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【精选 详解】2013届高三数学名校试题汇编


第三章
一.基础题

导数与应用

? f ( x ? 4), x ? 0 ? 1.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】若 f ( x) ? ? x 则 f (2012) 等于 21 ?e ? ?1 t dt , x ? 0 ?
A. 0 B. ln 2 C. 1 ? e 2 D. 1 ? ln 2

2. 【山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考】已知 t ? 0 ,若 则t = A.1

?0 (2x ? 2)dx ? 8 ,

t

B.-2

C.-2 或 4

D.4

3.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】 点 P 在曲线 y ? x ? x ?
3

2 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 α ,则角 α 的取值范围是 3



) B. [0,

? A. [0, ] 2

? 3? )∪[ ,π ) 4 2

C. [

3? ,π ) 4

D.(

? 3? , ] 2 4

4.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试】已知 f ( x) ? A. ?

2

?

B.

3 ?

C. ?

1

?

1 ? cos x, 则 f (? ) ? f ?( ) ? x 2 3 D. ?

?

5.【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】已知函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的定义均为[a,b] ,若 g(a)·g(b)<0,则下列判断错误的是( )

1

A、f(x)在[a,b]必有最小值 C、f(x)在[a,b]必有极值

B、g(x)在[a,b]必有最大值 D、g(x)在[a,b]必有极值

6.【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 ?3x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4, x ? 1, ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f (2m ? 1) ? f (m2 ? 2) ,则实数 m 的取值范围 ? x ? 1, x ? 1, ? 是 . 【答案】 (?1,3) 【解析】本试题主要考查了分段函数的单调性的运用。
?3x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4, x ? 1, ? 因为函数 f ( x) ? ? 2 ,可知 ? x ? 1, x ? 1, ?

y ? 3x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4, x ? 1, y ' ? 9 x 2 ? 18 x ? 12 ? 9( x ? 1)2 ? 3 ? 0 ? y ? 3x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4

7.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】 已知不等式 1 ?
2 3 3 ? 0 的解集为(-1,2),则 ? (1 ? )dx = ____ . 0 x?a x?a

8.【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013 届高三上学期第 一次联考】如图,已知幂函数错误!未找到引用源。的图象过点错误!未找到引用源。, 则图中阴影部分的面积等于 .

2

9.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学】

?

2

0

(2 x ? e x )dx =___.___.

10.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】

?

1 2 0

e2 x dx ? ______________.

11.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】已知函数

? ? ? sin x, (0 ? x ? 2 ) ? ? f ( x) ? ? ,则 ? f ( x)dx ? 0 ?? 2 x ? 2, ( ? ? x ? ? ) ? ? 2 ?

12.【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013 届高三上学期第 一次联考】已知函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上是增函数,则 实数 a 的取值范围是 . 【答案】错误!未找到引用源。. 【解析】错误!未找到引用源。,令错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上恒成立,所以令错误!未 找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。在错误!未 找到引用源。上是增函数,所以错误!未找到引用源。,所以 a 的取值范围是错误!未

3

找到引用源。二.能力题 1.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学】已知函数 y ? f ? x ? 是定义在实数集 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0, f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0 ( 其 中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的 导 函 数 ) 设 ,

? ? ? ? a ? ? log 1 4 ? f ? log 1 4 ? , b ? 2 f ? 2 ? ? 2 ?
A. c ? a ? b B. c ? b ? a

? 2 ? , c ? ? lg 1 ? ? ? ? 5?
C. a ? b ? c

? 1? f ?1g ? ,则 a,b,c 的大小关系是 ? 5?
D. a ? c ? b

2.【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013 届高三上学期第 一次联考】 、设函数错误!未找到引用源。是定义在 R 上的函数,其中错误!未找到引用源。 的导函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 对于错误!未找到引用源。 恒成立,则 ( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

3.【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰 好取自阴影部分的概率为 ( ) A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

4

4.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】已知函数错误!未找到引用源。在错误! 未找到引用源。处有极值错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。等于( A.错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 )

B.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。5.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】设函数 错误!未找 , 其中 , 则导数错误! 的取值范围是 ( 未找到引用源。 到引用源。 错误! 未找到引用源。 A.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 错误! 未找到引用源。【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】 6. 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D, 若对于任意 x1 , x2 ? D 且 x1 ? x2 ? 2a , 恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b , 则称点 (a, b) 为函数 y ? f ( x) 图像的对称中心, 研究并利用函数 f ( x) ? x ? 3x ? sin ? x 的对称中心,
3 2



B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

可得 f (

1 2 4022 4023 )? f ( ) ??? f ( )? f ( )? 2012 2012 2012 2012

7.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且

f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时,有

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 恒成立,则不等式 x 2 f ( x) ? 0 的解集是( x2



5

A.(??, ?2) ? (2, ??)

