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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:选修4-1 第2节]


[课堂练通考点] 1.(2013· 惠州模拟)如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB =PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60° 得到 OD,则 PD 的长为________. 解析:∵PA 切⊙O 于点 A,B 为 PO 的中点, ∴∠AOB=60° , ∴∠POD=120° .在△POD 中, 由余弦定理, 得 PD2=PO2 1 +DO2-2PO· DO· cos∠POD=4+1-4×(- )=7,故 PD= 7. 2 答案: 7 2.(2014· 江南十校联考)如图,在圆的内接四边形 ABCD 中,∠ABC= 90° ,∠ABD=30° ,∠BDC=45° ,AD=1,则 BC=________. 解析:连接 AC.因为∠ABC=90° ,所以 AC 为圆的直径.又∠ACD=∠ ABD=30° ,所以 AC=2AD=2.又∠BAC=∠BDC=45° ,故 BC= 2. 答案: 2 3.(2013· 广州模拟)如图,已知 AB 是⊙O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点,PC⊥OP,PC 交⊙O 于 C,若 AP=4,PB=2,则 PC 的长是________.

解析:如图,延长 CP 交⊙O 于点 D,因为 PC⊥OP,所以 P 是弦 CD 的中点,由相交弦定理知 PA· PB=PC2,即 PC2=8,故 PC=2 2. 答案:2 2 4.(2013· 新课标卷Ⅰ)如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆 上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. 解:(1)证明:如图,连接 DE,交 BC 于点 G.

由弦切角定理得, ∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE,所以 DE 为直径,则∠DCE=90° ,由勾股定理可得 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= 3 . 2

设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60° . 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° , 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 [课下提升考能] 1.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,MN 与⊙O 相切,切 点为 A,∠MAB=35° ,则∠D=________. 解析:连接 BD,则∠MAB=∠ADB=35° ,由 BC 是直径,知∠BDC= 90° ,所以∠D=∠ADB+∠BDC=125° . 答案:125° 2.如图,△ABC 内接于⊙O,∠C=30° ,AB=2,则⊙O 的半径为________. 3 . 2

解析:连接 AO 并延长交⊙O 于 D,连接 BD. ∠D=∠C=30° ,在 Rt△ABD 中, AD=2AB=4. ∴半径为 2. 答案:2 3.如图,已知 EB 是半圆 O 的直径,A 是 BE 延长线上一点, AC 切半圆 O 于点 D,BC⊥AC 于点 C,DF⊥EB 于点 F,若 BC=6, AC=8,则 DF=________. 解析:设圆的半径为 r, AD=x, 连接 OD,设 OD⊥AC. 故 AD OD x r = ,即 = , AC BC 8 6

4 故 x= r. 3

又由切割线定理 AD2=AE· AB, 即 16 2 15 r =(10-2r)×10,故 r= . 9 4

AD DF 由三角形相似,知 = ,则 DF=3. AB BC 答案:3 4.(2014· 佛山质检)如图所示,△ABC 内接于圆 O,过点 A 的切线交 BC 的延长线于点 P,D 为 AB 的中点,DP 交 AC 于点 M,若 BP=8,AM =4,AC=6,则 PA=________. 解析:由题意 MC=AC-AM=6-4=2.又 D 为 AB 的中点,∴AD=BD.过点 C 作 CN∥ AB 交 PD 于 N, ∴ ∴ AM AD BD BP = = = , MC CN CN CP 8 4 = , PC 2

∴PC=4.∵PA2=PC· PB=32, ∴PA=4 2. 答案:4 2 5.(2013· 湖南高考)如图,在半径为 7的⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为________. AP· PB 解析:由相交弦定理得 AP· PB=DP· PC, 从而 PC= = 4, 所以 DC DP =5,所以圆心 O 到弦 CD 的距离等于 答案: 3 2 5?2 3 ? 7?2-? ?2? = 2 .

6.(2013· 深圳调研)如图,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥BC,垂足为 F,若 AB=6,CF· CB=5,则 AE=________. 解析:设 AE=x,则 EB=6-x,在 Rt△CEB 中,EF⊥BC,∴CE2= CF· CB=5.又易知 CE=ED,由相交弦定理得 AE· EB=CE· ED=CE2=5,即 x(6-x)=5,得 x =1. 答案:1 7.如图所示,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 2 的中点 P,PD= a,∠OAP=30° ,则 CP=________. 3

