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直线方程的五种形式之


直线方程的五种形式之: 直线方程的五种形式之: 点斜式方程和 斜截式方程

新课: 新课: 1、直线的点斜式方程:
已知直线l经过已知点 ),并且它的斜率是 并且它的斜率是k 已知直线l经过已知点P1(x1,y1),并且它的斜率是 求直线l的方程 的方程。 求直线 的方程。 设点P( , )是直线l上 设点 (x,y)是直线 上 不同于P 的任意一点。 不同于 1的任意一点。 l 根据经过两点的直线斜率 y P 公式, 公式,得

k

=

可化为

y y 1 = k (x x 1 )

y y1 x x1

. .
P1

O

x

由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程,叫直 由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程, 线的点斜式方程。 线的点斜式方程。

小结: 小结: 为直线上的任意一点, ⑴P为直线上的任意一点,它的 为直线上的任意一点 位置与方程无关 直线上任意一点P与这条直线上 直线上任意一点 与这条直线上 一个定点P 所确定的斜率都相等。 一个定点 1所确定的斜率都相等。

y

° °P ° ° ° ° ° ° ° P1

° O x ° ° 点与P 此时满足y-y ( ⑵当P点与 1重合时,有x=x1,y=y1,此时满足 1=k(x 点与 重合时, -x1),所以直线 上所有点的坐标都满足 1=k(x-x1), ),所以直线 上所有点的坐标都满足y-y ( 所以直线l上所有点的坐标都满足 而不在直线l上的点 显然不满足( 上的点, 而不在直线 上的点,显然不满足(y-y1)/(x-x1)=k即 ( 即 不满足y-y ( ),因此 因此y-y ( 是直线l的方程 的方程。 不满足 1=k(x-x1),因此 1=k(x-x1)是直线 的方程。 ⑶如直线l过P1且平行于 轴,则它的斜率 如直线 过 且平行于x轴 则它的斜率k=0,由点斜式 , 知方程为y=y0; 如果直线 过P1且平行于 轴,此时它的 知方程为 如果直线l过 且平行于Y轴 倾斜角是90 而它的斜率不存在, 倾斜角是 0,而它的斜率不存在,它的方程不能用点斜 式表示,但这时直线上任一点的横坐标x都等于 都等于P 式表示,但这时直线上任一点的横坐标 都等于 1的横坐 标所以方程为x=x1 标所以方程为

应用: 应用: ),倾斜角 例1:一条直线经过点 1(-2,3),倾斜角 :一条直线经过点P , ),倾斜角α=450,求这 y 条直线的方程,并画出图形。 条直线的方程,并画出图形。
解:这条直线经过点P1(-2,3), 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y-3 = x + 2, 即x-y + 5 = 0 P1 ° ° 5 x ° -5 O

2:一条直线经过点A(0,5),倾斜角为00, ),倾斜角为 例2:一条直线经过点A(0,5),倾斜角为00,求这直线 方程 y
解:这条直线经过点A(0,5) 斜率是k=tan00=0 代入点斜式,得 y - 5 = 0 O x 5

②直线的斜截式方程: 直线的斜截式方程:
已知直线l的斜率是 , 轴的交点是P( , ), ),求 已知直线 的斜率是k,与y轴的交点是 (0,b),求 的斜率是 轴的交点是 求这条直线的方程。 求这条直线的方程。 代入点斜式方程, 的直线方程 的直线方程: 代入点斜式方程,得l的直线方程:y - b =k ( x - 0) ) 即 y = kx + b。 (2)

轴上的截距是4的直线方程 例3:斜率是 ,在y轴上的截距是 的直线方程。 :斜率是5, 轴上的截距是 的直线方程。
解:由已知得k =5, b= 4,代入斜截式方程 y= 5x + 4 即5 x - y + 4 = 0

4

例5:求过点(1,2)且与两坐标轴组成一等腰直角 :求过点( , ) 三角形的直线方程。 三角形的直线方程。
解:∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点(1,2)代入点斜式方程得 y- 2 = x - 1 或y-2=-(x-1) 即x-y+1=0或x+y-1=0

例6:已知直线 过A(3,-5)和B(-2,5),求直 ),求直 :已知直线l过 ( , ) ( , ), 线l的方程 的方程
解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5)
∴ k
L

=

将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 ) ,即 2x + y -1 = 0

5 ( 5 2 3

)

= 2

㈢巩固: 巩固: 经过点( ①经过点(- 2,2)倾斜角是 0的直线的方程是 )倾斜角是30 (A)y+ 2 = 3 ( x-2) (B)y+2= 3 (x- 2 ) ) + - ) ) - 3 (C)y-2= ) - (x+ 2)(D)y-2= 3 x+ 2) + )( ) - ( + 3 已知直线方程y- ),则这条直线经过的已知 ②已知直线方程 -3= 3(x-4),则这条直线经过的已知 - ), 点,倾斜角分别是 )(4, ); );π/ )(-3,- );π/ (A)( ,3); 3 )( (B)(- ,- ); 6 )(- ,-4); )(4, ); );π/ )(-4,- );π/ (C)( ,3); 6 )( (D)(- ,- ); 3 )(- ,-3); ③直线方程可表示成点斜式方程的条件是 (A)直线的斜率存在 ) (B)直线的斜率不存在 ) (C)直线不过原点 ) (D)不同于上述答案 )
3

BP95

㈣总结: ①直线的点斜式,斜截式方程在 直线斜率存在时才可以应用。 ②直线方程的最后形式应表示成 二元一次方程的一般形式。

③两种形式都有限制条件


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