B.(?2,0) ? (0, 2)

C.(??, ?2) ? (0, 2)

D.(?2,0) ? (2, ??)

三.拔高题 1.【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013 届高三上学期第 一次联考】 、已知函数错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数, 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。给出以下命题: ①当错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。; ② 函数错误!未找到引用源。有五个零点; ③若关于错误!未找到引用源。的方程错误!未找到引用源。有解,则实数错误!未找到 引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。; ④对错误!未找到引用源。恒成立. 其中,正确命题 的序号是 . 【答案】①④.

由图可知,若关于错误!未找到引用源。的方程错误!未找到引用源。有解,则错误!未

6

找到引用源。,且对错误!未找到引用源。恒成立. 2.【山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考】已知函数 f (x) 的定义域[-1,5] , 部分对应值如表, f (x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示, x F(x) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

下列关于函数 f (x) 的命题; ①函数 f (x) 的值域为[1,2] ; ②函数 f (x) 在[0,2]上是减函数 ; ③如果当 x ?[?1, t ] 时, f (x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是 .

3.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ax(a, x ? R) .
3 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递增,试求 a 的取值或取值范围;

7

(3)设函数 h( x) ?

1 1 8 f ?( x) ? (2a ? ) x ? a ? 1 , x ? ? ?1, b? , (b ? ?1) ,如果存在 3 3 3

a ? ? ??, ?1? ,对任意 x ? ? ?1, b? 都有 h( x) ? 0 成立,试求 b 的最大值.
【解析】 本题主要考查导数概念以及极值的求法, 函数单调性的判别方法以及最值思想的应 用,同时考查导数的基本思想方法和综合解题能力。满分 12 分。 (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ,∴ f ( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ,
3 2 / 2

令 f ( x) ? 0 ,则 x1 ?
/

1 , x2 ? ?1 , 3

x 、 f / ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表

x
f / ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值

1 (?1, ) 3
?

1 3
0 极小值

1 ( , ??) 3
+

f ( x)

?

f (?1) ? 1
5 ; 27

?

1 5 f( )?? 3 27

?

即函数的极大值为 1,极小值为 ? (2) f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a ,
2

若 f ( x) 在区间 [0, ??) 上是单调递增函数, 则 f ?( x) 在区间 [0, ??) 内 恒大于或等于零, 若 a ? 0 ,这不可能, 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x 符合条件,
2 2 若 a ? 0 ,则由二次函数 f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a 的性质知

? 2 ?a ? 0 ?? ? 0 ,即 ? ,这也不可能, ? 3a ?a ? 0 ? f (0) ? ?a ? 0 ?
综上可知当且仅当 a ? 0 时 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递增;
2 (3)由 f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a , h( x) ?

1 1 8 f ?( x) ? (2a ? ) x ? a ? 1 , 3 3 3

∴ h( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) , x ? ? ?1, b ? , (b ? ?1) ,
2

当 ?1 ? x ? b 时,令 ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ? 0 ,………………①,
2

8

由 a ? ? ??, ?1? ,∴ h( x ) 的图象是开口向下的抛物线, 故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得, 又 h(?1) ? ?4a ? 0 , ∴不等式①恒成立的充要条件是 h(b) ? 0 ,即 ab ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0 ,
2

∵ b ? ?1 ,∴ b ? 1 ? 0 ,且 a ? 0 ,∴

b 2 ? 2b ? 3 1 ?? , b ?1 a

依题意这一关于 a 的不等式在区间 ? ??, ?1? 上有解,



b 2 ? 2b ? 3 1 b 2 ? 2b ? 3 ? (? )max ,即 ? 1 , b2 ? b ? 4 ? 0 , b ?1 a b ?1
?1 ? 17 ?1 ? 17 ?1 ? 17 ?b? ,又 b ? ?1 ,故 ?1 ? b ? , 2 2 2 ?1 ? 17 . 2



从而 bmax ?