解析:由题意知 OP⊥AB,且 AP=

3 a, 2

9 根据相交弦定理 AP2=CP· PD,CP= a. 8 9 答案: a 8 8.(2014· 武汉模拟)如图,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OB 绕点 O 逆时针旋转 120° 到 OD, 连接 PD 交圆 O 于点 E, 则 PE=________. 解析:在△POD 中,由余弦定理知 PD= 4+1-4cos 120° = 7,再 3 7 由 PE· PD=PB· PC?PE= . 7 3 7 答案: 7 9.如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,BD=8, 则圆 O 的半径等于________. 解析:由射影定理得 CD2=AD×BD,即 42=AD×8,AD=2,圆 O 的直径 AB=AD+BD=10,故圆 O 的半径等于 5. 答案:5 10. 如图, 过点 P 作⊙O 的割线 PAB 与切线 PE, E 为切点, 连接 AE, BE,∠APE 的平分线分别与 AE,BE 相交于点 C,D,若∠AEB=30° ,则 ∠PCE=________. PE PA 解析:由圆的切割线定理可得 PE2=PB· PA? = ,∴△PEB∽△ PB PE PAE,设∠PAE=α,则∠PEB=α,∠PBE=α+30° ,∠APE=150° -2α,∴△PCE 中,∠EPC =75° -α,∠PEC=30° +α,∴∠PCE=75° . 答案:75° 11.如图,在⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 F,AB=10,AF=2.若 CF∶DF=1∶4,则 CF 的长等于________. 解析:∵CD∶DF=1∶4, ∴DF=4CF, ∵AB=10,AF=2,∴BF=8, ∵CF· DF=AF· BF,∴CF· 4CF=2×8,∴CF=2. 答案:2 12.如图,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,满足 ∠ABC=30° , 过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P, 则 PA =________.

解析:连接 OA.∵AP 为⊙O 的切线, ∴OA⊥AP. 又∠ABC=30° ,∴∠AOC=60° . ∴在 Rt△AOP 中,OA=1,PA=OA· tan 60° = 3. 答案: 3 13.如图,PC 与圆 O 相切于点 C,直线 PO 交圆 O 于 A,B 两 点,弦 CD 垂直 AB 于 E,则下面结论中,错误的结论是________. ①△BEC∽△DEA ②∠ACE=∠ACP ③DE2=OE· EP ④PC2=PA· AB 解析: 根据图形逐一判断. 因为∠BCE=∠DAE, ∠BEC=∠DEA, 所以△BEC∽△DEA, ①正确;由切线的性质及三角形的性质得∠ACE=∠CBA=∠ACP,②正确;连接 OC,因为 PC 是切线,OC 是半径,所以 OC⊥PC,且 CE⊥OP,所以由射影定理可得 CE2=OE· EP, 又 CE=DE,所以 DE2=OE· EP,③正确;由切割线定理可得 PC2=PA· PB,④错误. 答案:④ 14.如图,已知⊙O 的半径为 R,⊙O′的半径为 r,两圆⊙O,⊙O′内切于点 T,点 P 为外圆⊙O 上任意一点,PM 与内圆⊙O′切于点 M.PM∶PT 为________.

解析:作两圆的公切线 TQ,连接 OP,连接 PT 交⊙O′于 C,连接 O′C.

设 PT 交内圆于 C,则 PM2=PC· PT, PM2 PC· PT PC 所以 2 = = . PT PT2 PT 由弦切角定理知∠POT=2∠PTQ,∠CO′T=2∠PTQ, 则∠POT=∠CO′T,PO∥CO′, PC OO′ R-r PM 所以 = = ,即 = PT OT R PT R -r 为定值. R

答案:

R-r R

15.(2013· 惠州模拟)如图,已知 AD=5,DB=8,AO=3 10,则 圆 O 的半径 OC 的长为________. 解析:取 BD 的中点 M,连接 OM,OB,则 OM⊥BD,因为 BD=8, 所以 DM=MB=4,AM=5+4=9,所以 OM2=AO2-AM2=90-81=9,所以半径 OB= OM2+BM2= 9+16= 25=5,即 OC=5.

答案:5 16.(2014· 哈师大模拟)如图,圆 O 的半径 OC 垂直于直径 AB,弦 CD 交半径 OA 于 E,过 D 的切线与 BA 的延长线交于 M.设圆 O 的半径 为 1,MD= 3,则 CE 的长为________. 解析:∵MD2=MA· MB,∴3=MA· (MA+2), ∴MA=1. ∵在 Rt△MDO 中,MO=2,MD= 3, ∴∠MOD=60° ,∴∠COD=150° ,∴∠ECO=15° , OC 1 CE= = = 6- 2. cos ∠ECO cos 15° 答案: 6- 2 17.如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于 点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC· AE=DC· AF,B,E, F,C 四点共圆.若 DB=BE=EA,则过 B,E,F,C 四点的圆的面积 与△ABC 外接圆面积的比值为________. 解析:如图,连接 CE,因为∠CBE=90° ,所以过 B,E,F,C 四点 的圆的直径为 CE.由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2=DB· BA=2DB2,所 以 CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而 DC2=DB· DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 1 外接圆面积的比值为 . 2 1 答案: 2


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