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山东省烟台市2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案


2016-2017 学年度第二学期高一期中自主练习 (数学试题)
?? 参考公式: b

?? x
n i ?1

i

? x yi ? y
i

??

?

?? x
n i ?1

?x

?

2

? ? y ? bx ? . ,a

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某校高一年级举办歌咏比赛,7 位裁判为某班级打出的分数如下图茎叶图所示,左边数字 表示十位数字,右边数字表示个位数字,则这些数据的中位数是( )

A.84

B.85

C.88

D.89 )

2.已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦长为 4,则实数 a 的值为( A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8 )

3.观察下列散点图,其中两个变量的相关关系判断正确的是(

A. a 为正相关, b 为负相关, c 为不相关 B. a 为负相关, b 为不相关, c 为正相关 C. a 为负相关, b 为正相关, c 为不相关 D. a 为正相关, b 为不相关, c 为负相关 4.如图是总体密度曲线,下列说法正确的是( )

A.组距越大,频率分布折线图越接近于它

B.样本容量越小,频率分布折线图越接近于它 C.阴影部分的面积代表总体在 ? a, b ? 内取值的百分比 D.阴影部分的平均高度代表总体在 ? a, b ? 内取值的百分比 5.圆 ? x ? 3? ? ? y ? 3? ? 4 上到直线 3x ? 4 y ? 16 ? 0 的距离等于 1 的点有(
2 2



A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

6.中国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”, 用形数结合的方法给出了勾股定理的详 细证明, 如图所示的“勾股圆方图”的四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边 长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 ? ? 一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是( )

?
6

,现在向该正方形区域内随机地投掷

A. 1 ?

3 2

B.

3 2

C.

4? 3 4

D.

3 4

7.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行 该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 等于( )

A.0

B.2

C.4

D.14

8.袋中装有练球 3 个,白球 2 个,黑球 1 个,从中任取 2 个,则互斥而不对立的两个事件是 ( ) B.至少有一个白球:至少有一个红球 D.至少有一个白球:都是白球 )

A.至少有一个白球:红、黑球各一个 C.恰有一个白球:一个白球一个黑球

9.以 ? a,1? 为圆心, 且与两直线 x ? y ? 1 ? 0 及 x ? y ? 3 ? 0 同时相切的圆的标准方程为 (

A. x2 ? ? y ? 1? ? 2
2

B. ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

C. x2 ? ? y ? 1? ? 8
2

D. ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 8
2 2

10.一名射击运动员射击 10 次,命中环数如下,则该运动员命中环数的标准差为( A. 0.81 B. 0.9 C. 0.64 D. 0.8



11.现有 1 名女教师和 2 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若每位选手从中有放 回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( A. )

1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

3 4

12.若圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 ? a, b ? 向圆 C 所作 的切线长的最小值是( A.2 B.3 ) C.4 D.6

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1-50 号,并分组,第一组 1-5 号,第二组 6-10 号,?,第十组 46-50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得的号码为 14.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 . .

15.从一副扑克牌中取出 1 张 A ,2 张 K ,2 张 Q 放入一盒子中,然后从这 5 张牌中随机取 出两张,则这两张牌大小不同的概率为 .

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 y ? x ? 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 M 、 N 两点,点 P 在圆 ? x ? a ? ? y 2 ? 2 ? a ? 0? 上运动,若 ?MPN 恒为锐角,则实数 a 的取值范围
2





三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.某地最近十年对某商品的需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 需要量(万 件) 2008 236 2010 246 2012 257 2014 276 2016 286

? ?a ?; (1)利用所给数据求年需求量 y 与年份 x 之间的回归直线方程 ? y ? bx
(2)预测该地 2018 年的商品需求量(结果保留整数). 18.在 △ ABC 中,已知 BC ? 4 ,且
AB AC ? ? ,求点 A 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

19.已知正方形 ABCD 的边长为 1,弧 BD 是以点 A 为圆心的圆弧.

(1)在正方形内任取一点 M ,求事件“ AM ? 1 ”的概率; (2)用大豆将正方形均匀铺满,经清点,发现大豆一共 28 粒,其中有 22 粒落在圆中阴影 部分内,请据此估计圆周率 ? 的近似值(精确到 0.01 ). 20.已知直线 l :? k ? 1? x ? 2 y ? 5 ? 3k ? 0 ? k ? R ? 恒过定点 P ,圆 C 经过点 A ? 4,0 ? 和点 P ,且 圆心在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上. (1)求定点 P 的坐标; (2)求圆 C 的方程; (3)已知点 P 为圆 C 直径的一个端点,若另一个端点为点 Q ,问:在 y 轴上是否存在一点
M ? 0, m? ,使得 △PMQ 为直角三角形,若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由.

