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2.3.1 直线与平面垂直的判定 学案(人教A版必修2)


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 【课标要求】 1.理解线面垂直的定义,了解平面的垂线、斜线. 2.掌握线面垂直的判定定理. 3.理解直线与平面所成的角. 【核心扫描】 1.运用线面垂直的判定定理证明线面垂直.(重点) 2.线面角的计算.(难点)

新知导学 1.直线与平面垂直 (1)定义:若直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 α 互相垂直.记 作 l⊥α. (2)相关概念: 直线 l 叫做平面 α 的垂线. 平面 α 叫做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点叫做垂足. (3)画法:通常把直线画成与表示平面的四边形的一边垂直. 温馨提示:(1)由定义可知,若直线与平面垂直,则直线与平面内的任意一条直线垂直, 即若 a⊥α,b?α,则 a⊥b.这就为证明线线垂直提供了一种重要的方法. (2)重要结论:过一点和已知平面垂直的直线只有一条. 2.直线与平面垂直的判定定理

语言表示:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 图形表示:如图. 符号表示:l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=O?l⊥α. 温馨提示:(1)判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”, 若两条直线平行,则直线与平面不一定垂直. (2)直线和平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直,则线面垂直”,作用是由线线垂 直?线面垂直. 要判定一条直线和一个平面是否垂直, 取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已 知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的. (3)推论:①两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. ②若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直. 3.直线与平面所成的角

(1)斜线、斜足、斜线在平面上的射影: 如图所示,一条直线 PA 和一个平面 α 相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个 平面的斜线, 斜线和平面的交点 A 叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO(线 段 PO 的长叫做点 P 到平面 α 的距离),过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面 上的射影. (2)直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

温馨提示:线面角的范围是 0° ≤θ≤90° : ①直线和平面垂直时,直线与平面所成的角是直角,即为 90° ; ②直线和平面平行或直线在平面内时,则直线与平面所成的角是 0° . 互动探究 探究点 1 (1)若直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,直线 l 与平面 α 垂直吗? (2)若直线 l 与平面 α 内的所有直线都垂直,直线 l 与平面 α 垂直吗? 提示 (1)不一定垂直.l 与 α 可能平行、相交(垂直是相交的特例)也可能 l 在 α 内. (2)垂直.“平面 α 的任一直线”与“平面内所有直线”等价. 探究点 2 (1)若一条直线与平面内所有直线所成的角都相等,这条直线与该平面有什么 关系? (2)平面 α 的斜线 l 与 α 内的直线所成角的最小角是直线 l 与平面 α 所成的角吗?最大角 为多少度? 提示 (1)直线与平面垂直;(2)是,90° .

类型一 对线面垂直定义及判定定理的理解 【例 1】 下列命题中,正确的序号是________. ①若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α;②若直线 l 不垂直于平面 α,则 α 内 没有与 l 垂直的直线;③若直线 l 不垂直于平面 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直; ④若平面 α 内有一条直线与直线 l 不垂直则直线 l 与平面 α 不垂直. [思路探索] 利用线面垂直的定义并结合反例法,反证法判断. 解析 当 l 与 α 内的一条直线垂直时,不能保证 l 与平面 α 垂直,所以①不正确;当 l 与 α 不垂直时,l 可能与 α 内的无数条平行直线垂直,所以②不正确,③正确.根据线面垂 直的定义,若 l⊥α 则 l 与 α 的所有直线都垂直,所以④正确. 答案 ③④ [规律方法] (1)线面垂直的定义不易用来判定线面垂直,但能利用它判定线面不垂直. (2)要注意定义的等价性. 【活学活用 1】 下列命题错误的是________(填序号). ①若直线 l 与平面 α 内的两条直线垂直,则 l⊥α;②若直线 l 与平面 α 内的两条相交直 线垂直,则 l 与 α 的所有直线垂直;③过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个;④a、b 为异面直线,a∥α,b∥α,若 l⊥a,l⊥b,则 l⊥α. 解析 ②③④正确,①不正确. 答案 ① 类型二 线面垂直的判定

