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湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期实验班第二次月考数学试题含答案


衡阳八中 2016 年下期高三年级第二次月考试卷 文数/理数(试题卷)
考试范围:函数与导数,立体几何,圆与直线 注意事项: 1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次月考试卷,分两卷。其中共 22 题,满分 150 分, 考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即 向监考老师通报。开考 15 分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。 3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用 2B 铅笔填涂,非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。 ★预祝考生考试顺利★

第I卷

选择题(每题 5 分,共 60 分)

本卷共 12 题,每题 5 分, 共 60 分,在每题后面所给的四个选项中, 只有一个是正确的。 [文 理科] 1.设集合 A={x|x ﹣3x﹣4>0},集合 B={x|﹣2<x<5},则 A∩B=( ) A.{x|﹣1<x<4} B.{x|﹣2<x<﹣1 或 4<x<5} C.{x|x<﹣1 或 x>4}
2 2 2

D.{x|﹣2<x<5}

2.下列说法错误的是( ) A.“ac >bc ”是“a>b”的充分不必要条件 B.若 p∨q 是假命题,则 p∧q 是假命题 C.命题“存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是“对任意的 x∈R,2 >0”
x 2 x

D.命题“对任意的 x∈R”,2 >x ”是真命题 3.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y=|x| B.y=3-x C.y= D.y=﹣x +4
2 2

4.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0,已知 a、b 是关于 x 的方程 x +x+c=0 的两 个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为( ) A.
2 2

B.
2

C.

D.

5.方程 x +y +2ax﹣4y+(a +a)=0 表示一个圆,则 a 的取值范围是( ) A.[4,+∞)B.(4,+∞)C.(﹣∞,4]D.(﹣∞,4) 6.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体, 它的直观图和三视图中的侧视图、 俯 视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )

A.

B.

C.

D.

7.已知两个不重合的平面α ,β 和两条不同直线 m,n,则下列说法正确的是( A.若 m⊥n,n⊥α ,m?β ,则α ⊥β B.若α ∥β ,n⊥α ,m⊥β ,则 m∥n C.若 m⊥n,n?α ,m?β ,则α ⊥β D.若α ∥β ,n?α ,m∥β ,则 m∥n

)

8.设函数 f(x)=min{2

,|x﹣2|},其中 min|a,b|=

.若函数 y=f(x)﹣m

有三个不同的零点 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3 的取值范围是( ) A.(2,6﹣2 C.(4,8﹣2 ) ) B.(2, +1) )

D.(0,4﹣2
2 2

9.已知直线 x+ay﹣1=0 是圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴,过点 A(﹣4,a)作圆 C 的一 条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B.6 C.4 D.2

10.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为( )

A.

B.

C.

D.

11.设函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx,记 g(x)= 点,则实数 m 的取值范围是( ) A.(﹣∞,e + ] C.(e + ,+∞]
2 2

3

2

,若函数 g(x)至少存在一个零

B.(0,e + ] D.(﹣e ﹣ ,e + ] ﹣1,g(x)=x ﹣2bx+4,若对任意的 x1∈(0,2)存在
2 2 2

2

12.已知函数 f(x)=lnx﹣ x+

x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),则实数 b 的取值范围是( ) A.[ ,+∞) B.(﹣∞, D.[2,+∞) ]

C.(﹣∞,2]

第II卷

非选择题(共 90 分)

二.填空题(每题 5 分,共 20 分)[文理科] 13.函数 的定义域是 .

14.已知集合 M={f(x)

},有下列命题

①若 f(x)=

,则 f(x) M;

②若 f(x)=2x,则 f(x) M; ③f(x) M,则 y=f(x)的图像关于原点对称;

④f(x) M,则对于任意实数 x1,x2(x1

x2),总有

﹤0 成立;

其中所有正确命题的序号是_______。(写出所有正确命题的序号) 2 2 2 2 15.已知圆C1: (x﹣2) +(y﹣3) =1,圆C2: (x﹣3) +(y﹣4) =9,M,N分别是圆C1,C2 上 的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值 . 16.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=1,则直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 .

三.解答题(共 6 题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分)

[文科]已知命题 p: “存在

” , 命题 q: “曲线

表示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 s:“曲线 (1)若“p 且 q”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围.

表示双曲线”

[理科]已知全集 U=R,集合 A={x|x<﹣4,或 x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}, (1)求 A∩B、(?UA)∪(?UB); (2)若集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合 A 的子集,求实数 k 的取值范围. 18.(本题满分 12 分) [文科]如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,PA=PC,E 为 PB 的中点. (1)求证:PD∥面 AEC; (2)求证:平面 AEC⊥平面 PDB. [理科]如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. ,BB1=3,D

19.(本题满分 12 分) [文科]已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若存在实数 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有 3 个不相等的实 数根,求实数 t 的取值范围.

