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2013年全国高中数学联合竞赛试题


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 个小题,每小题 8 分,共 64 分。 1.设集合 A={2,0,1,3},集合 B={x|-x∈A,2-x??A},则集合 B 中所有 元素的和为 。 ,

2.在平面直角坐标系 xOy 中, A、 在抛物线 y?=4x 上, 点 B 满足 F 是抛物线的焦点,则 。

3. 在 △ ABC 中 , 已 知 sinA=10sinBsinC , cosA=10cosBcosC , 则 tanA= 。 ,则其内切球半径

4. 已 知 正 三 棱 锥 P-ABC 底 面 边 长 为 1 , 高 为 为 。 5.设 a,b 为实数,函数 则 ab 的最大值为 。

满足:对任意 x∈[0,1],有



6.从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率 为 。 7.若实数 x,y 满足 8.已知数列{ 均有 }共有 9 项,其中 ,则这样的数列的个数为 。 ,且对每个 i∈{1,2,…,8}, 。

二、解答题:本大题共 3 题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 9. ( 本 题 满 分 16 分 ) 给 定 正 数 数 列 。 满 足

证明:存在常数 C>0,使得

10. ( 本 题 满 分 20 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 的 方 程 为

分别为椭圆的左右顶点,

分别为椭圆的左

右焦点,P 为椭圆上不同于

的任意一点。若平面中两个点 Q、R 满足 ,试确定线段 QR 的长度与 b 的大

小关系,并给出证明。 11.(本题满分 20 分)设函数 使得对任意实数 ,求所有的正实数对(a,b) ,

2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、 (本题满分 40 分)如图,AB 是圆 O 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E、 F 为线段 AB 上两点,满足 AE=EF=FB,连接 PE、PF 并延长,与圆 O 分别相交 于点 C、D。求证:EF·CD=AC·BD

P A E F O D B

C
二 、 本 题 满 分 40 分 ) 给 定 正 整 数 u 、 v , 数 列 ( 定义如下:



证明:数列

中有无穷多项是完全平方数。

三、 (本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题,n 个学生参加,其中 m,n ≥2 为给定的整数。每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每 个答对该题的学生得 x 分,未答对的学生得零分,每个学生的总分为其 m 道题 的得分总和,将所有学生总分从高到低排列为 大值。 ,求 的最

四、 (本题满分 50 分)设 n,k 为大于 1 的整数,

。证明:存在 2k

个不被 n 整除的整数,若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除。


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