21.从某小区随机抽取 40 个家庭,收集了这 40 个家庭去年的月均用水量(单位:吨)的数 据,整理得到频数分布表和频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中 a , b 的值; (2)从该小区随机选取一个家庭,试估计这个家庭去年的月均用水量不低于 6 吨的概率; (3) 在这 40 个家庭中, 用分层抽样的方法从月均用水量不低于 6 吨的家庭里抽取一个容量 为 7 的样本,将该样本看成一个总体,从中任意选取 2 个家庭,求其中恰有一个家庭的月均 用水量不低于 8 吨的概率. 22.已知圆 M : x2 ? ? y ? 2? ? r 2 ? r ? 0? 与曲线 C : ? y ? 2 ??3x ? 4 y ? 3 ? ? 0 有三个不同的交点.
2

(1)求圆 M 的方程; (2)已知点 Q 是 x 轴上的动点, QA , QB 分别切圆 M 于 A , B 两点. ①若 AB ?
4 2 ,求 MQ 及直线 MQ 的方程; 3

②求证:直线 AB 恒过定点.

2016-2017 学年度第二学期高一期中自主练习 参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:CBDCC 6-10:ABABB 11、12:CC

二、填空题
13. 37 14. 8 15.

4 5

16. a ? 7 ? 1

三、解答题
17.解: (1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,
x ? 2012 , y ? 260.2 ,
? ? ? ?4 ? ? ? ?24.2 ? ? ? ?2 ? ? ? ?14.2 ? ? 2 ? 15.8 ? 4 ? 25.8 ? 260 ? 6.5 , b 42 ? 22 ? 22 ? 42 40

? ? y ? bx ? ? ?12817.8 , a
所以所求回归直线方程为: ? y ? 6.5x ? 12817.8 . (2)由(1) ,可预测 2018 年的商品需求量为:
6.5 ? 2018 ? 12817.8 ? 299.2 ≈ 300 (万件).

18.解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立直角坐标系,

则有 B ? ?2,0? , C ? 2,0 ? ,设点 A 的坐标为 ? x, y ? . 由
AB AC
2

? ? 得,

? x ? 2?

2

? y2 ? ?

? x ? 2?

2

? y 2 ,整理得

??

? 1? x2 ? ? ? 2 ? 1? y2 ? 4 ? ? 2 ? 1? x ? 4 ? ? 2 ? 1? ? 0 ,

当 ? 2 ? 1 时, ? ? 1 ,方程是 x ? 0 ,轨迹是 y 轴(除去原点) ;
? 2 ? ? 2 ? 1? ? 16? 2 2 ? 当 ? ? 1 时,配方得 ? x ? , ? y ? 2 2 ? ?2 ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ?
2
2

? 2 ? ? 2 ? 1? ? 4? ,0 ? 为圆心, 2 所以点 A 的轨迹是以 ? 为半径的圆(除去圆与 BC 的交点). 2 ? ? ?1 ? ? ? 1 ? ?

19.解: (1) 如图, 在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 M , 满足条件的点 M 落在扇形 BAD 内(图中阴影部分) ,由几何概型概率计算公式,有:
P ? MA ? 1? ? S阴影部分 S正方形ABCD ?

?
4



故事件“ AM ? 1 ”发生的概率为

? . 4

(2)正方形内的 28 粒大豆有 22 粒落在扇形 BAD 内, 频率为

22 11 ? , 28 14

用频率估计概率,由(1)知 ∴? ≈

?
4



11 , 14

11 22 ? 4 ? ≈ 3.14 ,即 ? 的近似值为 3.14 . 14 7

20.解: (1)由 ? k ? 1? x ? 2 y ? 5 ? 3k ? 0 得, k ? x ? 3? ? ? x ? 2 y ? 5? ? 0 ,
?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 令? ,得 ? ,即定点 P 的坐标为 ? 3,1? . ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?y ?1

(2)设圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
? ?16 ? 4 D ? F ? 0 ? D ? ?14 ? ? ? 由条件得 ?9 ? 1 ? 3D ? E ? F ? 0 ,解得 ? E ? ?8 . ? F ? 40 ? D ? ? E? ? ?? ? ? ? ? 2? ? ? ? 1 ? 0 ?? 2 ? ? 2? ?

