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第五章 连续时间系统的S域分析讲解_图文

信号与系统 电子教案
1

第五章 连续时间系统的S域分析
西南林学院 计科系

鲁莹
第4-1页


主讲
?西南林学院 鲁莹

信号与系统 电子教案
2

第五章 连续时间系统的S频域分析

频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号,任意信号可分解 为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到 简化。物理意义清楚。但也有不足: (1)有些重要信号不存在傅里叶变换,如e2t、ε(t); (2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 为了使更多的信号存在傅里叶变换,可将频域推广 到复频域。 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数est为基本信 号,任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ,故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
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第五章 连续时间系统的S频域分析 信号与系统 电子教案 3 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的零极点图 四、系统的s域框图 五、电路的s域模型 5.5 系统的稳定性
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5.1

拉普拉斯变换

一、从傅里叶到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难。 为此,可用一衰减因子e-?t(?为实常数)乘信号f(t) , 适当选取?的值,使乘积信号f(t) e-?t当t?∞时信号幅 度趋近于0 ,从而使f(t) e-?t的傅里叶变换存在。
Fb(?+j?)= ?[ f(t)

e-?t]=

?

?

??

f (t ) e

?? t

e

? j? t

d t ? ? f (t ) e ?(? ? j? )t d t
??

?

相应的傅里叶逆变换 为 1 ? j ? t ? t F ( ? ? j ? ) e d? f(t) e = 2? ??? b
1 f (t ) ? 2?
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?

?

??

Fb (? ? j? ) e (? ? j? )t d ?


令s = ? + j?,d ?=ds/j,有
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5.1

拉普拉斯变换

Fb (s) ? ? f (t )e
??

?

? st

dt

双边拉普拉斯变换对

f (t ) ?

2? j ?? ? j ?

1

? ? j?

Fb ( s) e st d s

Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换(或象函数), f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换(或原函数)。

二、收敛域
只有选择适当的?值才能使积分收敛,信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在?的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
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5.1

拉普拉斯变换

例1 因果信号f1(t)= e?t ?(t) ,求其拉普拉斯变换。 解
F1b (s) ? ? e?t e ?st
0 ?

e ?( s ?? )t dt ? ? (s ? ? )

? 0

?

1 [1 ? lim e ?(? ?? )t e ? j? t ] t ?? (s ? ? )

? 1 ? s ? ? , Re[s ] ? ? ? ? ? ? ? 不定 , ? ?? ? 无界 , ? ?? ? ?



可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=?>?时,其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。

0

α

σ

收敛边界
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收敛域

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5.1

拉普拉斯变换

例2 反因果信号f2(t)= e?t?(-t) ,求其拉普拉斯变换。 解
e ?( s ? ? )t F2b (s) ? ? e e d t ? ?? ? (s ? ? )
0

? t ? st

0 ??

?

1 [1 ? lim e ?(? ? ? )t e ? j? t ] t ? ?? ? (s ? ? )


? , Re[s] ? ? . ? ? ? 无界 ? ? ? 不定 , ? ?? ? 1 ? ?? ? ? (s ? ? ) , ?

可见,对于反因果信号,仅当 Re[s]=?<?时,其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。

0

β

σ

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5.1

拉普拉斯变换

例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
?e ? t , t ? 0 f 3 (t ) ? f1 (t ) ? f 2 (t ) ? ? ? t ?e , t ? 0

求其拉普拉斯变换。

解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2 仅当?>?时,其收敛域 为 ?<Re[s]<?的一个带 状区域,如图所示。
α jω

0

β

σ

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5.1

拉普拉斯变换

例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t ?(t) + e-2t ?(t) f2(t)= – e -3t ?(–t) – e-2t ?(–t) f3(t)= e -3t ?(t) – e-2t ?(– t) 解
1 1 f 1 (t ) ?? F1 ( s ) ? ? s?3 s?2

Re[s]= ? > – 2

1 1 f 2 (t ) ?? F2 ( s ) ? ? s?3 s?2 1 1 f 3 (t ) ?? F3 ( s ) ? ? s?3 s?2

Re[s]= ? < – 3 –3<?<–2

可见,象函数相同,但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。
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5.1

拉普拉斯变换

10 通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为

坐标原点。这样,t<0时,f(t)=0。从而拉氏变换式写为

F ( s) ? ? f (t ) e
0?

?

? st

dt

称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]>? ,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。

三、单边拉氏变换
简记为F(s)=?[f(t)] F ( s) ? f (t ) e d t -1[F(s)] f(t)= ? 0? def ? 1 或 ? ? j? ? st f (t ) ? ? F (s) e d s ?? (t ) f(t)←→ F(s) ? ? j?
def

?

?

? st

? 2 ? j ?

?

