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2.5


读教材·填要点

2.5

课前预习·巧设计

第 二 章

平 面 向 量

平 面 向 量 应 用 举 例

小问题·大思维

考点一
名师课堂·一点通

考点二 考点三 解题高手
NO.1课堂强化

创新演练·大冲关

NO.2课下检测

[读教材·填要点] 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用 向量 表示问题中涉

及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题 ;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、 夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系.

2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F与位移s的数量积.

[小问题·大思维] 1.在物理学中,你知道哪些知识与向量的线性运算有

关系?
提示:力、速度、加速度、位移的合成与分解,实质上 就是向量的加、减运算. 2.向量方法可解决平面几何中的哪些问题? 提示:直线的平行、垂直及三点共线的证明问题;两点 的距离(线段长度)、夹角的计算问题等.

[研一题]

[例1]

设P,Q分别是梯形ABCD的

对角线AC与BD的中点,试用向量 证明:PQ∥AB.

证明:

∵ PQ = AQ - AP = AB + BQ - AP ??? ? 1 ??? ? ??? ? = AB + ( BD - AC ) 2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? = AB + [( AD - AB )-( AD + DC )] 2 ??? ? 1 ??? ? ? ??? = AB + ( CD - AB ) 2 ? 1 ??? ? ? ??? 1 ??? = ( CD + AB )= (-λ+1) AB , 2 2 ∴ PQ ∥ AB ,又 P、Q、A、B 四点不共线,所以 PQ∥AB.

??? ?

??? ?

设 DC =λ AB (λ>0),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

PQ 本例条件下,若 AB=3CD,试求AB的值. 1 解:∵AB=3CD,∴λ= . 3

??? ? 1 又 PQ = (-λ+1) AB , 2
??? ?
??? ?

? 1 ??? PQ 1 ∴ PQ = AB ,∴AB= . 3 3

[悟一法] 利用向量证明几何问题有两种途径: (1)基向量法:通常先选取一组基底(对于基底中的向量, 最好是已知它们的模及两者之间的夹角),然后将问题中出

现的向量用基底表示,再利用向量的运算法则、运算律运
算,最后把运算结果还原为几何关系. (2)坐标法:利用平面向量的坐标表示,可以将平面几 何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为向量坐标运 算的问题,运用此种方法必须建立适当的坐标系,实现向

量的坐标化.

[通一类]
1.如图所示,四边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 DB 上一点,PFCE 是矩形, 证明:PA⊥EF.
证明:以点 D 为坐标原点,DC 所在直 线为 x 轴建立坐标系,设正方形的边长 为 1,| DP |=λ(0<λ< 2),

??? ?

2 2 λ, λ), 2 2 2 2 E(1, λ),F( λ,0), 2 2 ??? 2 2 于是 PA=(- λ,1- λ), 2 2 ??? ? 2 2 EF =( 2 λ-1,- 2 λ), ??? ??? ? 2 2 2 2 ∵ PA· = ( - λ )· ( λ - 1) + (1 - λ )· ( - λ) EF 2 2 2 2 2 2 2 =- λ· ( λ-1+1- λ) 2 2 2 2 =- λ×0=0, 2 则 A(0,1),P( ∴ PA⊥ EF ,即 PA⊥EF.

???

??? ?

[研一题]
[例 2] 在水流速度为 4 3 km/h 的河水中,一艘船以 12 km/h 的实际航行速度垂直于对岸行驶,求这艘船的航行 速度的大小与方向.

[自主解答] 如图所示,设 AB 表示水 ??? ? 流速度, AC 表示船垂直于对岸行驶的速度, ??? ? ??? ? 以 AB 为一边, AC 为一对角线作?ABCD, 则 AD 就是船的航行速度.

??? ?

??? ?

∵| AB |=4 3,| AC |=12, ??? ? ??? ? ∴| AD |=| BC |=8 3, 4 3 3 ∴tan ∠ACB= = , 12 3 ∴∠CAD=∠ACB=30° ,∠BAD=120° . 即船的航行速度的大小为 8 3 km/h,方向与水流方向的夹 角为 120° .