所以圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 14x ? 8 y ? 40 ? 0 . (3)圆 C 的标准方程为 ? x ? 7? ? ? y ? 4? ? 25 , kCP ?
2 2

4 ?1 3 ? , 7?3 4

?3 ? x0 ? 14 设点 P ? 3,1? 关于圆心 ? 7, 4 ? 的对称点为 ? x0 , y0 ? ,则有 ? , ?1 ? y0 ? 8

解得 x0 ? 11 , y0 ? 7 ,故点 Q 的坐标为 ?11, 7 ? . 因为 M 在圆外,所以点 M 不能作为直角三角形的顶点, 若点 P 为直角三角形的顶点,则有 若点 Q 是直角三角形的顶点,则有 综上, m ? 5 或

m ?1 3 ? ? ?1 , m ? 5 , 0?3 4 m?7 3 65 , ? ? ?1 , m ? 0 ? 11 4 3

65 . 3
2

所以 32 ? ? m ? 1? ? 100 , 所以 1 ? 91 ? m ? 1 ? 91 . 21.解: (1)因为样本中家庭月均用水量在 ? 4,6 ? 上的频率为 在 ? 6,8? 上的频率为 所以 a ?

10 ? 0.25 , 40

16 =0.4 , 40

0.25 0.4 ? 0.125 , b ? ? 0.2 . 2 2

(2)根据频数分布表,40 个家庭中月均用水量不低于 6 吨的家庭共有 28 个, 所以样本中家庭月均用水量不低于 6 吨的概率是

28 ? 0.7 , 40

利用样本估计总体, 从该小区随机选取一个家庭, 可估计这个家庭去年的月均用水量不低于 6 吨的概率约为 0.7 . (3) 在这 40 个家庭中, 用分层抽样的方法从月均用水量不低于 6 吨的家庭里抽取一个容量 为 7 的样本, 则在 ? 6,8? 上应抽取 7 ? 在 ?8,10 ? 上应抽取 7 ?

16 ? 4 人,记为 A , B , C , D , 28

8 ? 2 人,记为 E , F , 28 4 ? 1 人,记为 G . 28

在 ?10,12 ? 上应抽取 7 ?

从中任意选取 2 个家庭的所有基本事件有:

? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D? , ? A, E ? , ? A, F ? , ? A, G ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ? B, E ? , ? B, F ? , ? B, G ? ,?C, D? ,?C, E ? ,?C, F ? ,?C, G ? ,? D, E ? ,? D, F ? ,? D, G ? ,? E, F ? ,? E, G ? ,? F , G ? ,
共 21 种. 其中恰有一个家庭的月均用水量不低于 8 吨的事件有:

? A, E ? ,? A, F ? ,? A, G ? ,? B, E ? ,? B, F ? ,? B, G ? ,?C, E ? ,?C, F ? ,?C, G ? ,? D, E ? ,? D, F ? , ? D, G ? ,共 12 种.
所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于 8 吨的概率为 22.解: (1)因为直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与圆 M 相切, 故圆心 ? 0, 2 ? 到直线的距离为 r ,即: 所以圆的方程为 x2 ? ? y ? 2? ? 1.
2

12 4 ? . 21 7

?8 ? 3 5

? r , r ?1.

(2)①设直线 MQ , AB 交于点 P ,则 AP ?
?2 2? 1 又 AM ? 1 ,所以 MP ? 1 ? ? ? 3 ? ? ?3, ? ?
2

2 2 , 3

而 AM ? MP MQ ,所以 MQ ? 3 , 设 Q ? x0 ,0? ,而点 M ? 0,2 ? ,由 x02 ? 22 ? 3 , x0 ? ? 5 , 则Q

2

?

5, 0 或 Q ? 5, 0 ,

?

?

?

从而直线 MQ 的方程为:

2x ? 5 y ? 2 5 ? 0 或 2x ? 5 y ? 2 5 ? 0 .
②证明:设点 Q ? q,0 ? ,由几何性质可以知道, A , B 在以 MQ 为直径的圆上, 此圆的方程为 x2 ? y 2 ? qx ? 2 y ? 0 , AB 为两圆的公共弦, 两圆方程相减得 qx ? 2 y ? 3 ? 0 ,

q 3 x? , 2 2 ? 3? 所以过定点 ? 0, ? . ? 2?
即 AB : y ?


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