[理科]定义在[﹣1,1]上的奇函数 f(x)满足当﹣1≤x<0 时,f(x)=﹣ (Ⅰ)求 f(x)在[﹣1,1]上的解析式; (Ⅱ)判断并证明 f(x)在(0,1]上的单调性;



(Ⅲ)当 x∈(0,1]时,函数 g(x)=

﹣m 有零点,试求实数 m 的取值范围.

20.(本题满分 12 分)[文理科] 已知圆 C 与圆 D:x +y ﹣4x﹣2y+3=0 关于直线 4x+2y﹣5=0. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P(2,0),M(0,2),设 Q 为圆 C 上一个动点. ①求△QPM 面积的最大值,并求出最大值时对应点 Q 的坐标; ②在①的结论下,过点 Q 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A,B 两点,若直线 QA,QB 的倾 斜角互补,问直线 AB 与直线 PM 是否垂直?请说明理由.
2 2

21.(本题满分 12 分)

[文科]已知函数 f (x) =ln x+ (Ⅰ)求函数 f (x)的最小值; (Ⅱ)求函数 g(x)的单调区间;

-1,

(Ⅲ)求证:直线 y=x 不是曲线 y =g(x)的切线。 [理科]已知函数 (Ⅰ)若 (Ⅱ)设函数 (Ⅲ)若存在 ,使得 ,求函数 的极值; ,求函数 的单调区间; 成立,求 的取值范围. .

22.(本题满分 12 分)[文理科]

已知函数

的定义域为

,若



上为增函数,则称

为“一阶

比增函数”;若



上为增函数,则称

为“二阶比增函数”.我们把所 .

有“一阶比增函数”组成的集合记为 (Ⅰ)已知函数 围; (Ⅱ)已知 ,

,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ,若 且 ,求实数

的取值范



的部分函数值由下表给出,

求证: (Ⅲ)定义集合 请问:是否存在常数 求出 的



,使得



,有

成立?若存在,

最小值;若不存在,说明理由.

衡阳八中 2016 年下期高三实验班第二次月考文数/理数参考 答案
题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 D 6 C 7 B 8 C 9 B 10 C 11 A 12 A

13.[﹣2,0)∪(0,+∞) 14.②③ 15.5 ﹣4

16. 17. (文科) (1)若 p 为真: 解得 m≤﹣1 或 m≥3

若 q 为真:则 解得﹣4<m<﹣2 或 m>4

若“p 且 q”是真命题,则 解得﹣4<m<﹣2 或 m>4 (2)若 s 为真,则(m﹣t)(m﹣t﹣1)<0,即 t<m<t+1 由 q 是 s 的必要不充分条件, 则可得{m|t<m<t+1}?{m|﹣4<m<﹣2 或 m>4}



或 t≥4

解得﹣4≤t≤﹣3 或 t≥4 (理科) (1)因为全集 U=R,集合 A={x|x<﹣4,或 x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}, 所以 A∩B={x|1<x≤3}; (CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)={x|x≤1,或 x>3}; (2)①当 M=?时,2k﹣1>2k+1,不存在这样的实数 k. ②当 M≠?时,则 2k+1<﹣4 或 2k﹣1>1,解得 k 18. (文科)(1)证明:设 AC∩BD=O,连接 EO, 因为 O,E 分别是 BD,PB 的中点, 所以 PD∥EO 而 PD?面 AEC,EO?面 AEC, 或 k>1.

所以 PD∥面 AEC (2)连接 PO,因为 PA=PC, 所以 AC⊥PO,又四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD 而 PO?面 PBD,BD?面 PBD,PO∩BD=O, 所以 AC⊥面 PBD 又 AC?面 AEC, (理科)

19.

(文科)(1)∵ 由于 x≥2a 时,f(x)的对称轴为 x=a﹣1; x<2a 时,f(x)的对称轴为 x=a+1,

为增函数,



解得﹣1≤a≤1;

(2)方程 f(x)﹣tf(2a)=0 的解即为方程 f(x)=tf(2a)的解. ①当﹣1≤a≤1 时,f(x)在 R 上是增函数, 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)不可能有 3 个不相等的实数根. ②当 a>1 时,2a>a+1>a﹣1,

∴f(x)在(﹣∞,a+1)上单调递增,在(a+1,2a)上单调递减, 在(2a,+∞)上单调递增,所以当 f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时, 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有 3 个不相等的实数根,即 4a<t4a<(a+1) . ∵a>1,∴ 设 . ,因为存在 a∈[﹣2,2],
2

使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有 3 个不相等的实数根, ∴1<t<h(a)max.又 h(a)在(1,2]递增,所以 在(2a,a﹣1)上单调递减,在(a﹣1,+∞)上单调递增, 所以当 f(a﹣1)<tf(2a)<f(2a)时, 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有 3 个不相等的实数根, 即﹣(a﹣1) <t4a<4a.∵a<﹣1,∴ 设 ,因为存在 a∈[﹣2,2],
2

,∴



③当 a<﹣1 时,2a<a﹣1<a+1,所以 f(x)在(﹣∞,2a)上单调递增,



使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有 3 个不相等的实数根,所以 1<t<g(a)max. 又可证 所以 综上, ∴f(0)=0, 设 0<x≤1,则﹣1≤﹣x<0, . ,所以 在[﹣2,﹣1)上单调递减, .