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5.1

拉普拉斯变换

四、常见函数的拉普拉斯变换
1、?(t) ←→1,?> -∞ 2、?(t)或1 ←→1/s ,?> 0 3、指数函数e-s0t
1 ←→ s ? s0

?> -Re[s0]

?0 sin?0t = (ej? t– e-j? t )/2j ←→ 2 2 s ? ?0
0 0

s cos?0t = (ej?0t+ e-j?0t )/2 ←→ 2 2 s ? ?0

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5.1

拉普拉斯变换

4、周期信号fT(t)
FT ( s) ? ? f T (t ) e ? st d t
0 ?

? ? f T (t ) e d t ? ?
? st 0

T

2T

T

f T (t ) e d t ? ..... ? ? ?
? st n ?0

?

( n ?1)T

nT

f T (t ) e ? st d t

令t ? t ? nT
?

?e
n ?0

?

? nsT

?

T

0

1 f T (t ) e d t ? 1 ? e ? sT
? st

?

T

0

f T (t ) e ? st d t

特例:?T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)

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5.1

拉普拉斯变换

五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F ( s) ? ? f (t ) e ? st d t
0 ?

Re[s]>?0

F (j? ) ? ? f (t ) e
??

?

? j? t

dt

要讨论其关系,f(t)必须为因果信号。
根据收敛坐标?0的值可分为以下三种情况: (1)?0<0,即F(s)的收敛域包含j?轴,则f(t)的傅里叶 变换存在,并且 F(j?)=F(s)? s=j? 如f(t)=e-2t?(t) ←→F(s)=1/(s+2) , ?>-2; 则 F(j?)=1/( j?+2)
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5.1

拉普拉斯变换

(2)?0 =0,即F(s)的收敛边界为j?轴,

F (j ? ) ? lim F ( s )
? ?0

如f(t)= ?(t)←→F(s)=1/s
1 ? ? j? F (j? ) ? lim ? lim 2 ? lim 2 ? ?0 ? ? j? ? ?0 ? ? ? 2 ? ?0 ? ? ? 2

= ??(?) + 1/j? (3)?0 >0,F(j?)不存在。 例f(t)=e2t?(t) ←→F(s)=1/(s –2) , ? >2;其傅里叶变 换不存在。

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5.2

拉普拉斯变换性质

5.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>?1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>?2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(?1,?2)



f(t) = ?(t) + ?(t)←→1 + 1/s, ?> 0

二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>?0,且有实数a>0 , 则f(at) ←→ 1 s F( ) Re[s]>a?0 a a
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5.2

拉普拉斯变换性质

e ?s 例:如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = 2 (1 ? e ? s ? s e ? s ) s

求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 解: y(t)= 4f(0.5t)

f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t

Y(s) = 4×2 F(2s)
? 8 e ?2 s

?2s ?2

(1 ? e

?2 s

? 2s e

?2 s

)
0

2 e ?2 s ? 2 (1 ? e ?2 s ? 2s e ?2 s ) s

2

4

t

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5.2

拉普拉斯变换性质

三、时移(延时)特性
若f(t) <----->F(s) , Re[s]>?0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)?(t-t0)<----->e-st0F(s) , Re[s]>?0 与尺度变换相结合

f(at-t0)?(at-t0)←→

1 ? a0 s ? s ? e F? ? a ?a?
0

t

f1(t) 1 1 f2(t) 1 t

例1:求如图信号的单边拉氏变换。 解:f1(t) = ?(t) –?(t-1),f2(t) = ?(t+1) –?(t-1) 1 F1(s)= (1 ? e ? s ) s F2(s)= F1(s)
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-1

0

1

t

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5.2

拉普拉斯变换性质
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 0 2 -1 4 t t

例2:已知f1(t) ←→ F1(s), 求f2(t)←→ F2(s) f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)

解: f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)]

f1 [0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s
f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)

例3:求f(t)= e-2(t-1)ε(t) ←→ F (s)=?

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5.2

拉普拉斯变换性质

四、复频移(s域平移)特性
若f(t) ←→F(s) , Re[s]>?0 , 且有复常数sa=?a+j?a, 则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>?0+?a 例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
s s2 ?1

求e-tf(3t-2)的象函数。
? ( s ?1) s ?1 3 -t e 解:e f(3t-2) ←→ ( s ? 1) 2 ? 9 2

例2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→ F(s)= ? 解cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
s 2 2 2 2 s?2 F ( s) ? 2 ? 2 ? 2 s2 ? 4 s ?4 2 s ?4 2
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5.2

拉普拉斯变换性质

五、时域的微分特性(微分定理)
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>?0, 则f’(t) ←→ sF(s) – f(0-) f’’(t) ←→ s2F(s) – sf(0-) –f’(0-) f(n)(t) ←→ snF(s) –
m ?0 n ?1? m ( m ) s f (0 ? ) ? n ?1

