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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:空间向量及其运算


空间向量及其运算
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012?德州模拟)已知空间四边形 OABC 中,点 M 在线段 OA 上,且 OM=2MA,点 N 为 BC 的 中点,设 OA =a, OB =b, OC =c,则 MN 等于( 1 1 2 (A) a+ b- c 2 2 3 1 2 1 (C) a- b+ c 2 3 2 2 1 1 (B)- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 ( D) a+ b- c 3 3 2 )

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)

15 2.已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b=(3,λ , )平行,则 λ =( 2 2 (A) 3 9 9 (B) (C)- 2 2 2 (D)- 3

3.(2012?汕头模拟)已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λ b),则实数 λ 的值为 ( ) 14 (C) 5 (D)2

14 (A)-2 (B)- 3

4.(2012?淄博模拟)设 A、 B、 C、 D 是空间不共面的四个点, 且满足 AB ? AC =0,AD ? AC =0, AD ? AB =0,则△BCD 的形状是( (A)钝角三角形 (B)直角三角形

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)

(C)锐角三角形 (D)无法确定 5.已知四面体 ABCD,O 为△BCD 内一点(如图),则 AO =

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? ???? ? ??? 1 ??? ( AB + AC + AD )是 O 为△BCD 重心的( 3
(A)充分不必要条件 (B)必要不 充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

)

6.(2012?青岛模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AC1 上且

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???? ? ???? ? 1 ????? AM = MC1 ,N 为 B1B 的中点,则| MN |为(
2 (A) 21 6 (B) 6 6 (C) 15 6 (D) 15 3

)

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

7.在空间四边形 ABCD 中, AB ? CD + BC ? AD + CA ? BD =

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.

8.(2012?威海模拟)A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),这四个点 __ ________(填“共面”或“不共面”). 9.(易错题)空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°, ∠OAB=60°,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.已知 a= (1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得 OE ⊥b?(O 为原点) 11.如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且 两两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. 【探究创新】 (16 分)在棱长为 1 的正四面体 OABC 中, 若 P 是底面 ABC 上的一点, 求|OP|的最 小值. .

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答案解析

???? ? ???? ???? ? 1 ??? ? ??? ? 2 ???? 1 1 2 1.【解析】选 B. MN = ON - OM = ( OB + OC )- OA = b+ c- a. 2 3 2 2 3
【变式备选】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 E 为上底面 A1C 1 的中心, 若 AE = AA1 +x AB +y AD ,则 x、y 的值分别为( 1 (A)x=1,y=1 (B)x=1,y= 2 1 1 (C)x= ,y= 2 2 【解析】选 C. 如图, AE = AA1 + A1E 1 (D)x= ,y=1 2

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????? 1 ????? ? ????? = AA1 + A1C1 = AA1 + 2
? ???? 1 ??? ( AB + AD ), 2
1 1 所以 x= ,y= . 2 2 2 -3 5 9 2.【解析】选 C.由 a∥b 得, = = ,解得λ =- . 3 λ 15 2 2 3.【解析】选 D.∵a=(-2,1,3),b=(-1,2,1), ∴a-λ b=(λ -2,1-2λ ,3-λ ),由 a⊥(a-λ b)得-2(λ -2)+1-2λ +9-3λ =0? λ =2,选 D. 4.【解题指南】通过 BC ? BD , DB ? DC , CB ? CD 的符号判断△BCD 各内角的大小, 进而确定出三角形的形状. 【解析】选 C. BC ? BD =( AC - AB )?( AD - AB ) = AC ? AD - AC ? AB - AB ? AD + AB = AB >0, 同理 DB ? DC >0, CB ? CD >0.故△BCD 为锐角三角形.

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???? ??? ? ??? ? ? ??? ? 2 1 ??? ? ??? ??? ? 5.【解析】选 C.若 O 是△BCD 的重心,则 AO = AB + BO = AB + ? ( BD + BC )= AB 3 2 ? ? ??? ? ???? ? ??? ??? ? 1 ???? ??? ? ??? ? ? ??? 1 ??? 1 ??? + ( BD + BC )= AB + ( AD - AB + AC - AB )= ( AB + AC + AD ), 3 3 3 ???? 1 ??? ? ???? ? ??? 若 AO = ( AB + AC + AD ), 3
则 AO - AB + AO - AC + AO - AD =0, 即 BO + CO + DO =0. 设 BC 的中点为 P,则-2 OP + DO =0, ∴ DO =-2 PO ,即 O 为△BCD 的重心. 6.【解析】选 A.设 AB =a,

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????? ???? AD =b, AA1 =c,则 a?b=b?c=c?a=0.
由条件知 MN = MA + AB + BN

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1 1 =- (a+b+c)+a+ c 3 2 2 1 1 = a- b+ c 3 3 6

???? ? 2 4 2 1 2 1 2 21 ∴ MN = a + b + c = , 9 9 36 36
∴| MN |=

???? ?