??? ?

??? ?

[悟一法] 1.向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为 向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所 获得的结果解释物理现象.

2.在用向量方法解决物理问题时,应作出相应的图形,
以帮助建立数学模型,分析解题思路. 3.在解题过程中要注意两方面的问题:一方面是如何 把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系 抽象成数学模型;另一方面是如何利用建立起来的数学模

型解释和回答相关的物理现象.

[通一类] 2.三个力F1、F2、F3同时作用于O点且处于平衡状态,已 知F1与F3的夹角为120°,又|F1|=|F2|=20 N,则|F3|= ________. 解析:由F1+F2+F3=0知F1+F3=-F2,

∴|F1|2+|F3|2+2|F1||F3|cos 120°=|F2|2.
∴|F3|=|F1|=20 N. 答案:20 N

[研一题] [例3] 已知点A(2,-1).求过点A与向量a=(5,1)平
设所求直线上任意一点 P(x,y),

行的直线方程.
[自主解答] 则 AP =(x-2,y+1). 由题意知 AP ∥a,故 5(y+1)-(x-2)=0, 即 x-5y-7=0. 故过点 A 与向量 a=(5,1)平行的直线方程为 x-5y-7=0.

??? ?

??? ?

本例中“平行”改为“垂直”,问题不变.
解:设所求直线上任意一点 P(x,y), 则 AP =(x-2,y+1), 由题意知 AP ⊥a, AP · a=0, ∴5(x-2)+(y+1)=0, ∴5x+y-9=0 即为所求.

??? ?

??? ?

??? ?

[悟一法] 向量在解析几何中的应用,主要是解决解析几何中平行、 垂直、夹角、长度等问题.解题关键是把这些问题转化为相 应的向量问题,通过向量的运算得以解决.

? ??? ??? OB 3. 已知直线 y=x+1 与圆 x +y =9 相交于 A, B 两点, 则 OA ·
2 2

[通一类]

为坐标原点)等于 A.-6 C.4
解析:设点 A,B

( B.-8 D.6

)

2 2 ? ?x +y =9, 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)联立? ? ?y=x+1,

消去 y,得 x2+x-4=0①, 易知 x1,x2 是方程①的两根. 则 x1x2=-4,x1+x2=-1. ? ??? ??? OB =x1x2+y1y2=2x1x2+(x1+x2)+1=-8. ∴ OA ·

求证:△ABC的三条高交于一点. [巧思] 可先找出其中两条高线的交点,然后证明

另一个顶点与该点的连线与其对边垂直即可. [妙解一] 如图所示.
设两条高 BE、CF 交于点 H, 连结 AH 并延长与 BC 相交. ??? ? ??? ? 设 AB =a, AC =b, ???? ???? ??? ? ???? 则 BH = AH -a, CH = AH -b, ??? ? BC =b-a.

∵ BH ⊥ AC , CH ⊥ AB , ???? ??? ? ??? ? ??? ? AC =0, CH · ∴ BH · AB =0. ∴( AH -a)· b=0,( AH -b)· a=0. ∴( AH -a)· b=( AH -b)· a.
BC =0. 化简,得 AH · (b-a)=0,即 AH · ???? ??? ? ∴ AH ⊥ BC ,

????

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

????

????

???? ??? ?

即三角形的三条高线交于一点.

[妙解二]

如图所示,以 AB 所在直

线为 x 轴,以 A 为原点建立平面直角 坐标系,设 BE、CF 分别为两边上的 高线,且 B(c,0),C(m,n),H(m,y), ???? ???? ??? ? ??? ? 则有 BH =(m-c, y),AC =(m, n),BC =(m-c, n),AH =(m,y). ∵ BH ⊥ AC ,∴m(m-c)+ny=0. ???? ??? ? BC =m(m-c)+ny=0, 又∵ AH · ???? ??? ? ∴ AH ⊥ BC . 即三角形的三条高线交于一点.

????

??? ?


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