【例 2】 如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=1,AA1 =2,∠B1A1C1=90° ,D 为 BB1 的中点. 求证:AD⊥平面 A1DC1. [思路探索] 利用勾股定理逆定理,判定出 AD⊥DA1,再证 A1C1⊥平面 BA1,由线面垂 直定义得 AD⊥A1C1 最后用线面垂直判定证明 AD⊥平面 A1DC1. 证明 ∵AA1⊥底面 ABC,平面 A1B1C1∥平面 ABC, ∴AA1⊥平面 A1B1C1, ∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90° , ∴A1C1⊥A1B1 而 A1B1∩AA1=A1, ∴A1C1⊥平面 AA1B1B,AD?平面 AA1B1B,

∴A1C1⊥AD. 由已知计算得 AD= 2, A1D= 2, AA1=2.∴AD2+A1D2=AA2 ∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D 1, =A1, ∴AD⊥平面 A1DC1. [规律方法] 证线面垂直的方法有三类 (1)线线垂直证明线面垂直:①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直);②判定 定理最常用: 要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线); 结合平面图形的性质(如勾 股定理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结 论来论证线线垂直. (2)平行转化法(利用推论): ①a∥b,a⊥α?b⊥α; ②α∥β,a⊥α?b⊥α. (3)利用面面垂直的性质(在后面 2、3、4 节)

【活学活用 2】 如图,已知四棱锥 S ABCD 的各条棱长都相等,点 P∈SC,点 Q∈SB, R∈SD,并且 PC=2SP,SQ=2QB,SR=2RD. 求证:SC⊥平面 QPR. 证明 如题图,在侧面 SBC 中, ∵SB=SC=BC,∴△SBC 是等边三角形, ∴∠PSQ=60° . 由已知 PC=2SP,SQ=2QB,∴在△SPQ 中,SQ=2SP, ∴△SPQ 是直角三角形,从而得 SP⊥PQ 同理,SP⊥PR,又 PQ∩PR,∴SC⊥平面 QPR. 类型三 求直线与平面所成的角

【例 3】 如图所示,三棱锥 ASBC 中,∠BSC=90° ,∠ASB=∠ASC=60° ,SA=SB= SC.求直线 AS 与平面 SBC 所成的角. [思路探索] 确定 AS 在平面 SBC 上的射影是关键,即找过 A 点的平面 SBC 的垂线. 解 因为∠ASB=∠ASC=60° ,SA=SB=SC, 所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形.因此 AB=AC. 如图所示,取 BC 的中点 D,连接 AD,SD,则 AD⊥BC.

设 SA=a, 则在 Rt△SBC 中, BC= 2a, CD=SD= = 2 a. 2 则 AD2+SD2=SA2,所以 AD⊥SD. 又 BC∩SD=D, 所以 AD⊥平面 SBC.

2 a.在 Rt△ADC 中, AD= AC2-CD2 2

因此∠ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角. 2 在 Rt△ASD 中,SD=AD= a,所以∠ASD=45° , 2 即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45° . [规律方法] 求线面角的基本过程是“一作(线面角)”、 二证(证明是线面角)、 三计算(在 三角形中求解),但要注意找斜线上的特殊点以利计算.

【活学活用 3】 已知四面体 ABCD 的棱长都相等, Q 是 AD 的中点, 求 CQ 与平面 DBC 所成的角的正弦值. 解 过点 A 作 AO⊥平面 BCD, 连接 OD, OB, OC, 可知 O 是△BCD 的中心. 作 QP⊥OD, 如图所示. ∵QP∥AO,∴QP⊥平面 BCD. 连接 CP,则∠QCP 即为所求的角. 设四面体的棱长为 a, 3 ∵在正△ACD 中,Q 是 AD 的中点,∴CQ= a, 2 ∵QP∥AO,Q 是 AD 的中点, 1 1 1 6 6 3 ∴QP= AO= a2-? a?2= × a= a, 2 2 6 ?3 ? 2 3 QP 2 即 sin∠QCP= = . CQ 3 方法技巧 点到平面距离的求法 点到平面的距离就是通过该点作平面的垂线段的长度, 求点到平面的距离可以: ①直接 通过该点作平面的垂线,在三角形内,解直角三角形求出该点到垂足的距离;②由棱锥的体 积是底面面积乘高的三分之一得到, 棱锥的高实际就是棱锥的顶点到底面的距离, 通过等体 积转换得到点到平面的距离.