21 . 6

7.【解析】设 AB =b, AC =c, AD =d, 则 CD =d-c, BD =d-b, BC =c-b. 原式=b?(d-c)+d?(c-b)-c?(d-b)=0. 答案:0 8.【解析】 AB =(3,4,5), AC =(1,2,2), AD =(9,14,16),设 AD =x AB +y AC . 即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),
? ?x=2 ∴? ?y=3 ?

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,所以 A、B、C、D 四点共 面.

答案:共面 9.【解析】由题意知 AO ? BC = AO ? ( AC - AB )= AO ? AC - AO ? AB =8?4?cos45°-8?6?cos60° =16 2-24. ∴cos〈 AO , BC 〉=

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AO― →?BC― → 16 2-24 2 2-3 = = . |AO― →||BC― →| 8?5 5

3-2 2 ∴OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5 3-2 2 答案: 5 【误区警示】本题常误认为〈 AO , BC 〉即为 OA 与 BC 所成的角. 【变式备选】 已知点 A(1,2,1), B(-1,3,4), D(1,1,1), 若 AP =2 PB , 则| PD |的值是 【解析】设 P(x,y,z),则 AP =(x-1,y-2,z-1),

????

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.

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??? ? PB = (-1-x,3-y,4-z ), ??? ? ??? ? 1 8 由 AP =2 PB 知 x=- ,y= ,z=3, 3 3

1 8 故 P(- , ,3). 3 3 由两点间距离公式可得| PD |= 答案: 77 3

??? ?

77 . 3

10.【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|= 0 +(-5) +5 =5 2. (2)令 AE =t AB (t∈R),所以 OE = OA + AE = OA +t AB =(-3,-1,4)+t(1,-1, -2)=(-3+t,-1-t,4-2t), 若 OE ⊥b,则 OE ?b=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0, 9 解得 t= . 5
2 2 2

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??? ? 6 14 2 因此存在点 E,使得 OE ⊥b,此时 E 点的坐标为(- ,- , ). 5 5 5
【变式备选】已知 b 与 a=(2,-1,2)共线,且满足 a?b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求 b 及 k 的值. 【解析】∵a,b 共线, ∴存在实数λ ,使 b=λ a. ∴a?b=λ a =λ |a| =λ ( 2 +(-1) +2 ) =18, 解得λ =2. ∴b=(4,-2,4).
[ ]

2

2

2

2

2

2

∵(ka+b)⊥(ka-b), ∴(ka+b)?(ka-b)=0, ∴(ka+2a)?(ka-2a)=(k -4)|a| =0, ∴k=±2. 11.【解题指南】选 AB 、 AD 、 AA1 为基向量,利用数量积解题. 【解析】设 AB =a, AD =b, AA1 =c,则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 1 ∴a?b=b?c=c?a= . 2
2 2

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(1)| AC1 | =(a+b+c)
2 2 2 2

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2

=a +b +c +2a?b+2b?c+2a?c 1 1 1 =1+1+1+2?( + + )=6. 2 2 2 ∴AC1=| AC1 |= 6. (2) BD1 =b+c-a, AC =a+ b. ∴| BD1 |= 2,| AC |= 3.

???? ?

???? ? ???? ?

??? ?

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???? ? ??? ? BD1 ? AC =(b+c-a)?(a+b)
=b -a +a?c+b?c= 1. ∴cos〈 BD1 , AC 〉=
2 2

???? ?

??? ?

6 . 6 6 . 6

∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为

【方法技巧】用向 量法解题的常见类型及常用方法 1.常见类型 利用向量 可解决空间中的平行、垂直、长 度、夹角等问题. 2.常用的解题方法 (1)基向量法 先选择一组基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根据向量的运算解题; (2)坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标,根据向量的坐标运算解题即可. 【探究创新】 【解题指南】向量 OA , OB , OC 的模均为 1,其夹角都是 60°,故选取 OA , OB , OC 当基底,利用向量的运算求| OP |的最小值. 【解析】设 OA =a, OB =b, OC =c, 由题意,知|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∵点 P 在平面 ABC 上, ∴存在实数 x, y,z,

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使 OP =xa+yb+zc,且 x+y+z=1, ∴ OP =(xa+yb+zc)
2 2 2

??? ?

??? ?2

2

=x +y +z +2xya?b+2yzb?c+2xza?c =x +y +z +xy+yz+zx =(x+y+z) -(xy+yz+zx) =1-(xy+yz+zx) ∵1=(x+y+z) =x +y +z +2xy+2yz+ 2zx 1 2 2 2 2 2 2 = [(x +y )+(y +z )+ (z +x )]+2xy+2yz+2zx 2 1 ≥ (2xy+2yz+2zx)+2xy+2yz+2zx 2 1 =3(xy+yz+zx),∴xy+yz+zx≤ , 3 1 当且仅当 x=y=z= 时“=”成立. 3
2 2 2 2 2 2 2 2

??? ?2 1 2 ∴ OP ≥1- = , 3 3
∴| OP |≥

??? ?

2 6 = , 3 3 6 . 3

∴|OP|的最小值为


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