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2013版高中全程复习方略配套课件:6.6直接证明与间接证明(人教A版·数学理)浙江专用_图文

第六节 直接证明与间接证明

三年9考

高考指数:★★★

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法.

1.本考点在历年高考中均有体现,主要以直接证明中的综合法为主; 2.分析法的思想应用广泛,反证法仅作为客观 题的判断方法,一 般不会单独命题; 3.题型以解答题为主,主要在与其他知识点交汇处命题.

1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一

系列的推理论证,最后推导出 所要证明的结论成立 的证明方法.
②框图表示: (P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明 的结论). ③文字表示为:“因为??所以??”或“由??得??”.

④思维过程:由因导果.

(2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件 (已 知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法. ②框图表示:

(Q表示要证明的结论). ③文字表示为:“要证??”,“只需证??”,“即证??” ④思维过程:执果索因.

【即时应用】 (1)思考下列思维特点: ①从“已知”逐步推向“未知”,即逐步寻找已知成立的必要条件. ②从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论成立的

充分条件.
满足综合法的是 ,满足分析法的是 (请填写相应序号).

(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则s,t的大小关系是

.

(3)在正项等比数列{an}和正项等差数列{bn}中,a1=b1,a3=b3, a1≠a3,则a5与b5的大小关系为 .

【解析】(1)由分析法、综合法的定义可判断.①满足综合法;

②满足分析法.
(2)由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)2≥0,故s≥t.

(3)由a1≠a3,得b1≠b3,所以b1≠b5,且b1>0,b5>0,
b1 +b5 又 a 3 = a1a 5 = =b3 > b1b5 , 2

即 a1a 5 > b1b5 , 又a1=b1,所以a5>b5.
答案:(1)① ② (2)s≥t (3)a5>b5

2.间接证明

(1)反证法的定义
假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说 明 假设错误 ,从而证明 原命题成立 的证明方法. (2)利用反证法证题的步骤 ①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; ②由假设出发进行正确的推理,直到推出矛盾为止; ③由矛盾断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.

简言之,否定→归谬→断言.

【即时应用】 (1)判断下列说法是否正确.(请在括号内打“√”或“×”) ①综合法是由因导果法 ( )

②综合法是顺推法
③分析法是执果索因法 ④分析法是逆推法

(
( (

)
) )

⑤反证法是间接证法

(

)

(2)用反证法证明“如果a>b,那么 3 a > 3 b ”,其中假设内容应是 _______. (3)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°” 时,应假设 .

【解析】(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知①②③④⑤ 都正确.
3 (2)否定结论, a > 3 b 的否定是 3 a ? 3 b.

(3)因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”,所以“三角
形三个内角至少有一个不大于60°” 的否定是“三角形三个内

角一个也没有不大于60°”,即“三角形三个内角都大于60°”.
答案:(1)①√ ②√ (2) 3 a ? 3 b ③√ ④√ ⑤√

(3)三角形三个内角都大于60°

综合法的应用 【方法点睛】 利用综合法证题的基本思路

分析题目的已知条件及已知与结论之间 分析条件 选择方向 的联系与区别,选择相关的定理、公式 等,确定恰当的解题方法

转化条件 组织过程

把已知条件转化成解题所需要的语言, 主要是文字、符号、图形三种语言之间 的转化 回顾解题过程,可对部分步骤进行调 整,并对一些语言进行适当的修饰,反 思总结解题方法的选取

适当调整 回顾反思

【例1】已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥ .
【解题指南】由基本不等式x2+y2≥2xy,得到关于x、y、z的三 个不等式,将三式相加整理变形,然后利用x+y+z=1得 (x+y+z)2=1从而可证.

1 3

【规范解答】≧x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz, ?2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz, ?3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz, 即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2, ≧x+y+z=1,?(x+y+z)2=1, ?3(x2+y2+z2)≥1,

即x2+y2+z2≥ .

1 3

【反思·感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方 法之一,即充分利用已知条件与已知的基本不等式,经过推理 论证推导出正确结论,是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是三 段论式的演绎推理方法,这就需保证前提正确,推理合乎规律, 这样才能保证结论的正确.