【示例】 如图所示,已知 P 为△ABC 所在平面外一点,PA,PB,PC 两两垂直,PA= PB=PC=a,求点 P 到平面 ABC 的距离. [思路分析] 由条件易知, P 在底面上的射影是底面正三角形的中心, 可用直接法求解. 解 法一 过 P 作 PO⊥平面 ABC 于点 O,连接 AO,BO,CO, 则 PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. 因为 PA=PB=PC=a, 所以△PAO≌△PBO≌△PCO, 所以 OA=OB=OC,所以 O 为△ABC 的外心. 因为 PA,PB,PC 两两垂直, 所以 AB=BC=CA= 2a, 3 6 所以△ABC 为正三角形,所以 OA= AB= a, 3 3

所以 PO= PA2-OA2=

3 a. 3

3 a. 3 法二 ∵PC⊥PA,PC⊥PB,AP∩PB=P ∴PC⊥平面 PAB,CP 是点 C 到平面 PAB 的距离 又 PA⊥PB,PA=PB=PC ∴AB= 2a,△ABC 为正三角形 1 ∴VPABC= hPS△ABC 3 1 又 VC S△PAB PAB= CP· 3 由 VPABC=VCPAB 得 1 3 1 1 3 h ( 2a)2= a·a2,∴hP= a. 3 P4 3 2 3 [题后反思] 点到平面的距离 (1)直接法:直接由点向平面作垂线,求垂线段的长. (2)转移法:转化成求另一点到该平面的距离 (3)等积转化法:把点到平面的距离看作是一个三棱锥的高,利用三棱锥的每个面都可 以 作为底面、体积不变的原理,求出这条高. 故点 P 到平面 ABC 的距离为

课堂达标

1.如图所示,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( ). A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 解析 连接 AC,因为 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC.又 MC⊥平面 ABCD,则 BD⊥MC. 因为 AC∩MC=C,所以 BD⊥平面 AMC.又 MA?平面 AMC,所以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直线 BD 不共面,因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交. 答案 C 2. 线段 AB 的长等于它在平面 α 内的射影长的 2 倍, 则 AB 所在直线与平面 α 所成的角 为( ). A.30° B.45° C.60° D.120°

1 解析 如图,AC⊥α,AB∩α=B,则 BC 是 AB 在平面 α 内的射影,则 BC= AB,所以 2 ∠ABC=60° ,它是 AB 与平面 α 所成的角. 答案 C 3.已知△ABC 所在平面外一点 P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点 P 在平面 ABC 内的射影是△ABC 的________. 解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点 P 在平面 ABC 内的射影到△ABC 三顶点 的距离都相等,所以是外心. 答案 外心

4.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,直线 AB1 与平面 ABCD 所成的角等于________. 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, B1B⊥平面 ABCD, 所以 AB 即为 AB1 在平面 ABCD 中的射影, ∠B1AB 即为直线 AB1 与平面 ABCD 所成的角,所以∠B1AB=45° . 答案 45°

5.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2, BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点.证明:PC⊥平面 BEF.

证明 如图,连接 PE,EC,在 Rt△PAE 和 Rt△CDE 中,PA=AB=CD,AE=DE, ∴PE=CE,即△PEC 是等腰三角形. 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC. 又 BP= AP2+AB2=2 2=BC, F 是 PC 的中点, ∴BF⊥PC. 又 BF∩EF=F,∴PC⊥平面 BEF. 课堂小结 1.直线和平面垂直的判定方法: (1)利用线面垂直的定义; (2)利用线面垂直的判定定理; (3)利用下面两个结论:①若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α;②若 α∥β,a⊥α,则 a⊥β. 2.线线垂直的判定方法: (1)异面直线所成的角是 90° ; (2)线面垂直,则线线垂直. 3.求线面角的常用方法: (1)直接法(一作二证三计算); (2)转移法(找过点与面平行的线或面); (3)等积法(三棱锥变换顶点,属间接求法).


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