若f(t)为因果信号,则f(n)(t) ←→ snF(s)

例1:?(n)(t) ←→?
例2: d [cos 2t? (t )] ?? ?
dt

例3: d [cos 2t ] ?? ?
dt

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5.2

拉普拉斯变换性质

六、时域积分特性(积分定理)
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>?0, 则
? ? f ( x) d x ?? 1 F ( s) ? ? 0? ? sn ? ?
t n

f

( ?1)

(t ) ? ?

t ??

f ( x) d x ?? s ?1 F ( s) ? s ?1 f ( ?1) (0 ? )

例1: t2?(t)<---->?
? ? ?0 ?
t 2 t

?

t 0

? ( x) d x ? t? (t )
2 t ? (t ) ?? 3 s
2

2 t ? ? ? ( x) d x ? ?0 x? ( x) d x ? ? (t ) ? 2

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5.2

拉普拉斯变换性质
f(t) 2 0
f'(t) 1 0 2 (-2) t

例2:已知因果信号f(t)如图 ,求F(s) 解:对f(t)求导得f’(t),如图

?

t 0?

f ' ( x) d x ? f (t ) ? f (0 ? )

2

t

由于f(t)为因果信号,故 f(0-)=0
f (t ) ? ?
t 0?

f ' ( x) d x

f’(t)=ε(t)–ε(t –2) – δ(t –2)←→ F1(s)
则 f(t) ←→ Fn(s)/sn


F1 ( s) F ( s) ? (n)(t) ←→ F (s) 结论:若 f(t) 为因果信号,已知 f s n
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1 ? (1 ? e ? 2 s ) ? e ? 2 s s

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5.2

拉普拉斯变换性质

七、卷积定理
时域卷积定理 若因果函数 f1(t) ←→ F1(s) , Re[s]>?1 , f2(t) ←→ F2(s) , Re[s]>?2 则 f1(t)*f2(t) ←→ F1(s)F2(s) 1 ? sT 例 3 : 1 ? e 复频域(s域)卷积定理
f1 (t ) f 2 (t ) ?? 2? j ? 1
c ? j? c ? j?

1 ? e ? sT ? 1 ? e ? s 2T

F1 (? ) F2 ( s ? ? ) d ?

例1:t ε(t) ←→ ? 例2:已知F(s)=
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1 ?? ? ? (t ) * ?2 s s(1 ? e )


?? (t ? 2n) ? ? ? (t ? 2n)
n ?0 n ?0

?

?

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5.2

拉普拉斯变换性质

八、s域微分和积分
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>?0, 则
d F ( s) (?t ) f (t ) ?? ds
? f (t ) ?? ? F (? )d? s t
n d F ( s) n (?t ) f (t ) ?? d sn

例1:t2e-2t?(t) ←→ ? e-2t?(t) ←→ 1/(s+2)

t2e-2t?(t)

←→

d2 1 2 ( ) ? d s2 s ? 2 (s ? 2) 3

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5.2

拉普拉斯变换性质

例2: sin t
t

? (t ) ?? ?

1 sin t? (t ) ?? 2 s ?1
? sin t 1 ? (t ) ? ? ? ? 2 d ? ? arctan? s t ? ?1 ? s

1 ? ? arctans ? arctan 2 s

?

例 3:

1 ? e ?2t ? ?? ? ? t
? 2t

1? e

1 1 ?? ? s s?2
? s

? 1 1 ? e ?2t 1 s1 ? ?? ? ? ( ? ) d s1 ? ln s t s1 s1 ? 2 s1 ? 2

s?2 ? ln s
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5.2

拉普拉斯变换性质

九、初值定理和终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t) 初值定理 设函数f(t)不含?(t)及其各阶导数(即F(s)为真分式, 若F(s)为假分式化为真分式), 则 f (0?) ? lim f (t ) ? lim sF ( s)
t ?0 ? s ??

终值定理
若f(t)当t →∞时存在,并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>?0, ?0<0,则 f (?) ? lim sF ( s)
s ?0

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F (s) ? 例 1: 2s s 2 ? 2s ? 2

5.2

拉普拉斯变换性质

2s 2 f (0?) ? lim sF ( s) ? lim 2 ?2 s ?? s ?? s ? 2 s ? 2

2s 2 f (?) ? lim sF ( s) ? lim 2 ?0 s ?0 s ?0 s ? 2 s ? 2

例 2:

s2 F ( s) ? 2 s ? 2s ? 2
2s ? 2 s 2 ? 2s ? 2

F (s) ? 1 ?