分析法的应用 【方法点睛】 分析法的特点与思路 分析法的特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知 ”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证 明成立的结论等.通常采用“欲证——只需证——已知”的格式,

在表达中要注意叙述形式的规范.

【例2】(2012·南通模拟)已知m>0,a,b∈R,求证:
a+mb 2 a 2 +mb 2 ( ) ? . 1+m 1+m

【解题指南】利用分析法,去分母后移项作差,最后变形可证.

【规范解答】≧m>0,?1+m>0. 所以要证原不等式成立,

只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,

而(a-b)2≥0显然成立,
故原不等式得证.

【反思·感悟】1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过 反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使 问题顺利获解的关键. 2.在求解实际问题时,对于较复杂的问题,可以采用两头凑的

办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,
然后通过综合法由条件证明这个中间结论,使原命题得证.

【证明】因为a,b∈(0,+≦),要证原不等式成立, 只需证 [(a 3 +b ) ] <[(a 2 +b ) ] ,
1 3 3 6 1 2 2 6

即证(a3+b3)2<(a2+b2)3,
即证a6+2a3b3+b6<a6+3a4b2+3a2b4+b6. 只需证2a3b3<3a4b2+3a2b4. 因为a,b∈(0,+≦), 所以即证2ab<3(a2+b2),

而a2+b2≥2ab,3(a2+b2)≥6ab>2ab成立,
以上步骤步步可逆, 所以 (a 3 +b ) <(a 2 +b ) .
1 3 3 1 2 2

综合法、分析法的综合应用

【方法点睛】
综合法与分析法的应用技巧

综合法与分析法各有特点,在解决实际问题时,常把分析法与
综合法综合起来运用,通常用分析法分析,综合法书写.这一点 在立体几何中应用最为明显,同时,在三角、解析几何中也大

多是利用分析法分析,用综合法证明的办法来证明相关问题.
提醒:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的 是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步 寻找的是充分条件.

【例3】如图,四边形ABCD是正方形, PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD,

PB=AB=2MA.
求证:

(1)平面AMD∥平面BPC;
(2)平面PMD⊥平面PBD.

【解题指南】(1)欲证平面AMD∥平面BPC,只需证AM∥PB,
AD∥BC从而得AM∥平面PBC,AD∥平面PBC,从而得证.

(2)欲证平面PMD⊥平面PBD,只需连接AC交BD于E,取PD中点
为F,连接MF、EF,即证AE⊥平面PBD,而AE与MF又平行从而得证 .

【规范解答】(1)因为PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD,

所以PB∥MA.
因为PB ? 平面BPC,MA ? 平面PBC,

所以MA∥平面BPC.
同理,DA∥平面BPC. 又MA ? 平面AMD,AD ? 平面AMD, MA∩AD=A, 所以平面AMD∥平面BPC.

(2)连接AC,设AC∩BD=E,取PD中点F,连接EF,MF. 因为四边形ABCD为正方形, 所以E为BD的中点. 因为F为PD中点,所以EF 又AM
1 PB, 2 1 PB, 2

所以四边形AEFM为平行四边形,
所以MF∥AE.

因为PB⊥平面ABCD,所以PB⊥AE, 又因为ABCD是正方形,所以AE⊥BD, 所以AE⊥平面PBD, 又因为MF∥AE,所以MF⊥平面PBD, 又因为MF ? 平面PMD,所以平面PMD⊥平面PBD.

【反思·感悟】利用分析法分析结论成立的充分条件,探究面 面平行需具备的条件,面面垂直所要具备的条件,找到条件后, 再用综合法书写证明过程.这是此类问题的常规解法,需要灵 活掌握.

反证法的应用
【方法点睛】 1.反证法的解题原则 反证法的原理是“正难则反”,即如果正面证明有困难时,或 者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时,可以考虑 用反证法.

