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变化率与导数的概念


第三章 导数及其应用

第 1讲

变化率与导数、导数的运算

第三章 导数及其应用

考纲展示 1.了解导数概念的实际背景 2.通过函数图象直观理解导数 的几何意义 3.能根据导数的定义求函数y= 1 C(C为常数),y=x,y=x, y=x2,y=x3,y= x的导数

考情呈现

1.考查频数:5年5考 2.考查题型:选择 题、填空题、解答题 3.试题难度:中、难

第三章 导数及其应用

考纲展示 4.能利用以下给出的基本初等函数的导 数公式和导数的四则运算法则求简单函数 的导数. ·常见的基本初等函数的导数公式:

考情呈现

4.高频考 点:求函数

(C)′=0(C为常数);(xn)′=nxn-1(n∈N+); 的导数和求 曲线的切线 (sin x)′=cos x;(cos x)′=-sin x; (ex)′=ex;(ax)′=axln a(a>0,且a≠1); 1 1 (ln x)′=x;(logax)′=xlogae(a>0,且a≠1) 方程

第三章 导数及其应用

考纲展示 ·常用的导数运算法则: 法则1:[u(x)± v(x)]′=u′(x)± v′(x) 法则2:[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
?u(x)? ? 法则3:? ?v(x)?′= ? ?

考情呈现 5.考查能力: 求函数的导数和 利用导数的几何 意义求曲线的切 线方程并利用曲

u′(x)v(x)-u(x)v′(x) 线的切线方程求 (v(x)≠0) v2(x) 解相关的问题

第三章 导数及其应用

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 Δy Δ x=

f(x0+Δx)-f(x0) ,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 Δx 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)= f(x0+Δx)-f(x0) . Δx
栏目 导引

Δy Δ x=

第三章 导数及其应用

(2)导数的几何意义 函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处 的切线的 斜率 . (3)函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= f(x+Δ x)-f(x) 导函数 . 为 f ( x ) 的 Δx

栏目 导引

第三章 导数及其应用

2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn 1(n∈Q*)


f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=axln a f′(x)= e
x

1 f′(x)= xln a
1 f′(x)= x

栏目 导引

第三章 导数及其应用

3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)±g′(x) ; ;

(2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

? f(x) ? f′(x)g(x)-f(x)g′(x) ? ? (3)? (g(x)≠0). 2 ?′= g ( x ) [ g ( x ) ] ? ?

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第三章 导数及其应用

导数的运算技巧 (1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复 合运算的形式,再利用运算法则求导数; (2)对于不具备求导法则结构形式的,要适当恒等变形,转化 为较易求导的结构形式,再求导数.但必须注意变形的等价 性,避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者分 式时,可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式,然 后再求解比较方便;当函数表达式含有三角函数时,可优先 考虑利用三角公式进行化简后再求导.
栏目 导引

第三章 导数及其应用

1.(选修 1-1 P75 例 1 改编)将原油精炼为汽油的过程中,需 要对原油进行冷却,已知在第 x 小时,原油的温度(℃)为 f(x) =x2-7x+15(0≤x≤8).则第 4 小时,原油温度的瞬时变化 率为( C ) A.-3 C.1 B.3 D.-1

栏目 导引

第三章 导数及其应用

解析:在 x=4 的瞬时变化率为

Δy lim = lim Δx→0 Δx Δx→0

f(4+Δx)-f(4) = lim [(Δx)+1]=1,故选 C. Δx Δx→0

栏目 导引

第三章 导数及其应用

2 . ( 选 修 1 - 1 P77 内 文 改 编 ) 若 函 数 f(x) 满 足 f(x0+Δx)-f(x0) = 2. 则 Δx =( B ) A.2 1 C. 2 B.4 f(x0+2Δx)-f(x0) Δx

D.-2 f(x0+2Δx)-f(x0) 解析: lim Δx Δx→0
2[f(x0+2Δx)-f(x0)] = lim =2f′(x0)=4,故选 B. 2Δx Δx→0
栏目 导引