? 2s 2 ? 2s f (0?) ? lim sF ( s) ? lim 2 ? ?2 s ?? s ?? s ? 2 s ? 2
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5.3

拉普拉斯逆变换

5.3

拉普拉斯逆变换

直接利用定义式求反变换---复变函数积分,比较困难。 通常的方法 (1)查表 (2)利用性质 (3) 部分分式展开 -----结合 若象函数F(s)是s的有理分式,可写为
bm s m ? bm?1 s m?1 ? .... ? b1 s ? b0 F ( s) ? s n ? a n ?1 s n ?1 ? ... ? a1 s ? a0

若m≥n (假分式),可用多项式除法将象函数F(s)分 解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 B( s) F ( s ) ? P( s ) ? A( s)
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5.3

拉普拉斯逆变换

s 4 ? 8s 3 ? 25s 2 ? 31s ? 15 2s 2 ? 3s ? 3 F ( s) ? ? s?2? 3 3 2 s ? 6s ? 11s ? 6 s ? 6s 2 ? 11s ? 6

由于L-1[1]=?(t), L -1[sn]=?(n)(t),故多项式P(s)的拉 普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式(m<n),则可写为
B( s) bm s m ? bm?1s m?1 ? .... ? b1s ? b0 F ( s) ? ? n A( s) s ? an ?1s n ?1 ? ... ? a1s ? a0

式中A(s)称为F(s)的特征多项式,方程A(s)=0称为特 征方程,它的根称为特征根,也称为F(s)的固有频率 (或自然频率)。n个特征根pi称为F(s)的极点。
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5.3

拉普拉斯逆变换

(1)F(s)为单极点(单根)
F ( s) ? Ki Kn K1 K2 B( s ) ? ? ? .... ? ? ... ? A(s) s ? p1 s ? p2 s ? pi s ? pn
s ? pi

K i ? ( s ? pi ) F ( s)

1 L [ ] ? e pit ? (t ) s ? pi
?1

例1:

已知

10( s ? 2)( s ? 5) F ( s) ? , s( s ? 1)( s ? 3)

k3 k1 k2 解:部分分解法 F ( s ) ? ? ? (m ? n) s s ?1 s ? 3

求其逆变换

其中k1 ? sF ( s ) s ? 0

10( s ? 2)( s ? 5) ? ( s ? 1)( s ? 3)
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s ?0

100 ? 3
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31 解:k2 ? ( s ? 1) F ( s )
s ??1

5.3

拉普拉斯逆变换

10( s ? 2)( s ? 5) ? s ( s ? 3)

? ?20
s ??1

k3 ? ( s ? 3) F ( s ) s ??3 10( s ? 2)( s ? 5) ? s( s ? 1) 10 ?? 3

s ??3

100 20 10 解: ? F ( s ) ? ? ? 3s s ? 1 3( s ? 3)
10 ?3t ? ? 100 ?t ? f (t ) ? ? ? 20 e ? e ?? (t ) 3 ? 3 ?
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5.3

拉普拉斯逆变换

3 2 s ? 5 s ? 9s ? 7 例2: 已知F ( s) ? , ( s ? 1)( s ? 2)

求其逆变换

解:长除法 F (s)

s?2 ? s 2 ? 3s ? 2 s 3 ? 5 s 2 ? 9 s ? 7 s ? 3s ? 2 s
3 2

   2s ? 7 s ? 7
2

     2 s 2 ?6s ?4     s ? 3
第4-32页


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5.3

拉普拉斯逆变换

33 k1 k2 解:分式分解法 F ( s ) ? s ? 2 ? ? s ?1 s ? 2

s?3 其中k1 ? ( s ? 1) ? ( s ? 1)( s ? 2) s?3   k2 ? ? ?1 s ? 1 s ??2
2 1 ? F (s) ? s ? 2 ? ? s ?1 s ? 2

?2
s ??1

? f (t ) ? ? ' (t ) ? 2? (t ) ? (2 e ? e )? (t )
?t ?2t

第4-33页



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34

5.3

拉普拉斯逆变换

特例:若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –?±j?) B( s ) B( s ) F ( s) ? ? 2 2 D( s)[(s ? ? ) ? ? ] D( s)(s ? ? ? j ? )(s ? ? ? j ? )
K1 K2 ? ? ? F2 ( s) s ?? ? j? s ?? ? j?

K1 ? [( s ? ? ? j ? ) F ( s)] s ??? ? j ? ?| K1 | e

j ?

? A ? jB
j ?

K2 = K1*
?j ?