(理科)(Ⅰ)∵f(x)在[﹣1,1]上的奇函数,

故 f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(﹣

)=



故 f(x)=



(Ⅱ)f(x)在(0,1]上为减函数,证明如下,

∵f(x)=

=



且 y=2 在(0,1]上是增函数,y=x+ 在(1,2]上是增函数, y= 在(2, ]上是减函数; ∴由复合函数的单调性可知,

x

f(x)=

(0,1]上为减函数.

(Ⅲ)当 x∈(0,1]时,函数 g(x)= 故 m=4 +1﹣2 =(2 ﹣ ) + , ∵x∈(0,1],∴2 ∈(1,2], ∴1<4 +1﹣2 ≤13, 故实数 m 的取值范围为(1,13]. 20. (文理科) (Ⅰ)∵x +y ﹣4x﹣2y+3=0, ∴(x﹣2) +(y﹣1) =2. 设圆 C 的圆心为 C(a,b), 又因为圆 C 与圆 D 关于直线 4x+2y﹣5=0 对称,
2 2 2 2 x x x x x x 2

﹣m=4 +1﹣2 ﹣m,

x

x

即圆心 D(2,1)与(a,b)关于直线 4x+2y﹣5=0 对称.








2 2

∴圆 C 的方程为 x +y =2. (Ⅱ)①因为点 P(2,0),M(0,2),所以 设点 Q 到 PM 的距离为 h,圆心 C 到 PM 的距离为 d, 所以 C 的连线与 PM 垂直, 故有最大值 ,最大面积 , .△QPM 面积的最大值即需要 h 取的最大值,此时点 Q 与圆心 ,

此时点 Q 坐标为点(﹣1,﹣1). ②直线 AB 与直线 PM 垂直,理由如下:

因为过点 Q(﹣1,﹣1)作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B 两点,直线 QA、QB 的倾斜 角互补,所以直线 QA、QB 斜率都存在. 设直线 QA 的斜率为 k,则直线 QB 斜率为﹣k,所以直线 QA 的方程:y+1=k(x+1)

?(1+k )x +2k(k﹣1)x+k ﹣2k﹣1=0,

2

2

2

又因为点 Q (﹣1, ﹣1) 在圆 C 上, 故有

, 所以



同理







,所以有 kPM?kAB=﹣1,

故直线 AB 与直线 PM 垂直. 21. (文科)(Ⅰ)函数 的定义域为 ,

当 变化时,



的变化情况如下表:

函数 所以



上的极小值为



的最小值为 的定义域为 ,

(Ⅱ)解:函数

由(Ⅰ)得, 所以

,所以 ,无单调减区间.

的单调增区间是

(Ⅲ)证明:假设直线

是曲线

的切线.

设切点为

,则

,即



,则



所以 所以假设不成立,直线 (理科) (Ⅰ)

, 得 不是曲线

,与 的切线

矛盾

的定义域为



当 由 当 所以当

时, ,解得 时, 时,函数

. .当 时, 单调递减;

单调递增; 取得极小值,极小值为 ;

(Ⅱ)

,其定义域为



又 由 所以 可得 ,在 上 ;递增区间为 ,使得 .即

. ,在 . 成立, 在 在 上的最小值小于零. 上单调递减. 上 ,

的递减区间为 上存在一点 ,使得

(III)若在 即在 ①当 故 在

上存在一点 ,即

时,由(II)可知 ,

上的最小值为



,可得



因为 ②当 由(II)可知 在 因为

.所以 ,即 在

; 时, 上单调递减,在 . . 不满足题意,舍去. 上单调递增.

上最小值为 ,所以 ,即

综上所述: 22.(文理科)



(Ⅰ)







上是增函数,

而 , 不是增函数时,



不是增函数,而



是增函数时

,综上

.

(Ⅱ)



,则

,同理

,则有







, 而 , , .

(Ⅲ) 对任意 ,存在常数 ,使得 ,对 成立.先证明 对

成立,假设存在

,使得

,记

.

是二阶比增函数,即 , 一定可以找到一个 盾. 对 下面证明 , 在 ,使得

是增函数,

时,



,这与对





成立. 即任意



对 ,使得

成立. ,一定存在

上无解 : 假设存在

,这与上面证明的结果矛盾, 综上,对任意 意 有 , 成立, . , 对

在 成立,存在

上无解. ,任

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