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1.3二项式定理(第三课时)


1.3二项式定理
第三课时

二项式定理

?a ? b?

n

? C a ? C a b ? ??? ? C a b ? ??? ? C b
0 n n k n

1 n ?1 n

n?k k

n n (n ? N n

?

)

(1)共有(n ? 1)项
(2)通项公式: Tk ?1 ? C ? a
k n n ?k

?b

k

0 1 2 k n (3)二项式系数: Cn CnCn ?Cn ?Cn

(4)二项式定理恒等式

如令a ? 1, b ? x; 或a ? b ? 1, 等等

二项式系数性质
C , C , C ,? ? ?C ,? ? ?C
0 n 1 n 2 n k n 0 n 0 n 1 n n n 2 n 1 n n ?1 n

,C

n n n n?k n

( 1 )C ? C ? C ? ? ? ? ? C ? 2
n n

(2)C ? C , C ? C (3)C ? C
m n 0 n 1 n m ?1 n 2 n

n ?1 n

,? ? ?, C ? C
k n n ?1 n n n

?C

m ?1 n ?1 k n

(4)C , C , C ,? ? ?C ,? ? ?C

, C 中最大值为
n 2 n

当n为偶数时,中间一项最大C

当n为奇数时,中间两项最大C

n -1 2 n

?C

n ?1 2 n

例1 证明:在(a+b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证:

C ? C ? ? ? ? ? C ? C ? ? ? ? =2n-1
0 n 2 n 1 n 3 n

(1+x)n =Cn0+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn 令x=-1 (1-1)n =Cn0- Cn1+ Cn2-Cn3+ … +(-1)kCnk+…+(-1)nCnn 0=(Cn0+Cn2+ …) –(Cn1 -Cn3+ … )

C ? C ? ??? ? C ? C ? ???
0 n 2 n 1 n 3 n

系数是倒数第2项的二项式系数的7倍,求展开式中x的 一次项.
n?1 C3 ? 7 C n n

2 n 例2 已知 ( x ? x ) 的展开式中,第4项的二项式
3

(n ? 1)(n ? 2) ? 6 ? 7

∴n=8

设展开式中含x的项是第r+1项,则

Tr ?1 ? C ( x )
r 3 8

8? r

2 r (? ) x

8?r r ? ?1 3 2

r?2

r ? (?2) r C8 x

8? r r ? 3 2

故展开式中含x的项为第3项,即

T3 ? (?2) C x ? 112x
2 2 8

例3 已知 2 4 x 的展开式中,前三项系数的绝对值 依次成等差数列,⑴证明展开式中没有常数项;⑵求展 开式中所有的有理项 1 2 2 1 1 2 2Cn ? ? 1 ? Cn ? ( ) n ? 9n ? 8 ? 0 n ? 8(n ? 1舍去) 2 2 8? r r 16 ?3 r
Tr ?1 ? C
r 8

( x?

1

)n

? x?

8? r

? (?

1

24 x

)

r

1 r r ? (? ) ? C8 x 2

①若 Tr ?1 是常数项,则

16 ? 3r ?0 4

16 ? 3r ②若 Tr ?1 是有理项,当且仅当 为整数 4 ∴ r=0,4,8, 0 ? r ? 8, r ? Z


r ? Z ,这不可能,∴展开式中没有常数项;

r C ? x ? ? ?1? 8 ? x 4 2r ? 0 ? r ? 8? 即16-3r=0, ? r ? Z ? ? ?

2

?

4

r

T1 ? x 分别是:

4

35 T5 ? x 8

T9 ?

1 x ?2 256

例4 的展开式中,第五项与第三项的二 项式系数之比为14:3,求展开式的常数项
4 2 4 2 解:依题意 Cn : Cn ? 14 : 3 ? 3Cn ? 14Cn

已知 ( x ?

2 n ) 2 x

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! 设第r+1项为常数项,又
5r ? 0? r ? 2 令 10 ? 2

?
10 ? r

n=10

Tr ?1 ? C ( x )
r 10

10 ? 5 r 2 r r r ( ? 2 ) ? ( ?2) C10 x 2 x

2 ?T2?1 ? C10 (?2)2 ? 180.

此所求常数项为180

例5 求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 10 ( 1 ? x )[ 1 ? ( 1 ? x ) ] ( x ? 1) ? ( x ? 1) 10 解: (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ? ( 1 ? x) ? =
11

1 ? (1 ? x)

x

∴原式中x3实为这分子中的x4,则所求系数为 例6 求 0.9986 的近似值,使误差小于0.001.