K1 K2 | K1 | e | K1 | e F1 (s) ? ? ? ? s ?? ? j? s ?? ? j? s ?? ? j? s ?? ? j?

f1(t)=2|K1|e-?tcos(?t+?)?(t)

若写为K1,2 = A ± jB
第4-34页


f1(t)= 2e-?t[Acos(?t) –Bsin(?t)] ?(t)
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35

5.3

拉普拉斯逆变换

2 s ?3 例3 已知F ( s) ? 2 , ( s ? 2s ? 5)( s ? 2)

求其逆变换

s2 ? 3 解:F ( s) ? ( s ? 1 ? j 2)( s ? 1 ? j 2)( s ? 2)

k0 k1 k2 ? ? ? s ?1? j2 s ?1? j2 s ? 2
p1,2 ? ?? ? j ? , (? ? 1, ? ? 2)

s2 ? 3 解:其中k1 ? ( s ? 1 ? j 2)( s ? 2)
第4-35页

s ??1? j 2

?1 ? j 2 ? 5



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36

5.3

拉普拉斯逆变换

即k1,2

1 ? A ? jB, ( A ? ? , 5

2 B? ) 5

s2 ? 3 k0 ? ( s ? 1 ? j 2)( s ? 1 ? j 2)

s ??2

7 ? 5

1 2 1 2 ? ?j ? ?j 7 5 5 5 5 解: ? F ( s ) ? ? ? s ? 1 ? j 2 s ? 1 ? j 2 5( s ? 2)
? ? 1, ? ? 2
1 A?? , 5 2 B? 5

? ?t ? 1 2 ? 7 ? 2t ? ? f (t ) ? ?2 e ?? cos(2t ) ? sin(2t )? ? e ?? (t ) 5 ? 5 ? 5 ? ?
第4-36页


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37

5.3

拉普拉斯逆变换

例4: 求象函数F(s)的原函数f(t)。
s 3 ? s 2 ? 2s ? 4 F ( s) ? s(s ? 1)(s 2 ? 1)(s 2 ? 2s ? 2)

解:A(s)=0有6个单根,它们分别是s1=0,s2= –1, s3,4= ?j1 ,s5,6= – 1?j1,故
K3 K5 K6 K1 K 2 K4 F ( s) ? ? ? ? ? ? s s ?1 s ? j s ? j s ?1? j s ?1? j

K1= sF(s)|s=0 = 2, K2= (s+1)F(s)|s=-1= –1 K3= (s – j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(?/2) ,K4=K3*=(1/2)e-j(?/2) 3 j ? 1 K5= (s+1 – j)F(s)|s=-1+j= e 4 K6=K5* ? 3? ?t ?t f (t ) ? [2 ? e ? cos(t ? ) ? 2 e cos(t ? )]? (t ) 2 4
第4-37页


2

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38

5.3

拉普拉斯逆变换

(2)F(s)有重极点(重根)
若A(s) = 0在s = p1处有r重根,
F ( s) ? K11 K12 K1r B( s ) ? ? ? .... ? A( s) (s ? p1 ) r (s ? p1 ) r ?1 (s ? p1 )
1

K11=[(s –p1)rF(s)]|s=p ,K12=(d/ds)[(s –p1)rF(s)]|s=p1

1 d r ?1 r K1r ? ( s ? p ) F ( s) 1 r ?1 (r ? 1)! d s
L[t ? (t )] ?
n

?

?

s ? p1

n! s n ?1

1 1 n p1t L [ ] ? t e ? (t ) n ?1 n! ( s ? p1 )
?1

第4-38页



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39

5.3
s?2 , 3 s ( s ? 1)

拉普拉斯逆变换

举例: 已知F ( s) ?

求其逆变换

k13 k11 k12 k2 解:F ( s) ? ? ? ? 3 2 ( s ? 1) ( s ? 1) ( s ? 1) s s?2 3 令F1 ( s ) ? ( s ? 1) F ( s ) ? s

解:其中k11 ? F 1 ( s) s ? p s?2 ? s
k12 d ? F 1 (s) ds s ? p1

1

?3
s ??1

s ? ( s ? 2) ?1 ? ?2 2 s s ??1
第4-39页


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40

5.3

拉普拉斯逆变换

解:k13

1 d2 ? F 1 (s) 2 2 ds s? p 1 ?4 s ? 2 s4 ?2
s ??1

1

k2 ? sF ( s ) s ? 0 s?2 ? 3 ( s ? 1) ? ?2
s ?0

3 2 2 2 ? F (s) ? ? ? - 3 2 ( s ? 1) ( s ? 1) ( s ?1 ) s

3 2 ?t ? f (t ) ? ( t e ? 2t e ?t ? 2 e ?t ? 2)? (t ) 2
第4-40页


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41

5.4

复频域分析

5.4 复频域系统分析 一、微分方程的变换解
描述n阶系统的微分方程的一般形式为
( j) a y ( t ) ? b f ? i ? j (t ) (i ) i ?0 j ?0 n m

系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),…,y(n-1) (0-)。

思路:用拉普拉斯变换微分特性
y (i ) (t ) ?? s i Y (s) ? ? s i ?1? p y ( p ) (0 ? )
p ?0 i ?1

若f (t)在t = 0时接入系统,则 f (j )(t)←→ s j F(s)
第4-41页


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42 n
[? ai s ]Y ( s) ? ? ai [? s
i i ?0 i ?0 p ?0 n i ?1 i ?1? p

5.4
y
( p) m j ?0

复频域分析 s域的代数方程

(0 ? )] ? [? b j s j ]F ( s)
j b s ? j j ?0 n i a s ? i i ?0 m

Y (s) ?

