tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> >>

2015年2月浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二数学(理)期末联考试题及参考答案

杭州地区重点中学 2014-2015 学年高二上学期期末联考 理科数学试题
考生须知: 1.本卷满分 120 分,考试时间 100 分钟; 2.答 题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.直线 x=-1 的倾斜角和斜率分别是( ▲ ) A.45° ,1 2. 椭圆 B.90° ,不存在 C. 135° ,-1 D.180° ,不存在

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为( ▲ ) 9 25 A. ? ?3,0 ?, ? 3,0 ? B. ? ?4,0 ?, ? 4,0 ? C. ? 0, ?4 ? , ?0,4 ?

D. ? 0, ?3? , ?0,3?

π 3.命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( ▲ ) 4 π π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 B.若 α= ,则 tan α≠1 4 4 π π C.若 tan α≠1,则 α= D.若 tan α≠1,则 α≠ 4 4 4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( ▲ ) A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ∥ ? , ? ? ? ,则 l ? ? 则 a 的值为( ▲ ) A. a ? 1 C. a ? ?1或 a ? ? B.若 l ∥ ? , ? ∥ ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , ? ∥ ? ,则 l ? ?

5.已知两条直线 ?a ? 1?x ? y ? 1 ? 0 与 ?2a ? 1?x ? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,

3 2

3 2 3 D. a ? ?1 或 a ? 2
B. a ? 1 或 a ? ?

6.已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

9 , 4

底面是边

长为 3 的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 成角的大小为( ▲ ) A.

ABC 所

5? ? ? ? . B. C. D. 12 3 4 6 2 2 2 2 x y x y 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? 0, m ? b ? 0? m b a b
互为倒数, 则( ▲ )
第 1 页 共 7 页

第 6 题图

的离心率

A. a 2 ? b 2 ? m 2

B. a ? b ? m

C. a 2 ? b 2 ? m 2

D. a ? b ? m
V E P

8.如右图所示,正三棱锥 V ? ABC 中, D, E, F 分别是

VC,VA, AC 的中点, P 为 VB 上任意一点,则直线 DE
与 PF 所成的角的大小是( ▲ ) A. 30 0 B. 60 0 C. 90 0
2 2

D

D.随 P 点的变化而变化

A

F

C

第 8 题图 9.设 F1 , F2 分别为双曲线

B

x y ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在点 P, 2 a b

满足 PF2 ? F1 F2 , 且原点 O 到直线 PF 则该双曲线的渐近线方程为 1 的距离等于双曲线的实半轴长, ( ▲ ) A. 4 x ? 3 y ? 0 B. 3x ? 5 y ? 0 C. 3x ? 4 y ? 0 D. 5x ? 3 y ? 0 10.正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面上的射影是底面中心) S ? ABCD 的底面边长为 4,高 为 4,点 E、F、G 分别为 SD,CD,BC 的中点,动点 P 在正四棱锥的表面上运动,并且总保持 PG∥平 面 AEF, 动点 P 的轨迹的周长为( ▲ ) A.
S

5? 6

B. 2 5 ? 2 6 D. 2 5 ? 6
D F E

6 C. 5 ? 2

第 10 题 图
C G B

二.填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

A

11.在空间直角坐标系中,若 A(3,?4,0), B(?3,4, z ) 两点间的距离为 10,则 z ? 12.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 13.下列命题:①一条直线在平面上的射影一定是直线; ②在平面上的射影是直线的图形一定是直线 ; ③两直线与同一个平面所成角相等, 则这两条直线互相平行; ④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等。 其中所有真命题的序号是 ▲ 14. 某几何体三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ▲ 15. 已知点 M (a, b) 在直线 4 x ? 3 y ? 10上, 则 a ?b
2 2





第 14 题图 的最小

值为


2

16. 如图抛物线 C1 : y 2 ? 4 x 和圆 C2 : ? x ? 1? ? y2 ? 1,倾斜角
l 经过 C1 的焦点,依次交 C1 ,C2 于 A, B, C , D 四点,则 AB ? CD

为 ? 的直线 的 值 为


第 2 页 共 7 页

17.设 t ? R ,过定点 A 的动直线 x ? m y ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? 2m ? 2 ? 0 交于点

P?x, y ?,则 PA ? PB 的最大值是



第 16 题图 三、解答题:(共 4 小题,共 52 分,解题应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .) 18. (本题满分 12 分)已知方程

(Ⅰ)求实数 m 的取值集合 A ;

x2 y2 ? ? 1 ( m ? R )表示双曲线。 m 4?m

(Ⅱ)设不等式 x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a ? 0 的解集为 B ,若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,求 实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)已知坐标平面上一点 M(x,y)与两个定点 M1 (26,1),M2 (2,1) ,且

| MM 1 | ? 5. | MM 2 |
(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为 C,过点 M(-2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8,求直线 l 的方程.

20. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , 四边形 ABCD 为平行 四边形, AB ? 1, BC ?

2 , ?ABC ? 45? , AE ? PC , 垂足为 E. (Ⅰ)求证:平面 AEB ? 平面 PCD ; ? (Ⅱ)若二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 ,求侧棱 PA 的长。

第 3 页 共 7 页

x2 y2 1 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 ,过椭圆右焦点 F2 作 2 2 a b 两条互相垂直的弦 AB 与 CD ,当直线 AB 的斜率为 0 时, AB ? CD ? 7 .
21. (本小题满分 14 分) 如图, 已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ )求 AB ? CD 的取值范围。

2014 学年第一学期期末杭州七县市区重点中学
高二(理科)数学学科参考答案
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 12. 27? 2 C 3 D 4 D 5 B 6 B 7 A 8 C 9 A 10 D

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.0 13. ④ 14. 6 ?

?
2

15.2

16.1

17.4

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 12 分)已知方程

(Ⅰ)求实数 m 的取值集合 A ;

x2 y2 ? ? 1 ( m ? R )表示双曲线。 m 4?m

(Ⅱ)设不等式 x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a ? 0 的解集为 B ,若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,求 实数 a 的取值范围。 解:(Ⅰ)由题意: m(4 ? m) ? 0 ???????(3 分) 可得集合 A ? m m ? 0或m ? 4 ???????(6 分) (Ⅱ) 由题意: B ? x a ? x ? a ? 1 ???????(9 分) ∵ x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,∴ a ? 4 或 a ? 1 ? 0 ∴实数 a 的取值范围: a ? 4 或 a ? ?1 ???????(12 分) 19(本小题满分 12 分)已知坐标平面上一点 M(x,y)与两个定点 M1 (26,1),M2 (2,1),且

?

?

?

?

| MM 1 | ? 5. | MM 2 |
(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为 C,过点 M(-2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8,求直线 l 的方程. |M M | 解:(Ⅰ)由题意,得 1 =5. |M 2 M |

第 4 页 共 7 页

(x ? 26)2 ? ( y ? 1) 2 (x ? 2) ? ( y ? 1)
2 2

? 5 ,化简,得 x2 +y2 -2x-2y-23=0??????(3 分)

即(x-1)2 +(y-1)2 =25. ∴点 M 的轨迹方程是(x-1)2 +(y-1)2 =25, 轨迹是以(1,1)为圆心,以 5 为半径的圆.???????(6 分) (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长为 2 52 -32 =8, ∴l:x=-2 符合题意.???????(8 分) 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y-3=k (x+2),即 kx-y+2k +3=0, |3k +2| |3k +2| 2 5 圆心到 l 的距离 d= ,由题意,得( ) +42 =52 ,解得 k = . 2 2 12 k +1 k +1 5 23 ∴ 直线 l 的方程为 x-y+ =0,即 5x-12y+46=0. 12 6 综上,直线 l 的方程为 x=-2,或 5x-12y+4 6=0???????(12 分) 20. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , 四边形 ABCD 为平行 四边形, AB ? 1, BC ?

2 , ?ABC ? 45? , AE ? PC , 垂足为 E. (Ⅰ)求证:平面 AEB ? 平面 PCD ; (Ⅱ)若二面角 B ? AE ? D 的大小为 150? ,求侧棱 PA 的长。

解: (Ⅰ)? AB ? 1, BC ?

2, ?ABC ? 45?

? AB ? AC ????????? ?????(2 分) 又? AB ∥ CD ? CD ? AC ? PA ? 平面 ABCD ? PA ? CD , 面 PAC ? CD ? AE ??(4 分) 又? AC ? AP ? A ? CD ? 平面 PAC , ? AE ? 平 ? AE ? 平面 PCD 又? AE ? PC , PC ? CD ? C ? AE ? AEB AEB ? 平面 PCD ???????(7 分) 又 平面 ?平面 (Ⅱ )方法一:以 A 为原点,以 AB, AC, AP 所在射线分别为 x, y , z 的正半轴,建立空间直角坐标系。
设 AP ? t ,则 A?0,0,0? , B?1,0,0?, C?0,1 , 0? , D?? 1,10? , P?0,0, t ?