C

7 11

6 6 0 1 1 6 6 0.998 ? (1 ? 0.002) ? C ? C ( ? 0.002) ? ? ? C ( ? 0.002) 解: 6 6 6

2 0.0022 ? 0.00006 展开式中第三项为 C6

小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,
0 1 0.9986 ? (1 ? 0.002)6 ? C6 ? C6 (?0.002)1 ? 0.998
n 一般地当a 较小时 (1 ? a) ? 1 ? na


巩固提高 题型一 二项展开式中系数的最大与最小 11 例1 在二项式 ( x ?1) 的展开式中,求系数最小的 项的系数。 11 ( x ? 1 ) 解:因为在 的展开式中,各项的二项式系数 与项的系数相等或互为相反数,又展开式中二项式系数 5 6 5 最大的项有两项,分别为第六项 C11 x (?1) 、第七项 6 5 C11 x (?1)6
5 所以系数最小的项的系数为 ? C11 ? ?462.

例2 已知(3 x ? x 2 )2n的展开式的系数和比(3x-1)n的 展开式的系数和大992,求 (2 x ? 1 )2n 的展开式中:①二项式系 x 数最大的项;②系数的绝对值最大的项. 解:由题意 22 n ? 2n ? 992
1 10 ① (2 x ? ) 的展开式中第6项的二项式系数最大,即 x
1 5 T6 ? T5?1 ? C10 ? ( 2 x )5 ? ( ? )5 ? ?8064 x

②设第r+1项的系数的绝对值最大,则
1 r r Tr ?1 ? C10 ? ( 2 x )10 ? r ? ( ? )r ? ( ?1)r ? C10 ? 210 ? r ? x 10? 2 r x
r 10 ? r r ?1 ? ? C10 ? 210? r ?1 ?C10 ? 2 ? r 10? r r ?1 ? ? C10 ? 210? r ?1 ?C10 ? 2

解得n=5.
8 11 ?r? 3 3

r r ?1 ? ?C10 ? 2C10 ? r r ?1 ? ? 2C10 ? C10

?11 ? r ? 2r ? ?2( r ? 1) ? 10 ? r

∴r=3,故系数的绝对值最大的是第4项 。
.

28 ( 2 x ? 3 y ) 例3 求 的展开式中系数最大的是第几项?

解:设展开式中第r+1项的系数最大,则
r 28 ? r r r ?1 29 ? r r ?1 ? C ? 2 ? 3 ? C ? 2 ? 3 ? 28 28 ? r 28 ? r r r ?1 27 ? r r ?1 ? C ? 2 ? 3 ? C ? 2 ? 3 28 ? 28

r r ?1 ? ?3(29 ? r ) ? 2r 3C ? 2 C ? 28 28 ? ? r r ?1 ? ?2(r ? 1) ? 3(28? r ) ?2C28 ? 3C 28 2 2 16 ? r ? 17 5 5

∴r=7

故第18项的系数最大

题型二 展开式的系数和 2 ( x 3 ? 3x2 )n 的展开式中,各项系数和比它 例4 已知: 的二项式系数和大992. ⑴求展开式中二项式系数最大的项;
解:令x=1,则展开式中各项系数和为 (1 ? 3)n ? 22 n

又展开式中二项式系数和为2n
T3 ? C ( x ) (3x ) ? 90 x
2 5 2 2 2 3 3 6

22 n ? 2n ? 992 n ? 5
3 5 2 3 2 2 3 22 3

⑴∵n=5, 展开式共6项,二项式系数最大的项为第三,四两项
T4 ? C ( x ) (3x ) ? 270 x
2 3

⑵求展开式中系数最大的项 即展开式中第 5项系数最大, 设展开式中第r+1项系数最大,则
Tr ?1 ? C5r ( x )
2 3 5? r r (3x 2 )r ? 3r C5 x 10? 4 r 3

T5 ? C54 ( x )(3x 2 )4 ? 405 x

26 3

r r r ?1 r ?1 ? 7 9 ?3 C5 ? 3 C5 ? ?r? ? r r r ?1 r ?1 2 2 ? ?3 C5 ? 3 C5

r?4

3 2 3 ( 2 x ? 3 ) ? a ? a x ? a x ? a x 例5 设: 0 1 2 3

2 2 ( a ? a ) ? ( a ? a ) 求: 0 2 的值。 1 3

解:在 (2x ? 3)3 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 令x=1,得 (a0 ? a2 ) ? (a1 ? a3 ) ? (2 ? 3)3
3 ( a ? a ) ? ( a ? a ) ? ( 3 ? 2 ) 令x=-1,得 0 2 1 3

两式相乘得

(a0 ? a2 )2 ? (a1 ? a3 )2 ? (?1)3 ? ?1

例6 已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 (1 ? 2 x)7 ? (1 ? 2)7 ? ?1 当x=1时, 求: ⑴ a1 ? a2 ? ? ? a7 展开式右边为 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 当x=0时, a0 ? 1 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ?1 ? ?2 ⑵ a1 ? a3 ? a5 ? a7 7 令x=-1,a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 3
2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? ?1 ? 37

⑶ | a0 | ? | a1 | ??? | a7 |
2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? ?1 ? 3
7

a1 , a3 , a5 , a7 均为负, a0 , a2 , a4 , a8 均为正,
?1 ? 37 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? 2

1 ? 37 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? 2

| a0 | ? | a1 | ??? | a7 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7
? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? 37