? a i [? s
i ?0 p ?0 n

n

i ?1

i ?1? p

y

( p)

(0 ? )] ?

i a s ? i i ?0

F ( s) ?

M ( s) B( s) ? F ( s) A( s) A( s)

Yx(s)

Yf(s)

y(t), yx(t), yf(t)

例1 描述某LTI系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-) = 1,y'(0-)= -1,激励f (t) = 5cost?(t), 求系统的全响应y(t) 解: 方程取拉氏变换,并整理得
第4-42页


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43

5.4

复频域分析
5s F (s) ? 2 s ?1

sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) ? 5 y (0 ? ) 2( s ? 3) Y ( s) ? ? 2 F (s) 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6

s?4 2 5s ? ? ( s ? 2)(s ? 3) s ? 2 s 2 ? 1

Yx(s)

Yf(s) 若已知y(0+)=1, y'(0+)= 9

2 ?1 ?4 5 e ? j 26.6? 5 e j 26.6? ? ? ? ? ? s?2 s?3 s?2 s? j s ? j Y ( s) ? B( s) F ( s) f y ( t ) A( s) yx(t) f

y(t)= 2e–2t ?(t) – e–3t ?(t) - 4e–2t ?(t) + 2 5 cos(t ? 26.6?)]? (t )
暂态分量yt (t)
第4-43页


稳态分量ys (t)
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44

5.4

复频域分析

二、系统函数
Yf ( s) B( s) H ( s) ? ? F ( s) A( s)
def

系统函数H(s)定义为

它只与系统的结构、元件参数有关,而与激励、初始 状态无关。 yf(t)= h(t)*f (t) H(s)= L [h(t)] 在系统分析中,由于激励与响应信号可以是电压或 电流,因此系统函数可以是阻抗(电压除以电流) 或导纳(电流除以电压),也可以是数值比(电压 除以电压或电流除以电流)。
第4-44页


Yf(s)= L [h(t)]F(s)

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45

? 当系统为一个二端网络,激励与响应在同一端 口,则系统函数称为策动点函数或驱动点函数。

? 若系统为一个四端网络,激励与响应不在同一 端口,则此系统函数称为转移函数或传输函数。

第4-45页



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46

5.4

复频域分析

例2 已知当输入f (t)= e-t?(t)时,某LTI因果系统的零状 态响应 yf(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)?(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解
H ( s) ? Yf ( s) 2( s ? 4) 4 ?2 2s ? 8 ? ? ? ? 2 F ( s) ( s ? 2)(s ? 3) s ? 2 s ? 3 s ? 5s ? 6

h(t)= (4e-2t -2e-3t) ?(t) s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆变换 yf"(t)+5yf'(t)+6yf(t) = 2f '(t)+ 8f (t) 微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t) = 2f '(t)+ 8f (t)
第4-46页


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47

5.4

复频域分析

三、系统的零极点图
?

B( s ) H ( s) ? A( s)

A(s)=0的根p1,p2,…,pn称为系统函数H(s)的极点; B(s)=0的根z1,z2,…,zm称为系统函数H(s)的零点。 ? 零极点图:把系统函数H(s)的零点和极点在s平 面上标注出来,极点用×表示,零点用○表示。

第4-47页



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48

5.4

复频域分析

? 利用系统函数在s平面的零极点分布可以分析系 统的时域特性,求解系统的自由响应与强迫响 应、暂态响应与稳态响应。还可以方便地求得 系统的频率响应特性,从而对系统的频域特性 进行分析。 ? 由于A(s)与B(s)的系数都是实数,所以零极点中 若有虚数或复数,则必然共轭成对, ? H(s)的极点或零点存在以下几种类型:
?一阶实极点或实零点;一阶共轭极点或共轭零点; ?二阶或二阶以上的实、共轭极点或零点。
第4-48页


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49

5.4

复频域分析

○表示零点,×表示极点,在同一位置画出了两 个相同的符号表示二阶极点或零点。 或用括号加阶数表示n阶极点或零点。
第4-49页


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50

5.4

复频域分析

例:已知H(s)的零、极点分布图如示,并且h(0+)=2。求 H(s)的表达式。 jω
j2 -1 0 -j2 σ

解:由分布图可得
H ( s) ? Ks Ks ? ( s ? 1) 2 ? 4 s 2 ? 2s ? 5

根据初值定理,有
Ks 2 h(0?) ? lim sH ( s) ? lim 2 ?K s ?? s ?? s ? 2 s ? 5
H ( s) ? 2s s 2 ? 2s ? 5
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第4-50页