4. 【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) . 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4 ? x ? 0, (Ⅱ)当 x ?[0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,求实 ?y ? x ? 0 数 a 的取值范围. (Ⅲ)求证: (1 ? 然对数的底数) .
2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ] ? e (其中 n ? N* ,e 是自 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

? x ? 0, (Ⅱ)因函数 f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,则当 x ?[0, ??) 时,不 ?y ? x ? 0

等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,设 g ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) , 只需 g ( x)max ? 0 即可. ·························· 5 分

9

1 x[2ax ? (2a ? 1)] , ?1 ? x ?1 x ?1 ?x (ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ? ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递 x ?1 减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. ························ 6 分 x[2ax ? (2a ? 1)] 1 (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ? 0 ,因 x ?[0, ??) ,所 以 x ? ?1 , x ?1 2a 1 1 ①若 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单 2a 2 调递增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ) ,此时不满足条件; 1 1 1 1 ②若 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减,在区间 ( ? 1, ??) 2a 2 2a 2a 上单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件. ·········· 8 分 x[2ax ? (2a ? 1)] (ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ,∵ x ?[0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.

由 g ?( x) ? 2ax ?

综上所述,实数 a 的取值范 围是 (??,0] . ················ 10 分 (Ⅲ)据( Ⅱ)知当 a ? 0 时, ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立(或另证 ln( x ? 1) ? x 在 区间 (?1, ??) 上恒成立) ························· 11 , 分 又
n ?1

(2

2n 1 1 ? 2( n ?1 ? n ), n ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ]} 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

∵ ln{(1 ?
? ln(1 ?
?

2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln[1 ? n ?1 ] 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

2 4 8 2n ? ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n ?1 ? )] 2 3 3 5 5 9 2 ? 1 2n ? 1 1 1 ? 2[( ? n )] ? 1 , 2 2 ?1 2 4 8 2n ∴ (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ] ? e . ········ 14 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

分 5.【山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考】 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x.
2

( Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程; ( (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围;

10

(Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取 值范围.

当0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f (x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ; 当1 ? 当

1 1 ? e 时, f (x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a

1 ? e 时, f (x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意………………9 分 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax ? ax ? ln x ,
2

只要 g (x) 在 0, ?) ( ? 上单调递增即可.…………………………10 分 而 g ' ( x) ? 2ax ? a ?

1 2ax2 ? ax ? 1 ? x x

当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

1 ? 0 ,此时 g (x) 在 0, ?) ( ? 上单调递增;……………………11 分 x
2

当 a ? 0 时, 只需 g ' ( x) ? 0 在 0, ?) 因为 x ? (0,??) , 只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 , ( ? 上恒成立, 则需要 a ? 0 ,………………………………12 分 对于函数 y ? 2ax ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ?
2

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4

11

即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 .

………………………………………………14 分

66.【浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考】已知函数 f ( x) ? 4 ln x ? ax ? (a ?0) (Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性;

a?3 x

x (Ⅱ)当 a ? 1 时,设 g ( x) ? 2e ? 4 x ? 2a ,若存在 x1 , x2 ? [ ,2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

1 2

求实数 a 的取值范围。 (e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ?)

x1 ?

2 ? ? (a ? 1)( a ? 4) 2 ? ? (a ? 1)( a ? 4) ? 0 , x2 ? ?0 a a

当 x ? (0, x1 ) 时, h( x) ? 0, f ( x) 单调递减, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, h( x) ? 0, f ( x) 单调递增, 当 x ? ( x2, ? ?) 时, h( x) ? 0, f ( x) 单调递减, 所以当 a ? 0 时, f (x) 的减区间为 (0, ] ,增区间为( [ ,?? ) 。 当 a ? 1 时, f (x) 的减区间为 (0,?? ) 。 ……………………7分

3 4

3 4

当 0 ? a ? 1 时, f (x) 的减区间为 (0,

2 ? ? (a ? 1)( a ? 4) 2 ? ? (a ? 1)( a ? 4) ) ,( ,??) a a
……………………8分

增区间为 (

2 ? ? (a ? 1)( a ? 4) 2 ? ? (a ? 1)( a ? 4) , )。 a a
1 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f (x) 在 [ ,2] 上的最大值为 f ( ) ? ?4 ln 2 ?

1 2

3 a ? 6 , ………10分 2

12

g ' ( x) ? 2e x ? 4, 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2.

1 x ? [ , ln 2) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 单调递减, 2
x ? (ln 2,2] 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 单调递增,
所以 g (x) 在 [ ,2] 上的最小值为 g (ln 2) ? 4 ? 4 ln 2 ? 2a , ……………………12分 ……………………13分

1 2

由题意可知 ? 4 ln 2 ?

3 a ? 6 ? 4 ? 4 ln 2 ? 2a ,解得 a ? 4 2

………………14分

7.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考试】 3 2 已知函致 f (x)=x 十 bx +cx+d. (I)当 b=0 时,证明:曲线 y=f(x)与 其在点(0, f(0))处的切线只有一个公共点; 〔1()若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切找为 12x.+y-13=0,且它们只有一个公共 点,求函数 y=f(x)的所有极值之和.

