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函数零点与一元二次方程根的分布
函数的零点:对于函数

y ? f (x) ,把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f (x) 的零点。 y ? f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那

零点存在性定理:如果函数 么, 函数

y ? f (x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

函数与方程思想:若

y = f ( x) 与 x 轴有交点 x0 ? f ( x0 )=0 若 y = f ( x )与 y = g ( x )有交点( x0 , y0 ) ? f ( x) = g ( x ) 有解 x0 。

一元二次方程根的分布 一、一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指 这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax 【定理 1】 x1
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 。
? ? ? b 2 ? 4ac ? 0

? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ? ? ?



b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ?

推论: x1

?b ? 0 , x 2 ? 0 ? ?? ? 0 a

?

2

? 4ac ? 0

? ? ? f ( 0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 或 ?a ? 0 ? ? ? f ( 0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?

【定理 2】 x1

? 0 , x2 ? 0 ? ? ?

?

? ? b 2 ? 4ac ? 0

b ? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? ? x1 x 2 ? a ? 0 ?



推论: x1

? 0 , x 2 ? 0 ? ?a ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? f ( 0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?

或?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?a ? 0 ? ? f ( 0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?

【定理 3】 x1

? 0 ? x2 ?

c ?0 a b ? 0; a
2 ○ x1

1 【定理 4】 ○ x1

? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且

? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且

b ?0。 a

函数零点与一元二次方程根的分布

1

二.一元二次方程的非零分布—— k 分布

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 。 k 为常数。则一元二次方程根 的 k 分布(即 x1 , x 2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。
设一元二次方程 ax
2

【定理 1】 k

? x1 ? x 2 ?

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

【定理 2】 x1

? x2 ? k ?

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

【定理 3】 x1

? k ? x 2 ? af (k ) ? 0 。

x1 ? 0 ? x 2 ? ac ? 0 。 推论 2 x1 ? 1 ? x 2 ? a(a ? b ? c) ? 0 。 【定理 4】有且仅有 k1 ? x1 (或 x 2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0
推论 1

?a ? 0 ? f ( k ) ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 1 ? 1 ? 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p 2 ? f ( k ) ? 0 或 ? ? ? 2 f (k 2 ) ? 0 ? ?f (p ) ? 0 ? f ( p1 ) ? 0 1 ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? f ( p2 ) ? 0 ? ?

函数零点与一元二次方程根的分布

2

【定理 6】 k1

? x1 ? x2 ? k 2 ?

? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 或 ?a ? 0 ? ? ? f ( k1 ) ? 0 ? f ( k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? ?k1 ? ? 2 a ? k 2 ?k1 ? ? 2 a ? k 2 ? ?

三、例题 例 1 当 m 取什么实数时,方程 4x2+(m-2)x+(m-5)=0 分别有: ①两个实根; ②一正根和一负根;

③正根绝对值大于负根绝对值;④两根都大于 1. 例 2.已知方程 2(k+1) x +4kx+3k-2=0 有两个负实根,求实数 k 的取值范围.
2

例 3.求实数 m 的范围,使关于 x 的方程

x 2 ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 ? 0 .

(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小. (2)有两个实根

? , ? ,且满足 0 ? ? ? 1 ? ? ? 4 .

(3)至少有一个正根.

例 4. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 例 5.已知二次方程

mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的两个根都小于 1,求 m 的取值范围

例 6.已知 a 是实数,函数 取值范围

, f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?11? 上有零点,求 a 的

函数零点与一元二次方程根的分布

3

1 解 :设方程 4 x +(m-2)x+(m-5)=0 的两根为
2

2

x1 、 x 2

①若方程 4 x +(m-2)x+(m-5)=0 有两个正根,则需满足:

?? ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? 0 ?x x ? 0 ? 1 2 ? m∈φ .∴此时 m 的取值范围是φ ,即原方程不可能有两个正根.
②若方程 4 x +(m-2)x+(m-5)=0 有一正根和一负根,则需满足:
2

?? ? 0 ? ? x1 x 2 ? 0

?

?(m ? 2) 2 ? 16(m ? 5) ? 0 ? ?m ? 5 ?0 ? ? 4

? m<5.

∴此时 m 的取值范围是(- ? ,5). ③若方程 4 x +(m-2)x+(m-5)=0 的正根绝对值大于负根绝对值,则需满足:
2

?? ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 0 ?x x ? 0 ?1 2 ?
2

? ?(m ? 2) 2 ? 16(m ? 5) ? 0 ? ? m?2 ?0 ?? 4 ? ?m ? 5 ? 4 ?0 ?

? m<2.∴此时 m 的取值范围是(- ? ,2).

4 若方程 4 x +(m-2)x+(m-5)=0 的两根都大于 1,则需满足:

?? ? 0 ? ?( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0 ?( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 0 2 ? 1

?