第三章 导数及其应用

3.(选修 1-1 P80 A 组 T6 改编)函数 y=f(x)的图象如图,则 导函数 f′(x)的大致图象为( B )

栏目 导引

第三章 导数及其应用

解析:由原图知可设 y=f(x)=kx+b(k<0). f(x+Δx)-f(x) 则 f′(x)= lim Δx Δx→0 k(x+Δx)+b-kx-b = lim =k<0,故选 B. Δx Δx→0

栏目 导引

第三章 导数及其应用

4. (选修 1-1 P85 A 组 T5 改编)已知 f(x)=13-8x+2x2, f′(x0)
3 =4,则 x0=________ .
解析:∵f′(x)=-8+4x, ∴f′(x0)=-8+4x0=4, 解得 x0=3.

栏目 导引

第三章 导数及其应用

5. (选修 1-1 P85 A 组 T6 改编)函数 y=xln x 与 x 轴的交点为
y=x-1 . P,则曲线 y=xln x 在点 P 处的切线方程为________

解析:由 y=0 得 xln x=0,即 x=1, ∴P 点的坐标为(1,0). 又 y′=ln x+1, ∴曲线在点 P 处的切线斜率为 y′|x=1=ln 1+1=1.故切线方程为 y=x-1.

栏目 导引

第三章 导数及其应用

导数的运算
(1)求函数 f(x)=2ln x+3x2-2x+4 的导数. sin 2x (2)求函数 f(x)= 的导数. cos x 6x2-2x+2 1 2 [解] (1)f′(x)=2· 2x-2=x+6x-2= ; x+3× x

sin 2x 2sin xcos x (2)∵f(x)= = =2sin x, cos x cos x ∴f′(x)=(2sin x)′=2cos x.
栏目 导引

第三章 导数及其应用

导数的几何意义

(1)[曲线在某点处的切线方程 ](2015· 高考全国卷Ⅰ )已 知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,

1 7),则 a=________ .
(2)[过某点的曲线的切线方程]过点(0,-1)且与曲线 y=x2 相

y=2x-1或y=-2x-1 切的切线方程为________________________ .

栏目 导引

第三章 导数及其应用

[解析]

(1)因为 f′(x)=3ax2+1,

所以 f′(1)=3a+1. 又 f(1)=a+2, 所以切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). 因为切线过点(2,7), 所以 7-(a+2)=3a+1, 解得 a=1.

栏目 导引

第三章 导数及其应用

2 (2)设切点为(x0,x2 ) ,由 y = x 得 y′=2x. 0

x2 0+1 ∴2x0= , x0 解得 x0=1 或 x0=-1. 当 x0=1 时,切点为(1,1),斜率 k=y′|x=1=2. 切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 当 x0=-1 时,切点为(-1,1),斜率 k=y′|x=-1=-2. 切线方程为 y-1=-2(x+1),即 y=-2x-1. 综上,所求切线方程为 y=2x-1 或 y=-2x-1.
栏目 导引

第三章 导数及其应用

(1)求曲线切线方程的步骤: ①求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率; ②由点斜式方程求得切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0). (2)求曲线切线方程需注意两点: ①当曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导 数不存在)时,切线方程为 x=x0; ②当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再利用两点 连线的斜率等于切点的导数值求解.
栏目 导引

第三章 导数及其应用

1.曲线 y=x3-2x+3 在 x=1 处的切线 l 的方程为( B ) A.x-y-1=0 C.x+y-3=0 B.x-y+1=0 D.x+y+3=0

解析:由 y=x3-2x+3,得 y′=3x2-2. 当 x=1 时,y=2,y′|x=1=1. ∴曲线在 x=1 处的切线方程为 y-2=x-1, 即 x-y+1=0,故选 B.
栏目 导引

第三章 导数及其应用

2.直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,2), 则 ab=( A ) A.-8 B.-6 C.-1 D. 0

解析:由题意得 y=kx +1 过点 A(1,2), ∴2=k+1,即 k=1. 对于曲线 y=x3+ax +b 有 y′=3x2+a, 又∵直线 y=kx +1 与曲线相切于点 (1,2), ∴y′=k,且 y′|x=1=3+a,即 1=3+a, ∴a=-2,代入曲线方程 y=x3+ax+b,可解得 b=3. ∴ab=(-2)3=-8.
栏目 导引

