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高中数学竞赛试题及答案


竞赛试卷 高中数学竞赛试题 总分 200 分 一、选择题(50 分) 1、已知 i 是虚数单位,则复数 1 ? 2i =( i?2 D ) A i B ?i C 4 3 ? ? i 5 5 4 3 ? ? i 5 5 ) 2、下列函数中,既是奇函数,又是在区间 (??, ??) 上单调递增的函数是( A y ? x2 ? x B y ? x ? 2sin x C y ? x3 ? x D y ? tan x 3、 已知 a, b 均为单位向量, 其夹角为 ? , 则命题 ( ) A 充分非必要条件 C 充要条件 4、已知集合 P ? ? 5? p : a ? b ? 1是命题 q : ? ?[ , ) 的 2 6 B 必要非充分条件 D 非充分非必要条件 ?x |1 ? x ? 2?, M ? ?x | 2 ? a ? x ? 1 ? a? ,若 P ) C M ? P ,则实 数 a 的取值范围是( A (??,1] ? B [1, ??) [?1,1] D [?1, ??) ) 5、函数 y 3 ? ? sin( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值是( 2 2 6 13 13 C D 13 4 2 6 、 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD的 底 面 是 正 方 形 , SD ? 底 面 ABCD,则下列结论中不正确的是( ) A 13 4 B A C D AB ? SA B BC 平面 SAD BC 与 SA 所成的角等于 AD 与 SC 所成的角 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 7、程序框图如图所示,若 f ( x) ? x2 , g ( x) ? log 2 x ,输入 x 的 ) D 值为 0.25,则输出的结果是( A 0.24 B ?2 C 2 ?0.25 8 、设 i , j 分别表示平面直角坐标系 x, y 轴上的单位向量,且 竞赛试卷 a ? i ? a ? 2 j ? 5 ,则 a ? 2i A 的取值范围是( ) [2 2,3] B [ 6 5 , 2 2] 5 C [ 5,4] D [ 6 5 ,3] 5 9、已知 F 1, F 2 分别为双曲线 C : 9 135 x2 y 2 ), ? ? 1 的左右焦点,点 A 的坐标为 ( , 2 2 9 27 ) M 的坐标为( 则 ?F 1 AF2 的平分线与轴的交点 A (2,0) B (?2,0) C (4,0) D (?4,0) ) 10、设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,若方程 f ( x) ? x 无实根,则方程 f ( f ( x)) ? x ( B 有两个相异实根 D 无实数根 A 有四个相异实根 C 有一个实根 二、填空题(共 49 分) 11、 设直线 y ? ax ? 4 与直线 y ? 8x ? b 关于直线 y ? x 对称, 则 a ? ___, b ? ____. 12、已知 1 ? cos x ? sin x ,则 x ? _______. 1 ? cos x x( x ? 1) ? arcsin( x 2 ? x ? 1) 的值为_______. 2 13、已知 x ? R ,则 14 、 已 知 实 数 a, b, c, d 满 足 ab ? c _______. 15、设数列 _______. ? d

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