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51

5.4

复频域分析

由系统的零极点图分布确定时域特性
系统函数H(s)与冲激响应h(t)是一对拉氏变 换,因此根据H(s)的零极点在s平面上的分 布就可以确定系统的时域特性。

第4-51页



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52

5.4

复频域分析

(1)一阶极点位于s平面的坐标原点

阶跃函数
第4-52页


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53

5.4

复频域分析

(2)一阶极点位于s平面的实轴上 , 且极点为负实数,p=-a<0

指数衰减
(单调减幅)
第4-53页


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54

5.4

复频域分析

(3)一阶极点位于s平面的实轴,且极 点为正实数,p1=a>0

指数增长
(单调增幅)
第4-54页


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55

5.4

复频域分析

(4)有一对共轭极点位于虚轴,p1=jω0 及p2=-jω0

等幅振荡
第4-55页


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56

5.4

复频域分析

(5)有一对共轭极点位于s左半平面,即 p1=-a+jω0,p2=-a-jω0,-a<0

衰减振荡
第4-56页


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57

5.4

复频域分析

(6)有一对共轭极点位于s 右半平面,即 p1=a+jω0,p2=a-jω0,a>0

增幅振荡
第4-57页


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58

5.4

复频域分析

(7)有二阶极点位于s平面的坐标原点, 即p1,2=0

第4-58页



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59

(8)有二阶极点位于负实轴,即

p1,2=-a,a>0

第4-59页



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(9)二阶共轭极点位于虚轴,即

p1,2=jω0,p3,4=-jω0

第4-60页



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61

5.4

复频域分析

? 若系统函数 H(s) 的极点位于 s 左半平面,
则冲激响应h(t)的波形呈衰减变化;

? 若H(s)的极点位于s右半平面,则h(t)呈增
幅变化。

? 当一阶极点位于虚轴时,对应的h(t)成等
幅振荡或阶跃变化。

? 若二阶极点位于虚轴,则相应的h(t)呈增
幅变化。
第4-61页


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62

5.4

复频域分析

四、系统的s域框图
时域框图基本单元 f(t) ∫
y(t ) ? ?
t ??

s域框图基本单元 F(s) s–1 Y(s) = s–1F(s)

f (? ) d ?

f1(t) + ∑ + f2(t) f(t)
第4-62页

y(t) = f1(t)+ f2(t)

F1(s) + ∑ + Y(s) = F1(s)+F2(s) F2(s) F(s) a Y(s) = a F(s)
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a

y(t) = a f (t)


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63

5.4
1

复频域分析

例3 如图框图,列出其微分方程
X(s)
∑ f (s) (t) F 3 2

再求h(t)?
∑ y(t) Y (s)

s-1X(s) s∫-1
∫ -1 s

s-2X(s)
4

s域的代数方程

解 画出s域框图, 设左边加法器输出为X(s),如图 1 X(s) = F(s) – 3s-1X(s) – 2s-2X(s) X ( s) ? F ( s) ?1 ?2
?2 1 ? 4 s Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) ? 1 ? 3s ?1 ? 2s ?2

1 ? 3s ? 2s s2 ? 4 F ( s) ? 2 F ( s) s ? 3s ? 2

微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f "(t)+ 4f (t)
第4-63页


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64

5.4

复频域分析

五、电路的s域模型
对时域电路取拉氏变换

i (t ) R u (t )

I (s ) R U (s )

1、电阻 u(t)= R i(t)
2、电感
d i L (t ) u (t ) ? L dt

U(s)= R I(s)
iL(t) L
u(t)

元件 的 s域 模型
sL

U(s)= sLIL(s) –LiL(0-) IL(s)
I L ( s) ? i (0 ) 1 U ( s) ? L ? sL s

sL LiL(0 -) 或 U(s)

IL(s)

iL(0 -)/s
U(s)

第4-64页



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5.4
i (t )

复频域分析
C uC(t)

3、电容
d u C (t ) i (t ) ? C dt

I(s)=sCUC(s) – CuC(0-)
u C (0 ? ) 1 U C ( s) ? I ( s) ? sC s
I(s)

1 sC

u C (0 ? ) s

I(s) 或

1 sC

CuC(0 -) UC(s)

UC(s)

4、KCL、KVL方程

?i(t ) ? 0 ?u(t) ? 0

? I (s) ? 0 ?U (s) ? 0


第4-65页

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66

5.4

复频域分析

例4 如图所示电路,已知uS(t) = ?(t) V,iS(t) =δ(t), 起始状态uC(0-) =1V,iL(0-) = 2A,求电压u(t)。
uC(t) 1F iS(t) iL(t) 1H u(t)
1/s US(s) 1/s IS(s) 0.5Ω s 2/s U(s)

uS(t)