? AB ? PC, AE ? PC , ? PC ? 平面 ABE

?平面 ABE 的一个法向量为 n ? PC ? ?0,1,?t ? ???(9 分)
在 RT? PAC 中,? PA ? t , AC ? 1 ? PC ? 1 ? t ,
2

又? AE ? PC , AE ? 可得 E ? ? 0,

t 1? t 2



? ?

t2 t ? ? ???(10 分) , 2 2 t ?1 t ?1? ?
第 5 页 共 7 页

设平面 ADE 的一个法向量为 m ? ?x, y, z ?

? t2 t ? ? ?m ? AD ?y? 2 ? z ? 0 ,解得 由? ,得 ? t 2 ? 1 m ? ?1,1,?t ? ???(1 2 分) t ?1 ? m ? AE ? ? ?x? y ?0 ? ?二面角 B ? AE ? D 的大小为 150?

? cos m, n ?

m?n m?n

?

t 2 ?1 t 2 ?1 t 2 ? 2

? cos150? ?

3 2

解得 t ? 2 ,故侧棱 PA 的长为 2 。?????????(14 分) 面 ABE ? 平 面 PAC 方法二:? AB ? 平面 PAC ,? 平 又?二面角 B ? AE ? D 的大小为 150?

?二面角 C ? AE ? D 的大小为 60? ?????????(10 分) ? AE ? 平面 PCD , ? AE ? CE , AE ? DE ? ?CED 为二面角 C ? AE ? D 的平面角,即 ?CED ? 60? ??????(12 分)
? CD ? 1 , ?ECD ? 90? ,? CE ?

3 3 6 3

在 RT ?PAC 中,? AE ? PC , AC ? 1 ,? AE ?

? ?ACE ∽ ?PCA , ?

PA AC AC ? ,? PA ? ? AE ? 2 AE CE CE

故侧棱 PA 的长为 2 。???????????????(14 分)

x2 y2 1 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 ,过椭圆右焦点 F2 作 2 2 a b 两条互相垂直的弦 AB 与 CD ,当直线 AB 的斜率为 0 时, AB ? CD ? 7 .
21. (本小题满分 14 分) 如图, 已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ )求 AB ? CD 的取值范围。

解: (Ⅰ)当直线 AB 的斜率为 0 时,直线 CD 垂直于 x 轴,

? AB ? 2a , CD ?
?e ?

2b 2 2b 2 ?7 ,即 AB ? CD ? 2a ? a a

c 1 ? ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得: a ? 2, b ? 3 a 2 x2 y2 ? ? 1 。???????(6 分) 所以椭圆方程为 4 3
(Ⅱ )①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意可知, AB ? CD ? 7 ;???????(7 分)
第 6 页 共 7 页

②当两条弦斜率均存在且不为 0 时,设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,

1 ?x ? 1? k 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 3 ? 4k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0
设直线 AB 的方程为 y ? k ?x ? 1? ,则直线 CD 的方程为 y ? ?

?

?

8k 4k ? 12 ???????(9 分) , x1 x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 12 k 2 ? 1 , ? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ? 1 ? 12? 2 ? 1? 2 k ? ? 12 k ? 1 同理, CD ? ? 4 3k 2 ? 4 3? 2 k ? x1 ? x2 ?
2 2

?

?

?

?

12 k 2 ? 1 12 k 2 ? 1 84 k 2 ? 1 ???????(1 1 分) ? AB ? CD ? ? ? 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 令 t ? k 2 ? 1 ,则 t ? 1,

?

?

?

?

?

?

??

?

2

?

所以 AB ? CD ?

49 ?1 1 ? ?? ? ? ? 4 ?t 2? 2 1 1 1 49 49 4 ?1 1 ? ? t ? 1,? 0 ? ? 1, ?12 ? ?? ? ? ? , ? ? ? 2 t 49 4 4 ?t 2? 49 12 ?1 1 ? ?? ? ? ? 4 ?t 2? 48 84 ? ? ?7 2 7 ? 1 1 ? 49 ?? ? ? ? 4 ?t 2? 48 ? AB ? CD ? 7 所以 7 ? 48 ? 综合①②可知, AB ? CD 的取值范围为 ? ,7? 。???????(14 分) ?7 ?
备注:对于解答题的其他解法,请参照评分标准评分 . 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

84t 2 84t 2 ? ? ?4t ? 1??3t ? 1? 12t 2 ? t ? 1

84
2

第 7 页 共 7 页


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com