13

8. 【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】 已知函数 . 错误!未找到引用源。 (1)讨论函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上的单调性; (2)当错误!未找到引用源。时,曲线错误!未找到引用源。上总存在相异两点, 错误! , ,使得错误!未找到引用源。曲线在错误!未找到 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 、 . 引用源。 错误!未找到引用源。处的切线互相平行,求证: 错误!未找到引用源。 【答案】 (1)函数错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。 . 求导数,得错误!未找到引用源。 , 令错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 . ∵错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,∴ , ∴当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。时,错误! ;当

14

. 未找到引用源。 故错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递减,在错误!未找到引用源。 上单调 递增.………………6 分 (2)由题意得,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。且错误!未找到引用 , 源。 即错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 .

9.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 十月月考】(本小题满分 13 分)

1 ? x2 ? x ? R? 1 ? x ? x2 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的极大值
已知函数 f ? x ? ? (Ⅱ)若 et ? 2 x 2 ? et x ? et ? 2 ≥ 0 对满足 x ≤ 1 的任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取 值范围(这里 e 是自然对数的底数) ; (Ⅲ)求证:对任意正数 a 、 b 、 ? 、 ? ,恒有
2 ?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a 2 ? ?b 2 ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 f ?? . ?≥ ? ? ?? f ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 【解析】

?

?

15

10、 【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=a(lnx-x) ? R) (a 。 (I)讨论函数 f(x)的单调性; (II)若函数 y=f(x)的 图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,函数 g(x)= x ? x [
3 2

m ? f ( x)] 在区间(2,3)上总存在极值,求实数 m 的取值范围。 2

(Ⅱ) 错误! ∵ 的图像在点错误! 处的切线的倾斜角为 45°, 未找到引用源。 未找到引用源。

16

∴ 错误!未找到引用源。……………………………………7 分 错误!未找到引用源。 ……………………………9 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。, 在区间(2,3)上总存在极值,只需 错误!未找到引用源。要使函数 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 13 分 11.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】 (本小题 12 分)已知函数错误!未找到引 , 用源。 错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的一个零点,又错误!未找到引用 源。在错误!未找到引用源。处有极值,在区间错误!未找到引用源。和错误!未找到引 用源。上是单调的,且在这两个区间上的单调性相反. (I)求 的取值范围; 错误!未找到引用源。 (II)当错误!未找到引用源。时,求使错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。成 立的实数错误!未找到引用源。的取值范围. … ………………………………………………

(Ⅱ)因为错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的 一个零点, 所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。, 从而错误!未找到引用源。 由错误!未找到引用源。,令错误!未找到引用源。时, 得:错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。

17

列表讨论如下:

12.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】 (本小题满分 14 分)已知函数

g ( x) ?

(1)求 ? 的值;

1 ? ln x在?1, ?? ? 上为增函数,且 ? ? (0, ? ) , x ? sin ? m ? 1 ? 2e f ( x) ? mx ? ? ln x , m ? R . x

(2)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (3)若在 [1, e] 上至少存 在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围. 解答: (1)由已知 g ( x) ? ?
/

1 sin ? ? x
2

?



sin ? ? x ? 1 ? 0 ,∵ ? ? (0, ? ) ,∴ sin ? ? 0 , sin ? ? x 2

1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, x

故 sin ? ? x ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,只需 sin ? ? 1 ? 1 ? 0 ,

18

即 sin ? ? 1 ,∴只有 sin ? ? 1 ,由 ? ? (0, ? ) 知 ? ? (2)∵ m ? 0 ,∴ f ( x) ? ?

?
2



……………………4 分

?1 ? 2e ? ln x , x ? (0, ??) , x 2e ? 1 1 2e ? 1 ? x ∴ f / ( x) ? , ? ? x2 x x2
令 f ( x) ? 0 ,则 x ? 2e ?1 ? (0, ??) ,
/

∴ x , f ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表:

/

x
f / ( x)

(0, 2e ? 1)
+

2e ? 1
0 极大值

(2e ? 1, ??)
?

f ( x)

?

f (2e ?1) ? ?1 ? ln(2e ?1)

?

即函数的单调递增区间是 (0, 2e ? 1) ,递减区间为 (2e ? 1, ??) , 有极大值 f (2e ? 1) ? ?1 ? ln(2e ? 1) ; ………… …………9 分

19

20


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