第三章 导数及其应用

3.曲线 y=aln x(a>0)在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三
8 角形的面积为 4,则 a=________ .

a 解析:∵y=aln x,∴y′=x, ∴在 x=1 处的切线的斜率 k=a,而 f(1)=aln 1=0,故切点 为(1,0),∴切线方程为 y=a(x-1), 1 ∴ ×a×1=4,∴a=8. 2

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第三章 导数及其应用

导数的几何意义的综合应用
1 (2015· 高考全国卷Ⅰ节选)已知函数 f(x)=x +ax+ , 4
3

当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线. [解] 设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点(x0,0),
则 f(x0)=0,f′(x0)=0,即 1 ? 1 ? x0= , ? ?x3 2 0+ax0+ =0, 4 ? 解得? 3 2 ? ? 3 x + a = 0 , a=- . ? 0 4 ? 3 因此,当 a=- 时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线. 4
栏目 导引

第三章 导数及其应用

利用导数的几何意义求曲线的切线问题的基本思路是设曲线 ?k切=f′(x0) ? 在(x0,y0)处的切线为 l,则根据?切点在切线l上,建立方程组 ?切点在曲线上 ? 求解.

栏目 导引

第三章 导数及其应用

已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( C ) A.e 1 C. e
k=f′(x0), 1 ∴切线方程为 y-y0= (x-x0),又切线过点(0,0),代入切 x0 1 1 线方程得 x0=e,y0=1,∴k=f′(x0)= = . x0 e
栏目 导引

B.-e 1 D.- e

解析: y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则

第三章 导数及其应用

两条曲线的公切线

(2015· 高考全国卷Ⅱ)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)
8 处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________ .

[解析]

因为 y=x+ln x,

1 所以 y′=1+x,y′|x=1=2. 所以曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x- 1),即 y=2x-1.

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第三章 导数及其应用

因为 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, 所以 a≠0(当 a=0 时曲线变为 y=2x+1 与已知直线平行).
? ?y=2x-1, 由? 消去 2 ? ?y=ax +(a+2)x+1,

y,

得 ax2+ax+2=0.由 Δ=a2-8a=0,解得 a=8.

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第三章 导数及其应用

求两条曲线的公切线的方法: 方法 1:利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切, 列出关系式求解. 方法 2:利用公切线得出关系式. 设公切线 l 在 y=f(x)上的切点 P1(x1,y1),在 y=g(x)上的切 f(x1)-g(x2) 点 P2(x2,y2),则 f′(x1)=g′(x2)= . x1-x2

栏目 导引

第三章 导数及其应用

1.曲线 f(x)=ex 在 x=0 处的切线与曲线 g(x)=ax2-a(a≠0) 1 - (-1,0) . 2 ,切点坐标为________ 相切,则 a=________
解析:曲线 f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1.设其与曲线 g(x)=ax2-a 相切于点(x0,ax2 0-a). 则 g′(x0)=2ax0=1, 且 ax2 0-a=x0+1. 1 解得 x0=-1,a=- ,切点坐标为(-1,0). 2
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第三章 导数及其应用

1 2.已知曲线 f(x)=x +ax+ 在 x=0 处的切线与曲线 g(x)= 4
3

-ln x 相切,求 a 的值.

1 解:由 f(x)=x +ax+ 得, 4
3

1 f′(x)=3x +a.f′(0)=a,f(0)= , 4
2

1 ∴曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y- =ax. 4

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第三章 导数及其应用

1 设直线 y- =ax 与曲线 g(x)=-ln x 相切于点(x0,-ln x0), 4 1 g′(x)=-x, 1 ? ?-ln x0-4=ax0 ∴? , 1 ?a=- x0 ? 3 将②代入①得 ln x0= , 4 ∴x0=e ,∴a=- 3=-e e4
3 4

① ②

1



3 4.

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第三章 导数及其应用

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