1 (1)f(x)=lgx2+lg 2; x (2)f(x)=(x-1) 1+x ; 1-x 2 ? ?x +x,x<0 ? (3)f(x)= ; 2 ?-x +x,x>0 ? (4)f(x)= -x2 . |x-2|-2 【提分秘籍】 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤: (2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依 据 x 的范围取相应的解析式化简,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判 断. 【举一反三】 判断下列函数的奇偶性: 4-x2 (1)f(x)= ; |x+3|-3 (2)f(x)=x2-|x-a|+2. 【热点题型】 题型二 函数奇偶性的应用 ) (1)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 C .1 (2)若函数 f(x)= 1 A. 2 3 C. 4 B.-1 D.3 x 为奇函数,则 a= ( x+ x-a 2 B. 3 D.1 ) (3)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x- 2)<f( 2)的 x 的取值范围 是( ) A.(-∞,0) B.(0, 2) C.(0,2 2) D.( 2,+∞) 【提分秘籍】 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性 相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究,只需 研究对称区间上的单调性即可. 【举一反三】 在本例(1)中的条件下,求 f(x)在 R 上的解析式. 【热点题型】 题型三 函数的周期性 例 3、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. 【提分秘籍】 1.深化奇函数和偶函数的定义 (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 在利用定义时, 可应用定义的等价形 f-x 式:f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? =± 1(f(x)≠0). fx 4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期 性的判断,利用函数周期性求值,以及解决与周期有关的函数综合问题.解决此类问题的关 键是充分利用题目提供的信息,找到函数的周期,利用周期在有定义的范围上进行求解. 【举一反三】 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2) 时,f(x)=log2(x+1),则 f(2012)+f(-2013)的值为( A.-2 C .1 【热点题型】 题型四 利用奇偶性破

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