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一元二次不等式的解法


课题:一元二次不等式的解法
文登一中数学组王芳 教学目标:掌握一元二次不等式的解法; 教学重点: 一元二次不等式解法; 教学难点:一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三个“二次”间的关系; 教学过程: 一、复习引入 在初中学习二次函数时,我们曾解决过这样的问题:对二次函数 y ? x ? x ? 6 ,
2

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,设 ? ? b 2 ? 4ac ,它的解按照 ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 分为三种情况,
相应地,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象与 x 轴的位置关系也分为三种情况,因此,对 相应的一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集我们也分这三种情况进行讨论. 根据上述方法,请将下表填充完整

a ? 0 , ? ? b 2 ? 4ac

??0
y

??0
y

??0

当 x 为何值时,y=0?当 x 为何值时,y<0?当 x 为何值时,y>0?当时我们又是怎样 解决的呢? 当时我们是通过作出函数的图象,找出图象与 x 轴的交点,通过观察图象来解决的. 二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 的对应值表与图象如下: x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6
y

二次函数

y

y ? ax 2 ? bx ? c
(a>0)的图象

x1

O

x2

x

O x1=x2

x

O

x

一元二次方程
-2 O 1 3 x

ax2 ? bx ? c ? 0
(a>0)的根 一 式

由对应值表与图象可知: 当 x=-2 或 x=3 时,y=0,即 x ? x ? 6 ? 0 ;当-2<x<3 时,y<0,即 x ? x ? 6 ? 0 ;
2 2

元 的 二 解 次 集 不 等

ax2 ? bx ? c ? 0
(a>0)的解集

当 x<-2 或 x>3 时,y>0,即 x 2 ? x ? 6 ? 0 这就是说如果函数 y ? x 2 ? x ? 6 的图象与 x 轴的交点是(-2,0)与(3,0), 那么一元二次方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解就是 x1 ? ?2, x2 ? 3 , 结合二次函数图象得 不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解集是{x|-2<x<3};不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解集是{x|x<-2 或 x>3}.
二、讲解新课 ⒈什么叫做一元二次不等式? ⒉一元二次不等式的解法 由一元二次不等式的一般形式知,任何一个一元二次不等式,最后都可以化为

ax2 ? bx ? c ? 0
(a>0)的解集

2 注:对 ? ? 0 的解的结构可记为: ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的解为“大于大根或小于小根” ;

ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的解为“大于小根且小于大根” 。
3.典型例题: 例 1 解不等式
2x 2 ? 3x ? 2 ? 0

ax2 ? bx ? c ? 0, 或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的形式,而且我们已经知道对于一元二次方程

2 例 2 解不等式 ? 3x ? 6x ? 2

(1) y ? 3x 2 ? 6 x ? 2(2) y ? 25 ? x 2 (3) y ? x 2 ? 6 x ? 10(4) y ? ?3x 2 ? 12x ? 12

2 例 3 解不等式 4x ? 4x ? 1 ? 0

例 4 解不等式

? x 2 ? 2x ? 3 ? 0

2.解下列不等式: (1) 4 x ? 4 x ? 15
2

(2) 13 ? 4 x ? 0
2

(3) x(9 ? x) ? 0

(4) x(1 ? x) ? x(2 x ? 3) ? 1

4.归纳解一元二次不等式的一般步骤是: (1) 对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零; (2) 计算相应的判别式 (3) 当 ? ? 0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4) 根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集。 5.课堂练习: (1) 解下列不等式: (1) 3x 2 ? 7 x ? 2 ? 0 (3) 4x 2 ? 4x ? 1 ? 0 (2) ? 6x 2 ? x ? 2 ? 0 (4) x 2 ? 3x ? 5 ? 0

(2) x 是什么实数时, x 2 ? x ?12 有意义? (3) m 是什么实数时,关于 x 的一元二次方程 mx ? (1 ? m) x ? m ? 0 没有实数根?
2

6.课后作业: 1.自变量 x 在什么范围内取值时,下列函数的值等于 0?大于 0?小于 0?


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