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3.2一元二次方程的解法教学案

一元二次方程的解法教学案
一、学习目标
知识与技能: 1.使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程,在配方法的应用过 程中体会 “转化”的思想,掌握一些转化的技能。 2. 使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。 过程与方法: 在具体的解方程中理解配方法的实质,探求其规律性。 感情态度与价值观:在共同探究问题中学会学习,树立自信心。

二、学习重点
1、使学生掌握配方法解一元二次方程。2. 掌握一元二次方程的求根公式。

三、学习难点
1、把一元二次方程转化为 ( x ? p) ? q ,2. 求根公式的推导.
2

四、学习过程 (一)温故而知新:
1、解下列方程,并说明解法的依据: (1) 3 ? 2 x ? 1
2

(2) ? x ? 1? ? 6 ? 0
2

(3)

? x ? 2?

2

?1 ? 0

教师点评: 通过复习提问,指出这三个方程都可以转化为以下两个类型:

x2 ? b ?b ? 0? 和? x ? a ? ? b ?b ? 0?
2

根据平方根的意义,均可用“直接开平方法”来解,如果 b < 0,方程就没有实数解。 如 ? x ? 1? ? ?2
2

1、请说出完全平方公式。

? x ? a ? ? x 2 ? 2ax ? a 2 。 2 x ? a ? ? x 2 ? 2ax ? a 2 ?
2

(二)探究过程一:

活动一:自主探究,合作交流 试一试: 1、解下列方程:

x 2 +2x=5;
思考:

(2) x -4x+3=0.

2

能否经过适当变形,将它们转化为

?
2

?

2

= a

的形式,应用直接开方法求解? (方程两边同时加上 1)

解:(1)原方程化为 x +2x+1=6, _____________________, _____________________, _____________________. (2)原方程化为 x -4x+4=-3+4 _____________________, _____________________, _____________________. 活动二:探索新知 归 纳:
2 2

(方程两边同时加上 4)

上面,我们把方程 x -4x+3=0 变形为 ? x ? 2 ? =1,它的左边是一个含有未知数的完
2

全平方式, 右边是一个非负常数.这样, 就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方 程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后, 左边可以用完全平方公式从而转化为用 直接开平方法求解。 那么,在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢? 试一试:对下列各式进行配方: (1) x ? 8 x _____ ? ( x ? _____) ;
2 2

x 2 ? 10 x _____ ? ( x ? _____) 2 x 2 ? 9 x ? ______ ? ( x ? _____) 2

(2) x ? 5 x ? ______ ? ( x ? _____) ;
2 2

(3) x ?
2

3 x ? _____ ? ( x ? _____)2 ; 2

(4) x 2 ? 6 2 x ? _____ ? ( x ? _____)2 (5) x 2 ? bx ? ______ ? ( x ? _____) 2 通过练习,使学生探讨配方的关键是 活动三:运用新知解决问题 用配方法解下列方程: (1) x -6x-7=0; 活动四、挑战自我 1、填空:
2 (1) x ? 6 x ? ?

2

(2) x +3x+1=0.

2

??? ?

2

2 (2) x -8x+( )= ? x ? ?

2

(3) x +x+( )=(x+ )2; 2、 用配方法解方程: (1) x +8x-2=0 (3) x ? 7 ? ?6 x
2

2

(4)4 x -6x+(

2

)=4(x- )2

2

(2) x -5 x-6=0. (4) x ? 10 ? ?2 6 x
2

2

探究过程(二):
(一)探索新知 1.学生尝试用配方法推导一元二次方程的求根公 式: x ?

? b ? b 2 ? 4ac 2 (b ? 4ac ? 0) 2a

2.例题学习 例 1、解方程

x 2 ? 3x ? 2 ? 0

(学生自主解答,教师点拨) 小结:方程满足一般式,确定 a 、 b 、 c 后代入求根公式,即可求出方程的根。 例 2、 解方程 2 x 2 ? 7 x ? 4 (小组交流合作完成) 小结:方程不是一般式,先化为一般形式后再求方程的根。 例 3、解方程 ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 (自主完成,小组交流) 小结:方程的二次项系数为负数,通常先把它化为正数,再求根较好,而且 b 2 ? 4ac <

0 可以用算术平方根的意义得到方程没有实数根。 4.反馈练习 (1) 2 x 2 ? 5x ? 3 ? 0 (3) t 2 ? 2t ? 5 (2)

5 2 y ? 2y ? 1 2

(4) P( P ? 8) ? 16

(学生先练习,老师后点评) (二)课堂总结: (1)要牢记一元二次方程的求根公式

x?

? b ? b 2 ? 4ac 2 (b ? 4ac ? 0) 2a

(2)利用求根公式求一元二次方程的根的步骤: ①化方程为一般形式 ②确定方程中的 a 、 b 、 c 的值 ③算出 b 2 ? 4ac 的值 ④代入求根公式求方程的根 (3)求根公式是在 b 2 ? 4ac ? 0 时求方程的根,如果 b 2 ? 4ac <0 时,则方程在实数 范围内无解。 (三)拓展练习 (1)用公式法解方程 4 x 2 ? 12 x ? ?3 得到方程的根是 (2)已知 y ? x ? 6 x ? 5 能使 y 的值等于 ? 4 的值 x 的值是
2

。 。 。

(3)若代数式 4 x 2 ? 2 x ? 5 与 2 x 2 ? 1 的值是互为相反数,则 x 的值为

五、归纳总结,形成知识网络
通过这节课的学习你有哪些收获?配方法的特点是?公式法你觉得重点掌握什么?把 你的困惑说出来。

六、课后延伸
1、课本 25 页练习题 1、2 2、若代数式 4 x 2 ? 2 x ? 5 与 2 x 2 ? 1 的值是互为相反数,则 x 的值为 。


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