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导数学习易错之处探


2009年

‘和田师范专科学校学报》(汉文综合版)

Jul.2009第28卷第三期

总第59期

导数学习易错之处探
谭荣h


(1.新疆师范大学新疆乌鲁术齐83000 2.和田师专计算机科学系新疆和田848000) [摘 要]在教学的学习过程中.如果对定义的理解宵所偏差不够透彻,
所以函数,.(x)在工=l处可导. 在运用导数的定义计算导数或作证叨题时,我们需要运用一些 技巧来得¨-,j钏t-论,但是如果对导数定义中的一些相关量的性质不清 楚,i而只足单纯的运用技巧去拼凑就会导致解题或证明的错误,有 时即使是结论与正确答案相同也是误打误撞的结果,并没有正确的 理论给予支持.

或者不能将定义以及桐应的定理融会贯通.就会影响胛j量f的||i确性.这篇文章列 举了一些体现了这方咖纠趣的题目.并进行-r分析总绐。

[关键词]导数的定义:可导;连续:间断:常量:变量 一、引言
在数学的学习过程中,如果对定义的理解有所偏差,或者不能 将定义以及相应的定理融会贯通,就会造成解题的错误。这篇文章 列举了一些体现了这方面问题的题目,并进行了分析总结.

例如:i嬲J lira匕鱼尘二』堕!』:2f,(o). h
^_o


二、分析原因及例题
在高等数学的学习中,我们知道,函数厂(工)在Xo点可导是函

分析:从等式的右边容易看出,证明这道题的整体思路是利用 导数的定义运用技巧进行拼凑从而得以证明. 下面我们来看~下证明的方法。

J发f(x)在xo点连续的充分非必要条件,即函数f(x)在Xo点可
导一定有函数厂(x)在x。点连续,但足,反之未必一定成立。一个

证删m巡!!二丝虬1.m边!±塑鳘剑 ‘~ 6“h
2h×一1 2

命题的逆否也成立,即,函数厂O)在石n点4i连续.则有函数厂(J)

在xo点不可导?i撇f(x)在xo点司导的充受呆件函数/0)在
xo点的左导数和右导数相等。也{足如果对导数67j定义理解小够透 彻,解题就会出现错误.

:2一型±塑二丝虬2m
h一‘’

2h

这种i一明的方法是错误的,原因在于对于导数定义中的一些相

关量的性质不清楚,导数的定义是:若函数厂@)在xo点的某邻域

例如:判断函数,r“一Jr,J>J在工=1处的可导性和连续 ,I一.J一、 一。 【2x,工s1
性。

内有定义,矗+血也在该邻域内,(其中Ax是自变量的增量),
相对应的函数的增量△少=f(Xo+Ax)一f(xo),若极限

lim型存在,则称函数厂O)在xo点可导?并且就记作
错误的解析:因为f(1)=∥(1)=2,则,函数/(x)在工=l
Ar-+oAx

处可导,进而有“x)在X=l处连续。 以上整个解题过程是错误的。题的正确斛题过程如下:

f'(xo):!‘翌—f(—xo—+—Azx)—-—f一(xo).当然还有其他的记法,这里不 …£1i
赘述了。舀i这个定义中,Xn是定点。是常量,Ax是变量。而在 以J.的证lpJ中.只足单纯地为了凑结论,凑巧的是通过这种单纯的 拼凑最终;套dj了结论.但足这样的id3 1I:i是没自-理论依据的。它的错 误就相:于没有分清导数定义中什么足常量什么是变量.下面我们给 出正确的i难f刿方法。
证I!JI:

解:lim厂(x)=lim2x=2,Iimf(x)=1im.x2=1,
因为lira f(x)≠lim f(x),则函数/O)征J=l处不连续t那 么根据可导与连续的关系,函数f(x1在x=1处/{:可导。 我们知道.一个命题的逆台命题一定成t,:,确函数在某一点处 可导的充要条件也iE确,但是,为什么会有两种艘然,fiIil的结果呢。 原因就足对导数的定义及相应的定理理解不够透彻,函数厂(工1在

lim!』!!竺二』!!尘!:lim!!』!!竺二』!!!!二【』!竺二』!!!验 h‘‘+o h
???o

xo点可导的前提条件是函数,(工)在zo点的某邻域内有定义,函 嚣tf(x)在Xo点可导的充要条件成j:的前提也是函数厂(工)在Xo 点的某邻域内有定义,也就是说函数f(x)满足在xn点处不问断的
前提下,利用该充要条件,可正确地判断函数“x)在工n点的可导 性。否则,片面地利用该充要条件可能会导致舸题的正确性. 下面,我们来看下面一道题。 i7f.x=l处的j,'『导性和连续性? 判断函数f(x):J工‘+l,工>l s 1


:!im(f(3h)-f(O).x3一—f(h)-—f(O)1

;31im—f(3h)-—f(O)一lim—f(h)-—f(O)
^’?o

I-.oL

3h





3h

^。?o



=3f’(o)-f’(O)=2f’(0)

参考文献:.
【I]李心灿.徐兵.高等敌学[M】.高等敦育:H版杜.2002.
【2】jII_-K琏.foj沛仁.数学分析(第四版)[M】.高等教育}Ij版社,2003.
nle eas3'mistake making Absllact:During


derivanves

sludymg

?

【2x,X

通过讨论,我们确定该函数在x=l处可导、j£续。我们可以看 出该函数和上述函数区别微小,但是它们在X=1处的町导性和连续 性截然不同.原因在于lim厂(x)=lim 2x=2,
^一I-’
j_+I‘

stud)‘ing mathemalics.getting devlauon in understanding the defininon.or being not good at combining lhc defimtion with its corresponding theorem.it will make somc barriers for you 10 lhe correctness ofsolving the problems. In thts paper,WC list
some

examples on the

abpegt,and WC

also analyze them

and make

the

summer3'. K毋’words:the

definilton ofderivatives;derivable;consecutive;iioi consec血ve,●

con¥tant:a、anable

!Lmf(x)2 1鲫(x2+1)=2,因为粤im f(x)2 1imf(x),
则有函数厂(工)在x=l处连续,即函数,(x)莉!x=1的某邻域内

作者简介:雌荣(1981一).女.和m师々计算机科学系助教,新疆师
范大学致摩^i息学锭基础‘教学专业2005级硕士研究生.

有定义,又因为,(1)=2?f(1)=2叫。=2,,(1)=f(1),
万方数据
194

收稿日期:2009-01.15

导数学习易错之处探
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 谭荣 新疆师范大学,新疆乌鲁术齐83000;和田师专计算机科学系,新疆和田848000 和田师范专科学校学报 JOURNAL OF HOTAN TEACHERS COLLEGE 2009,28(3) 0次

参考文献(2条) 1.李心灿.徐兵 高等数学 2002 2.刘玉琏.傅沛仁 数学分析 2003

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_htsfgdzkxxxb-hwb200903125.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:ffa3cb38-7dba-46cf-826f-9dce008b3133 下载时间:2010年8月10日


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