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高中数学选修2-2教学课件数学归纳法 (共11张PPT)


数 学 归 纳 法 法国数学家费马观察到: 2 ?1 2 ? 1 都是质数, 2 ?1 于是他用归纳推理提出猜想: 2n 任何形如 2 ? 1 的数都是质数(费马猜想) 半个世纪之后,善于计算的欧拉发现,第 5个费马数 5 F5= 22 ? 1 ? 4294967297? 641 ? 6700417 不是质数,从而推翻了费马的猜想 2 ?1 21 2 22 3 23 4 24 数列{an},已知a1 =1, an?1 ? an 1 ? an ?n ? N ? ? 通过对 n ? 1,2,3,4 前4项归纳,得出: a1 ? 1 a2 ? 1 n 1 2 a3 ? 1 3 a4 ? 1 4 猜想出: an ? “多米诺骨牌”效应所要具备的条件: (1)第一块骨牌倒下; (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定能导致后一块倒下。 例1:用数学归纳法证明 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?n ? 1??2n ? 1? 6 2 2 2 2 ?n ? N ? ? 练习:用数学归纳法证明 证明:(1) 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2n ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 1 1 n=1时,左边= 1? 3 右边= 2 ?1 ? 1 等式成立。 (2) 假设n=k(k∈N*)时等式成立,即 1 1 1 1 k ? ? ??? ? ?2k ? 1??2k ? 1? 2k ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 那么, ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 k 1 ? ? 2k ? 1 ?2k ? 1??2k ? 3? k ?1 ? 2k ? 3 即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N* 都成立。 1 1 1 1 , , ,? , ?, 探究:已知数列 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1) 设Sn为数列前n项和,计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果, 猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明。 解: 1 1 ? S1= 1? 4 4 1 1 2 ? ? S2= 4 4 ? 7 7 2 1 3 ? ? S3= 7 7 ? 10 10 3 1 4 ? ? S4= 10 10 ? 13 13 可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数一致, n S ? 分母可用项数n表示为3n+1,可以猜想 n 3n ? 1 课堂小结: (1)数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题. (2)用数学归纳法证明命题的一般步骤: 1°验证n=n0(n0为命题允许的最小正整数)时,命题成立 2°假设n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题成立, 由1°和2°对任意的n≥n0, n∈N* 命题成立 思考: 平面内有n条直线,其中任意两条不平行, 任意三条不共点,设f(n)为n条直线的交点个数, 1 求证:f(n)= n?n ? 1? 2 证明:(1) n=1时,f(1)=1 1 (2) 假设n=k时, f(k)= k ?k ? 1? 成立, 2 那么当n=k+1时 f(k+1)=f(k)+k ? 1 k ?k ? 1? ? k 2 1 ? ?k ? 1???k ? 1? ? 1? 即 当n=k+1时,命题成立 2 根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N* 都

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