2.反证法中常见词语的否定形式
原词 至多有n个(即x≤n,n∈N*) 否定形式 至少有n+1个(即 x>n?x≥n+1,n∈N*)

至少有n个(即x≥n,n∈N*)
n个都是 至多有1个

至多有n-1个 (即x<n?x≤n-1,n∈N*)
n个不都是 (即至少有1个不是) 至少有2个 至多有0个, 即一个也没有

特 例

至少有1个

【例4】若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+ , b=y2-2z+ ? ,
c=z2-2x+ , 求证:a,b,c中至少有一个大于0. 【解题指南】否定结论,至少有一个大于0的否定是都不大于0, 只需证a+b+c≤0不成立即可,而后下结论.
? 6 3

? 2

【规范解答】假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
则a+b+c≤0, 而a+b+c= x 2 -2y+ ? +y 2 -2z+ ? +z 2 -2x+ ?
2 3 6

=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π -3. ∵π -3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾.因此a,b,c中至少有一个大于0.

【反思·感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾
可以是:①与已知条件矛盾,②与假设矛盾,③与定义、公理、 定理矛盾,④与事实矛盾等方面,反证法常常是解决某些“疑难” 问题的有力工具,是数学证明中的一件有力武器.

【满分指导】不等式证明题的规范解答 【典例】(14分)(2012·常州模拟)已知a,b,c,d∈R,用分析

法证明ac+bd≤ (a 2 +b2 )(c2 +d 2 ) 并指明等号何时成立.
【解题指南】由于a,b,c,d∈R,故ac+bd≤0或ac+bd>0,要分两种

情况分析,可证.

【规范解答】(1)当ac+bd≤0时, (a 2 +b2 )(c2 +d 2 ) ≥0,...2分 故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.........5分

(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证
(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),...........................7分 即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2..............10分 即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2. ..............12分 ≧a,b,c,d∈R, ?上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad. ?由(1)(2)知原不等式成立. ......................14分

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下 失分警示和备考建议:

失 分 警 示

在解答本题时有两点容易造成失分: (1)不去分类,而是直接平方作差判断. (2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条

件说明不到位而失分.

解决此类不等式证明问题,还有以下几点容易造成 失分,在备考时要高度关注. 备 考 建 议 (1)对常用三种不等式的证明方法:综合法、分析 法、反证法的解题过程与推理形式理解不到位. (2)用反证法证题时反设错误.

(3)已知条件较多,表达不清,逻辑混乱.
另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法.

1.(2012·湖州模拟)用反证法证明“如果a>b,则a3>b3”, 假设的内容是( (A)a3=b3 ) (B)a3<b3

(C)a3=b3且a3<b3

(D)a3=b3或a3<b3

【解析】选D.反证法应否定结论即a3≤b3,即为a3=b3或a3<b3.

2.(2012·嘉兴模拟)在证明命题“对于任意角θ , cos4θ -sin4θ =cos2θ ”的过程: “cos4θ -sin4θ =(cos2θ +sin2θ )·(cos2θ -sin2θ ) =cos2θ -sin2θ =cos2θ ”中应用了( (A)分析法 (B)综合法 )

(C)分析法和综合法综合使用
(D)间接证法 【解析】选B.从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法.

3.(2012·绍兴模拟)已知m>1,a= m+1- m,b= m- m-1, 则以

下结论正确的是(
(A)a>b (C)a=b

)
(B)a<b (D)a,b大小不定
1 , m+1+ m

【解析】选B.≧ a= m+1- m =
b= m- m-1= 1 , m + m-1

而 m+1+ m> m+ m-1, ?
1 1 < , m+1+ m m + m-1

即a<b.

4.(2012·富阳模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b] 上的两个函数,若对任意x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1成

立,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”,区间
[a,b]称为“密切区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x-3在

[a,b]上是“密切函数”,则其“密切区间”可以是(
(A)[1,4] (C)[3,4] (B)[2,4] (D)[2,3]

)

【解析】选D.由|f(x)-g(x)|=|x2-3x+4-(2x-3)|

=|x2-5x+7|
=| (x- 5 ) 2 + 3 |≤1,
2 4

解得2≤x≤3.


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