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湖北省宜昌市窑湾中学高中数学选修2-3学案(无答案)1.3.1二项式定理


1.3.1 二项式定理 一、复习引入: 0 2 1 2 2 ⑴ (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b ; 0 3 1 2 2 3 3 ⑵ (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b ⑶ (a ? b)4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式, 即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b , 0 0 展开式各项的系数:上面 4 个括号中,每个都不取 b 的情况有 1 种,即 C4 种, a 的系数是 C4 ;恰 1 1 2 2 有 1 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰 3 3 4 4 有 3 个取 b 的情况有 C4 种, ab 的系数是 C4 ,有 4 都取 b 的情况有 C4 种, b 的系数是 C4 , 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 ∴ (a ? b)4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b . 3 4 3 2 2 4 4 3 2 2 3 4 二、讲解新课: 0 n 1 n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b? n r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N ? ) ⑴ (a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项: a n , a n b ,…, a n?r br ,…, bn , ⑵展开式各项的系数: 0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,……, r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a n n?r n n r br 的系数是 Cn ,……, n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn , 0 n 1 n ∴ (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b? r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N ? ) , n 这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b) 的二项展开式,⑶它有 n ? 1 项,各 r 项的系数 Cn (r ? 0,1, n) 叫二项式系数, r n?r r r n ?r r ⑷ Cn a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn a b . 1 ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x? r r ? Cn x ? ? xn 三、讲解范例: 例 1.展开 (1 ? ) . 4 1 x 例 2.展开 (2 x ? 解: 1 6 ) . x 例 3.求 ( x ? a)12 的展开式中的倒数第 4 项 解: 例 4.求(1) (2a ? 3b)6 , (2) (3b ? 2a)6 的展开式中的第 3 项. 解: 例 5. (1)求 ( ? x 3 3 9 ) 的展开式常数项; x 3 9 ) 的展开式的中间两项 x (2)求 ( ? 解: x 3 例 6. (1)求 (1 ? 2 x) 的展开式的第 4 项的系数; 7 3 (2

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