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3.1.1变化率问题_图文

3.1.1 变化率问题

新课讲授
问题1 气球膨胀率
我们知道,气球的体积V(单位:L) 与半径r(单位:dm) 之间的函数关系是 4 3 V (r ) ? ? r 3 如果将半径r变为体积V的函数,那么
r (V ) ? 3 3V 4?

新课讲授
问题1 气球膨胀率
当空气容量V从0增加到1L时, 气球半径增加了多少? r (1) ? r (0) ? 0.62(dm )

气球的平均膨胀率为多少? r (1) ? r (0) ? 0.62(dm/L ) 1? 0

新课讲授
问题1 气球膨胀率
类似地,当空气容量V从1L增加到2L时, 气球半径增加了多少? r ( 2) ? r (1) ? 0.16(dm )

气球的平均膨胀率为多少? r ( 2) ? r (1) ? 0.16(dm/L ) 2?1

新课讲授
思考
当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率为多少? 气球的平均膨胀率是:
r (V2 ) ? r (V1 ) ? V2 ? V1
3

3V2 3V1 ? 4? 4? V2 ? V1

新课讲授
问题2 高台跳水
人们发现,在高台跳水运动中,运动员 相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的 时间t(单位:s) 存在函数关系
h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

在0≤t≤0.5这段时间里,平均速度是
h(0.5) ? h(0) v? ? 4.05(m/s ) 0.5 ? 0

新课讲授
问题2 高台跳水
人们发现,在高台跳水运动中,运动员 相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的 时间t(单位:s) 存在函数关系
h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

在1≤t≤2这段时间里,平均速度是
h( 2) ? h(1) v? ? ?8.2(m/s ) 2?1

新课讲授
问题2 高台跳水 探究
平均速度,并思考下面的问题:
65 这段时间里的 计算运动员在 0 ? t ? 49

(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗?
平均速度不能准确的描述物体的运动状态,它是表示物体在 时间间隔△t内的平均快慢程度。

新课讲授
平均变化率定义
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 对于函数y=f(x),则 x2 ? x1 称为函数从y=f(x)从x1到x2的平均变化率.

习惯上用?x表示x2-x1,即?x=x2-x1. (即x1+?x代替x2),类似地, ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ). ?y 于是,平均变化率可以表示为 . ?x

新课讲授
思考
观察函数y=f(x)的 y 图象,平均变化率 f ( x2 )
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1 表示什么?

y ? f (x )
x2 ? x1

f ( x1 )

f ( x2 ) ? f ( x1 )

O x1

x2 x

例题讲解

例1. 求函数 y ? x 在x ? 1,2,3附近的平均变化率,
2

1 取?x都为 ,哪一点附近平均变化 率最大? 3

课堂练习

1 2 1. 已知自由落体运动为 ? gt , 求 : S 2 (1) 物体从 t ? 0 s 到 t ? 1 s 这段时间的平均速度 ; ( 2) 物体从 t 0 到 t 0 ? ?t 这段时间的平均速度 .

课堂练习
2. 经过曲线 f ( x ) ? x ? 1上A、B两点
2

作割线,求割线的斜率 .

(1) x A ? 1,x B ? 2 ; ( 2) x A ? 1,x B ? 1.5 .

课堂练习
3. 国家环保总局对长期超标准排放污物,污染 严重而又未进行治理的单位,规定出一定期限, 强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保 总局在规定的排污达标日期前,对甲、乙两家 企业连续检测的结果(W表示排污量),哪个 企业治理的效率比较高? y 为什么? 甲:W1(t)
标准 乙:W2(t)

O

t1

t0

x

课堂小结
平均变化率定义:
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y 或 . x2 ? x1 ?x

课后作业

随堂作业:3.1.1变化率的问题.


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