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【人教A版】高中数学同步辅导与检测:选修1-1 第一章1.2充分条件与必要条件


第一章 1.2

常用逻辑用语

充分条件与必要条件
A级 基础巩固

一、选择题 1. “α = π 1 ”是“cos 2α = ”的( 6 2 )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 π 1 解析:由 cos 2α= ,可得 α=kπ± (k∈Z),故选 A. 2 6 答案:A 2.(2016· 天津卷)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 x=1,y=-2 时,x>y,但 x>|y|不成立; 若 x>|y|,因为|y|≥y,所以 x>y. 所以 x>y 是 x>|y|的必要而不充分条件. 答案:C 3.x2<4 的必要不充分条件是( A.0<x≤2 ) )

B.-2<x<0

C.-2≤x≤2

D.1<x<3

解析:x2<4 即-2<x<2,因为-2<x<2 能推出-2≤x≤2, 而-2≤x≤2 不能推出-2<x<2,所以 x2<4 的必要不充分条件是 -2≤x≤2. 答案:C 4. (2016· 山东卷)已知直线 a, b 分别在两个不同的平面 α, β 内, 则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由题意知 a?α,b?β,若 a,b 相交,则 a,b 有公共 点,从而 α,β有公共点,可得出 α,β相交;反之,若 α,β相交, 则 a,b 的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件.故选 A. 答案:A 5.函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件 是( ) A.m=2 C.m=-1 B.m=-2 D.m=1 )

解析:当 m=-2 时,f(x)=x2-2x+1, 其图象关于直线 x=1 对称,反之也成立, 所以函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条 件是 m=-2. 答案:B

二、填空题 6. 设 a, b 是实数, 则“a+b>0”是“ab>0”的_____________ 条件. 解析:若 a+b>0,取 a=3,b=-2,则 ab>0 不成立; 反之,若 a=-2,b=-3,则 a+b>0 也不成立, 因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件. 答案:既不充分也不必要条件 7 .关于 x 的不等式 |2x - 3| > a 的解集为 R 的充要条件是 ________. 解析:由题意知|2x-3|>a 恒成立. 因为|2x-3|≥0,所以 a<0. 答案:a<0 8.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“b-2 是无理数”是“b 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的序号是________. 解析:①中由“a=b”可得 ac=bc, 但由“ac=bc”得不到“a=b”,所以不是充要条件; ②是真命题; ③中 a>b 时,a2>b2 不一定成立,所以③是假命题; ④中由“a<5”得不到“a<3”, 但由“a<3”可以得出“a<5”, 所以“a<5”是“a<3”的必要条件,是真命题.

答案:②④ 三、解答题 9.已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且 q 是 p 的充 分而不必要条件,试求 a 的取值范围. 解:设 q,p 表示的范围为集合 A,B,则 A=(2,3),B=(a-4, a+4).由于 q 是 p 的充分而不必要要件,则有 A
? ?a-4<2, 或? 解得-1≤a≤6. ?a+4≥3, ? ?a-4≤2, ? B,即? ?a+4>3 ?

10.求证:关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1 的充要条 件是 a+b+c=0. 证明:必要性:因为方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1, 所以 x=1 满足方程 ax2+bx+c=0,即 a+b+c=0. 充分性:因为 a+b+c=0,所以 c=-a-b, 代入方程 ax2+bx+c=0 中可得 ax2+bx-a-b=0, 即(x-1)(ax+a+b)=0. 故方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1. 所以关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1 的充要条件是 a +b+c=0. B级 能力提升

1 1.m= 是直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y 2 -3=0 相互垂直的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 )

D.既不充分也不必要条件 1 5 3 3 5 解析:当 m= 时,两直线为 x+ y+1=0 和- x+ y-3=0, 2 2 2 2 2 两直线斜率之积为-1,两直线垂直;而当两直线垂直时,(m+2)(m -2)+3m(m+2)=0,即 2(m+2)(2m-1)=0,所以 m=-2 或 m= 1 .所以 为充分不必要条件. 2 答案:B 2.已知 p:不等式 x2+2x+m>0 的解集为 R;q:指数函数 f(x)
? 1?x =?m+4? 为增函数,则 p 是 q 成立的________条件. ? ?

解析:p:不等式 x2+2x+m>0 的解集为 R,
? 1?x 即Δ=4-4m<0,m>1;q:指数函数 f(x)=?m+4? 为增函数, ? ?

1 3 即 m+ >1,m> ,则 p 是 q 成立的充分不必要条件. 4 4 答案:充分不必要 3.已知 p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件.求实数 m 的取值范围. 解:p:-2≤x≤10.q:x2-2x+1-m2≤0(m>0)?[x-(1-m)][x -(1+m)]≤0(m>0)?1-m≤x≤1+m(m>0). 因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件, 所以 q 是 p 的充分不必要条 件,即{x|1-m≤x≤1+m}
? ?1-m>-2, ? ?1+m≤10, ? ? ?1-m≥-2, {x|-2≤x≤10},故有? 或 ? ?1+m<-10

解得 m≤3.又 m>0,所以实数 m 的取值范围为{m|0<m≤3}.

本题还可用以下方法求解. 因为 p:-2≤x≤10,所以綈 p:x<-2 或 x>10. q:x2-2x+1-m2≤0(m>0)?[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0(m> 0)?1-m≤x≤1+m(m>0), 綈 q:x<1-m 或 x>1+m(m>0).因为綈 p 是綈 q 的充分不必 要条件,所以

{x|x<-2或x>10} {x|x<1-m或x>1+m},
?1-m≥-2, ? ?1-m>-2, ? 故有? 或? ? ? ?1+m<10 ?1+m≤10,

解得 m≤3.又 m>0,所以实数 m 的取值范围为{m|0<m≤3}.


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