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good高中数学:合情推理(二)类比推理校级公开课件新课标人教A版选修2-2


春秋时代鲁国的鲁班,木匠业的祖 师。一次去林中砍树被一株齿形的茅草割破了 手。这件事给了他启发,从而发明了锯子.

一年夏天,鲁班上山砍树,因为坡陡路滑,而且横七竖八地长满 了小树、杂草,行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上 爬。忽然,脚底一滑,身体便顺着山坡往下滚去,鲁班急中生智, 急忙抓住一把茅草,由于没有抓牢,反而感到手掌心疼痛无比。滑 到山脚,鲁班狼狈地爬了起来,伸开手掌一看,掌心已是鲜血淋漓。 鲁班非常惊奇,为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛, 沿着滑下来的山坡,爬上去一看,这丛茅草与别的草没有两样。鲁 班不甘心,便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪, 叶子两边都长着锋利的小细齿,人手握紧它一拽,手掌就会被划破。 鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下,果然又划开一道血口。 鲁班从这件事中得到启发,心想:如果仿照茅草细齿,来做一件 边缘带有细齿的工具,用它来锯树,岂不比斧砍更快、更好吗?鲁 班忘记疼痛,转身下山,做起试验来。在金属工匠的帮助下,鲁班 做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树,果然又 快又省力。锯子就这样发明了。

探究一:
鲁班从茅草割破手这件事得到启 发,而发明了锯子。他当时的思 维过程是不是归纳推理?

茅 草

锯 子 能割断木头

相似点:功能 (前提) 形状 (猜想的结论)

能割破手

齿形

齿形

探究二:火星上是否存在生命

地球

火星

行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存

温度适合生物的生存

有生命存在

可能有生命存在

火星与地球类比的思维过程:
存在类似特征

地球

火星

地球上有生命存在

猜测火星上也可能有生命存在

类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比具有发现的功能

我们要根据实际情况选择适当的类 比对象.如: 平
圆 三角形



正方形

空 间 正方体 球
三棱锥

注意:进行类比 时,合理地确定 类比对象是非常 重要的,否则会 使类比成为“乱比”

例1:已知? ABC 三边长为a , b, c , 面积为S,则
2S ? ABC内切圆半径r= ___________ . a?b?c

分析:面积法
1 由2r(a+b+c)=S 2S r= a+b+c

变式: 已知? ABC 三边长为a , b, c , 面积为S,则 2S ? ABC内切圆半径r= . a?b?c 根据类比推理的方法, 若一个四面体A-BCD四个面的 A 面积分别为S1 , S2 , S3 , S4 , 体积为V ,
则四面体的内切球半径 R ? ________________ .

3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

O
O B

D

C

a1+a2+?+an 1.已知数列{an}是等差数列,则{ } n 是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是 等比数列,类比上述等差数列,则 是 等比数列?

例2.

答:数列{

n

a1a2?an}是等比数列.

练习 (直击高考: 浙江文第16题 ) 09 设等差数列?an ? 的前n项和为S n , 则S4,S8 ? S4, 设等比数列?bn ? 的前n项积为Tn , S12 ? S8,S16 ? S12成等差数列.类比以上结论:

T16 则T4, ____, _____, 成等比数列. T12

T8 T4

T12 T8

T20 T30 T40 100 , , 成等比数列, 公比为q T10 T20 T30

例3.由图(1)有面积关系:

则由图(2)有体积关系:

S?PA?B? PA? ? PB? ? S?PAB PA ? PB

VP ? A?B?C ? PA? ? PB? ? PC ? ? PA ? PB ? PC VP ? ABC
B?
B

B?

B

C

P

C?
A? A

P

图(1)

A? 图(2)

A

(10年全国卷第15题) 在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边AB、AC互 相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何 的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系, 可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、 ACD、ADB两两互相垂直,则:

S?BCD ? S?ABC ? S?ACD ? S?ADB ___________________________________________.”
2 2 2 2

B D A C

A

C

例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下 列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?

2

1

3

n=1时,

f (1) ? 1

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3 n=3时, f (3) ? 7
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3 n=3时, f (3) ? 3 ?1 ? 3 ? f (2) ? 1 ? f (2)
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 f (2) ? 3 f (3) ? 7 ? f (2) ? 1 ? f (2) n=4时, f (4) ? f (3) ? 1 ? f (3) ? 15
n=1时, n=2时, n=3时,

2

1

3

f (1) ? 1 f (2) ? 3 f (3) ? 7 ? f (2) ? 1 ? f (2) n=4时, f (4) ? 15 ? f (3) ? 1 ? f (3)
n=1时, n=2时, n=3时, 归纳:

f (n) ? 2 ? 1
n

n?1 ?1, f (n) ? ? ? 2 f (n ? 1) ? 1, n ? 2

练习:

1.如图,在平行四边形 ABCD 中,有

AC ? BD ? 2 AB ? AD
2 2 2

?

2

?
C1

那么,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,有 2 2 2 2 2 2 2 AC1 ? BD1 ? CA1 ? DB1 ? 4( AB ? AD ? AA1 )
D1 A1

B1

D

C
D C

A B
A

B

观察下面图形规律,在其右下角的空格内 画上合适的图形为( )

□ ● ?
? ■ ○

● ?
A. ■ B. ? C. □ D. ○

归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

检验 结论

没有大胆猜测就没有伟大发明 牛顿

课堂小结:
1.什么是类比推理?

由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
2.主要步骤(1)找出两类对象之间的相似性或一致性;
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质;
(3)猜测新的结论.


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