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湖北省宜昌市窑湾中学高中数学选修2-3学案(无答案)1.3.1二项式定理

1.3.1 二项式定理 一、复习引入: 0 2 1 2 2 ⑴ (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b ; 0 3 1 2 2 3 3 ⑵ (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b ⑶ (a ? b)4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式, 即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b , 0 0 展开式各项的系数:上面 4 个括号中,每个都不取 b 的情况有 1 种,即 C4 种, a 的系数是 C4 ;恰 1 1 2 2 有 1 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰 3 3 4 4 有 3 个取 b 的情况有 C4 种, ab 的系数是 C4 ,有 4 都取 b 的情况有 C4 种, b 的系数是 C4 , 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 ∴ (a ? b)4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b . 3 4 3 2 2 4 4 3 2 2 3 4 二、讲解新课: 0 n 1 n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b? n r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N ? ) ⑴ (a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项: a n , a n b ,…, a n?r br ,…, bn , ⑵展开式各项的系数: 0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,……, r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a n n?r n n r br 的系数是 Cn ,……, n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn , 0 n 1 n ∴ (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b? r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N ? ) , n 这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b) 的二项展开式,⑶它有 n ? 1 项,各 r 项的系数 Cn (r ? 0,1, n) 叫二项式系数, r n?r r r n ?r r ⑷ Cn a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn a b . 1 ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x? r r ? Cn x ? ? xn 三、讲解范例: 例 1.展开 (1 ? ) . 4 1 x 例 2.展开 (2 x ? 解: 1 6 ) . x 例 3.求 ( x ? a)12 的展开式中的倒数第 4 项 解: 例 4.求(1) (2a ? 3b)6 , (2) (3b ? 2a)6 的展开式中的第 3 项. 解: 例 5. (1)求 ( ? x 3 3 9 ) 的展开式常数项; x 3 9 ) 的展开式的中间两项 x (2)求 ( ? 解: x 3 例 6. (1)求 (1 ? 2 x) 的展开式的第 4 项的系数; 7 3 (2)求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数 9 1 x 解: 例 7.求 ( x 2 ? 3x ? 4) 4 的展开式中 x 的系数 分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展 开,然后再用一次二项式定理, ,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开 解: 例 8.已知 f ( x) ? ?1 ? 2x? ? ?1 ? 4x? m n (m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ,求展开式中 含 x 项的系数最小值 分析:展开式中含 x 项的系数是关于 m, n 的关系式,由展开式中含 x 项的系数为 36 ,可得 2 2 2m ? 4n ? 36 ,从而转化为关于 m 或 n 的二次函数求解 解: 例 9.已知 ( x ? 1 2 x 4 )n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列, (1)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项 解: 例 10.求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 . 解: 6 四、课堂练习: 1.求 ? 2a ? 3b ? 的展开式的第 3 项. 6 2.求 ? 3b ? 2a ? 的展开式的第 3 项. 6 3.写出 (3 x ? 1 2 x 3 ) n 的展开式的第 r+1 项. 4.求 x ? 2 x 3 ? ? 7 的展开式的第 4 项的二项式系数,并求第 4 项的系数. 5.用二项式定理展开: (1) (a ? 3 b )5 ; (2) ( x 2 5 ? ) . 2 x 1 6.化简: (1) (1 ? x ) 5 ? (1 ? x ) 5 ; (2) (2x 2 ? 3x ? 1 2 4 ) ? (2x ? 3x ) 1 2 ? 1 2 4 lg x 7. x ? x ? ? 展开式中的第 3 项为10 5 6 ,求 x . 1? ? 8.求 ? x ? ? 展开式的中间项 x? ? 2n

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