0.5Ω

解 画出电路的s域模型

1? 2 1 ? ? s ? 2 ? ?U (s) ? I S (s) ? ? s[U S (s) ? ] s? s s ? s?2 1 ?3 U ( s) ? 2 ? ? s ? 2s ? 1 s ? 1 ( s ? 1) 2

Us(s)=1/s, Is(s)=1

u(t) = e–t?(t) – 3te–t?(t) V
第4-66页


若求ux(t)和 uf(t)
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67

5.5

系统的稳定性

5.5 系统的稳定性 一、时域判别法
一个系统,若对任意的有界输入,其零状态响应也是有 界的,则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的 系统,简称为稳定系统。

BIBO准则适用于一般系统,可以是线性系 统也可以是非线性系统,可以是非时变系统 也可以是时变系统。
即,若系统对所有的激励 |f(s)|≤M (M是一个有界的正常 数),其零状态响应 |yf(s)|≤M,则称该系统稳定。
第4-67页


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68

5.5

系统的稳定性

? 稳定性的第二个概念与短时间内出现小的干 扰时的系统性能有关。 ? 当一个系统受到某种干扰信号作用时,其所 引起的系统输出始终保持有界,并且最后趋 于原状态,则系统就是稳定的; ? 如果系统输出变为无界,则系统是不稳定的; ? 如果系统输出保持有界,但是并不趋附于原 来的状态,则称系统为临界稳定。例如,临 界稳定系统可以表现为持续振荡或者恒定输 出。(也称内部稳定)。

第4-68页



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69

5.5

系统的稳定性

? 稳定:

lim h(t ) ? 0
t ??

? 临界稳定: – 足够长时间以后,h(t)趋于一个非零的数 值或形成一个等幅振荡。 ? 不稳定: – 足够长时间以后,h(t)仍继续增长。

第4-69页



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70

5.5

系统的稳定性

二、S域判别法
? 在s域中,要求系统函数H(s)中,分子多项 式的阶数M不能超过分母多项式的阶数N。 其极点位于S左半平面(除去虚轴) – 系统函数的极点位于s左半平面,系统是 稳定的。 – 极点在虚轴上有单极点,系统是临界稳定。 – 极点在s右半平面或在虚轴上有重极点, 系统不稳定。

第4-70页



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71

5.5

系统的稳定性

? 判别下列因果系统是否稳定?为什么?
s?2 s?2 H ( s) ? 2 ? s ? 2s ? 3 ( s ? 1)( s ? 3)
由于有右半平面的极点, 所以系统不稳定。

s ?1 H (s) ? 2 s ?4
s2 ? 2 H ( s) ? 2 s ? 2s ? 3

由于在虚轴上有单极点,所以系统 是不稳定或称“临界稳定系统”。
系统函数分子分母的阶数相同,极点 都在左半平面。所以系统是稳定的。

s3 ? 2 因为分子的阶数大于分母的阶数,冲激响 H ( s) ? 2 s ? 2s ? 3 应中必含有其导数项,所以系统不稳定。

第4-71页



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72

5.5

系统的稳定性

罗斯准则
? 不需要知道特征根,通过特征方程的系 数就可判断系统的稳定性。 – 设线性系统的特征方程为:
D( s) ? an s n ? an?1s n?1 ? ?? ? a1s ? a0 ? 0

则系统稳定的充分必要条件是特征方程 的全部系数为正值,并且由特征方程系 数组成的罗斯阵的第一列系数也为正值 。
第4-72页


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73

附:频响特性

系统零 极点分布与系统频响特性的关系
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响 应随频率的变化情况。 H ?jω? 前提:稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 时域: lim h?t ? ? 0
t ??

频域:H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴: 拉氏变换 ? ???存在 傅里叶变换 ? 存在 ???
第4-73页


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74

附:频响特性

设系统函数为 H ?s ?,激励源e ?t ? ? Em sin?ω0t ?

系统的稳态响应 rmm ?t ? ? Em H 0 sin ?ω0t ? ?0 ? 频响特性
其中H ?s ? s ? jω0

? H ?jω0 ? ? H0 e j? 0

H ?s ?

s ? jω

? H ?jω? ? H ?jω? e j? ?ω?

H ?jω? ——幅频特性

? ?ω? ——相频特性(相移特性)
第4-74页


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附:频响特性 信号与系统 电子教案 75 根据幅频特性,分为以下四种常见的滤波器
H ? j? ?

低通滤波器

H ? j? ?

高通滤波器

通带
O

阻带

?c 截止频率
H ? j? ?

?

O

?c

?

带通滤波器

H ?j? ?

带阻滤波器

O
第4-75页

?c1

?c 2


?

O

?c1

?c 2

?
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