? ?m 2 ? 20 m ? 84 ? 0 ? ? 2m ? 3 ?0 ? ? 4 ?m ? 6 ? 4 ?0 ? ?

m∈φ .

∴此时 m 的取值范围是φ ,即原方程不可能两根都大于 1. 2 解:要原方程有两个负实根,必须:

?2( k ? 1) ? 0 ?? ? 0 ? ? ? x1 ? x2 ? 0 ? x1 x2 ? 0 ?
3 解:设 依题意有

? ?2 ? k ? ?1或

2 2 ? k ?1 3 ∴实数 k 的取值范围是{k|-2<k<-1 或 3 <k<1}.

y ? f ( x) ? x 2 ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 .

f (2) ? 0 ,即 4 ? 4(m ? 1) ? 2m ? 6 ? 0 ,得 m ? ?1 .
函数零点与一元二次方程根的分布 4

2)依题意有

? f ( 0) ? 2 m ? 6 ? 0 ? ? f (1) ? 4m ? 5 ? 0 ? f ( 4) ? 10 m ? 14 ? 0 ?

?
解得:

7 5 ?m?? 5 4.

(3)方程至少有一个正根,则有三种可能:

? ? ??0 ?m ? ?1或m ? 5 ? ? ? f ( 0) ? 0 m ? ?3 ? ? 2(m ? 1) ?0 ? ? m ?1 ? ?3 ? m ? ?1. ①有两个正根,此时可得 ? ? 2 ,即 ?
②有一个正根,一个负根,此时可得

f (0) ? 0 ,得 m ? ?3 .

? 6 ? 2m ? 0 ? 2(m ? 1) ? 0 ③有一个正根,另一根为0,此时可得 ?
综上所述,得 m ? ?1 .

?m ? ?3 .

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f (?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , ? ? ?? 1 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? , ? 2 ? f (2) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? 5 1 ?m ? ? 5 ? ?m?? ? 6 ? 6 ? 2,
? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间 (0,1) 内,列不等式组 ?
∴ 实数 m 的范围是 (?

? -

1 <m≤1- 2 , 2

1 ,1 ? 2 ] . 2

5 解一:二次方程两个根都小于 1,其充要条件为

? ?(2m ? 1) 2 ? 4m(m ? 2) ? 0 ? ?m[m ? (2m ? 1) ? m ? 2] ? 0 ? 2m ? 1 ?? ?1 2m ?

(1) ( 2) (3)

解二:二次方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有两个根的充要条件是 ? ? 0 . 设两根为 x1 , x 2 ,由于 x1 , x 2 都小于 1,即 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0 ,其充要条件为:
函数零点与一元二次方程根的分布 5

?( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0 ? x1 ? x 2 ? 2 ? 0 即? ? ?( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0 ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0
因此,方程两个根都小于 1 的充要条件是:

? ?(2m ? 1) 2 ? 4m(m ? 2) ? 0 ? ? 2m ? 1 ?2?0 ? m ? ? ? m ? 2 2m ? 1 ? m ? m ?1? 0 ?
1 3? 7 (??,? ) ? [ ,??) 2 4 所以, m 的取值范围是 . .
6.解析 1:函数

y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解,
f (?1) ? f (1) ? 0 或

a=0 时 , 不 符 合 题 意 , 所 以 a≠0, 方 程 f(x)=0 在 [-1 , 1] 上 有 解 <=>

? af ( ?1) ? 0 ? af (1) ? 0 ? ? ? ? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ? ?3 ? 7 ?3 ? 7 ? ? 1 ? [?1.1] a? a? ? a ? ?1 ? a ? 5 或 a?5 ? 2 2 或 或 a≥1.

所以实数 a 的取值范围是

a?

?3 ? 7 2 或 a≥1.

解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又 ∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解, ? (2 x2 ? 1)a ? 3 ? 2 x 在[-1,1]上有解 ? 1]上有解,问题转化为求函数 y ? t∈[1,5], y ? ?
7 t 1 2 x2 ? 1 在[-1, ? a 3 ? 2x

2 x2 ? 1 [-1,1]上的值域;设 t=3-2x,x∈[-1,1],则 2x ? 3 ? t , 3 ? 2x

1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 ? (t ? ? 6) , 2 t 2 t t2 ? 7 , t ? [1, 7) 时, g '(t ) ? 0 ,此函数 g(t)单调递减, t ? ( 7,5] 时, g '(t ) >0,此函数 t2

设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ?

g(t) 单 调 递 增 , ∴y 的 取 值 范 围 是 [ 7 ? 3,1] , ∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在 [-1 , 1] 上 有 解 ?
3? 7 1 ∈ [ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ? 。 2 a

函数零点与一元二次方程根的分布

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