10 ( 2 x ? 3 y ) 例7 在 的展开式中,求:

(2 x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x9 y ? a2 x8 y 2 ? ?? a10 y10
0 1 10 ? C10 ? ?? C10 ? 210 ①二项式系数的和; C10

②各项系数的和; 令x=y=1,各项系数和为 (2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
0 2 10 C10 ? C10 ? ?? C10 ? 29 1 3 9 C10 ? C10 ? ?? C10 ? 29

1 ? 510 ④奇数项系数和与偶数项系数和; 2

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 1

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? a10 ? 510

1 ? 510 2

⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
1 ? 510 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 ? 2

1 ? 510 a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a10 ? 2

2 n a ? a x ? a x ? ? ? a x 例8 设?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ? 0 1 2 n
2 3 n

当 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 254 时,求n的值
2 3 n a ? a ? a ? ? ? a ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 解:令x=1得: 0 1 2 n

2(2n ? 1) ? ? 254 2 ?1

2n ? 128, n ? 7

f ( x) ? a0 ( x ? a)n ? a1 ( x ? a)n?1 ? ?? an
令x-a=1即x=a+1可得各项系数的和

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an
的值;令x-a=-1即x=a-1,可得奇数项系数和与偶数项 和的关系。

练习 已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________ (4)若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200

赋值法

求a1+a3+a5+a7+…+a199

的值。

二项式定理的其它问题
例9 在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数.
( x 2 ? 3 x ? 2)5 ? ( x ? 1)5 ( x ? 2)5

∴在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为 在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,
1 4 C 含x的项为 5 2 x ? 80x

1 C5 ? 5x

∴展开式中含x的项为 1 ? (80x ) ? 5 x(32) ? 240x ∴此展开式中x的系数为240

1 2 3 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? nCn ? n ? 2n?1 例10 求证:

证(法一)倒序相加:设

1 2 3 n ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn S ? Cn

n n?1 n ?2 2 1 S ? nCn ? (n ?1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? 2Cn ? Cn

0 n 1 n?1 1 2 n r n ?r ? Cn ? ? ? Cn Cn ? Cn , Cn ? Cn ,? 2S ? n ? Cn0 ? Cn Cn ? Cn ?
, ∴

1 S ? ? n ? 2n ? n ? 2n ?1 2

1 2 3 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? nCn ? n ? 2n?1

(法二):左边各组合数的通项为
rC
r ? n

r?

n! n ? (n ? 1)! r ?1 ? ? nCn ?1 r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!

1 2 3 n 0 1 2 n ?1 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? Cn ? C ? C ? ? ? C ?1 n ?1 n?2 n ?1 ?

? n ? 2n?1

2 4 ( x ? 3 x ? 4 ) 例11 求 的展开式中x的系数

2 4 2 4 ( x ? 3 x ? 4 ) ? [( x ? 3 x ) ? 4 ] (法一)

3 2 3 4 4 ? C ( x ? 3 x ) ? 4 ? C ? 4 ? C ( x ? 3x) ? C ( x ? 3x) ? 4 ?C ( x ? 3x) ? 4 4 4

0 4

2

4

1 4

2

3

2 4

2

2

2

显然,上式中只有第四项中含x的项 系数是 ? C43 ? 3 ? 43 ? ?768

2 4 4 4 4 ( x ? 3 x ? 4 ) ? [( x ? 1 )( x ? 4 )] ? ( x ? 1 ) ( x ? 4 ) (法二)
0 4 1 3 2 2 3 4 ? (C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 )
0 4 1 3 2 2 3 4 (C4 x ? C4 x ? 4 ? C4 x ? 42 ? C4 x ? 43 ? C4 ? 44 )

∴展开式中含x的项的系数是
3 3 3 4 4 ? C4 4 ? ?768 ? C4


f ( x) ? ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? (m, n ? N ) 的展开 例12 已知 式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数最小值.
m n
*

?1 ? 2 x ? 解:
m

m

? ?1 ? 4 x ?

n

展开式中含x的项为
1 1 (2Cm ? 4Cn ) ? 36

1 1 1 1 Cm ? 2x ? Cn ? 4x ? (2Cm ? 4Cn )x

m ? 2n ? 18

?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ?
2 m 2 2 n 2

n

展开式中含x2的项的系数为

2 2 ? 2 m ? 2 m ? 8 n ? 8n t= C 2 ? C 4

m ? 2n ? 18

m ? 18 ? 2n
n? 37 8

t ? 2(18 ? 2n)2 ? 2(18 ? 2n) ? 8n2 ? 8n ? 16n2 ? 148n ? 612
37 153 ? 16(n ? n ? ) 4 4
2

时,t取最小值, 但 n ? N *

n ? 5 时,t即x2项的系数最小,最小值为272,此时

n ? 5, m ? 8

练习

化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.

1 原式 ? C40 ( x ? 1)4 ? C4 ( x ? 1)3 ? C42 ( x ? 1)2 ? C43 ( x ? 1) ? C44

? [( x ? 1) ? 1]

4

?x

4


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