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概率论 模拟题(二)及答案


上 海 金 融 学 院
_概率论与数理统计(理工)模拟题二 概率论与数理统计(理工)模拟题二 课程代码:13330075_考试形式: 时间: 课程代码:13330075_考试形式:闭卷 时间: 120 分钟 只能使用简单计算器(无存储功能 无存储功能) 考试时 只能使用简单计算器 无存储功能







一、单项选择题(共5题,每题2分,共计10分) 单项选择题 选择 1. 设当事件 C 发生时 A 与 B 同时发生, 则 ( ). (B) AB = C ; (A) A ∪ B 是 C 的子事件; (C) C 是 AB 的子事件; (D) C 是 AB 的子事件. 2. 设事件 A = {甲种产品是次品, 乙种产品是正品}, 则 A 的对立事件为 ( (A) 甲种产品是正品,乙种产品是次品; (B) 甲种产品是正品; (C) 甲、乙两种产品均是正品; (D) 甲种产品是正品或者乙种产品是次品. 3. 设 X 为随机变量,且 E ( X ) = 0.5, D ( X ) = 0.2, 则 式一定成立: A. P{0 < X < 1} ≥ 0.8 C. P{0 < X < 1} ≥ 0.2 B. P{ X > 2} ≥ 0.6 D. P{0 < X < 2} ≤ 0.6

).

4. 设 X 1 , X 2 ,? , X n (n > 1) 是来自总体 X ( ? , σ 2 ) 的一个样本, ? , σ 2 (σ > 0) 未知,则 下面的式子是统计量的是 。 A. C.
X1

σ
n

B. X 1
2 i

∑?X
i =1

D.

X

σ

5. 设总体 X 的 k 阶矩 ?k = E ( X k ) 已知, 又设 X 1 , X 2 ,? , X n (n > 1) 是来自总体 X 的一 个样本,期望值 ? 已知,则下列估计量中,唯有 是 ?k 的无偏估计。 A. C.
1 n k ∑ Xi n ? 1 i =1 1 n k ∑ Xi n i =1

B. D.

1 n ∑ ( X i ? ? )2 n ? 1 i =1 1 n ∑ ( X i ? ? )2 n + 1 i =1

二、填空题(共15个空,每空2分,共计30分) 填空题 1.全班 42 人,其中男生(以 A 表示)23 人;女生(以 A 表示)19 人。选学日语的 学生(以 B 表示)25 人,未选学日语的学生(以 B 表示)中有女生 7 人,则 (1) P ( A) = ; (2) P ( B ) = ; (3) P ( AB ) =
Φ(0) =

;

(4) P( AB ) = ; P{| X |< 3} =


.

2.若 X ? N (?3, 4) 已知 Φ(1) = 0.8413, Φ (3) = 0.9987 ,则 ; P{X>-5}=
; P{ X = 0} = ;

P{ X = ?3} =

x ? 1 ?2 ? e , x > 0, ,则 E ( X ) = 3.随机变量X的密度函数为 f ( x) = ? 2 ?0, x ≤ 0. ?

; D( X ) =



4.若 X ? N (3,5), Y ? N (4, 6) 且X,Y相互独立, Z = 2 X ? 3Y ,则
E (Z ) =

; D( Z ) =


; D( χ 2 ) = 。

5.若 χ 2 ? χ 2 (100) ,则有 E ( χ 2 ) =

三、解答题(共2题,每题5分,共计10分) 解答题 1. 从 6 双不同的手套中任取 4 只,求 (1) 所取的 4 只没有成双的概率; (2)所取的 4 只恰有 2 只成双的概率 2. 某工厂一个班共有男工 7 人、女工 4 人,现要选出 3 个代表,问选的 3 个代表中 至少有 1 个女工的概率是多少? 四、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

? 2e 4 ? 2 x ? y , x ≥ 1且y ≥ 2, f ( x, y ) = ? 其他. ?0, 3 ? ? (1)求概率 P ?1 ≤ X ≤ ,1 ≤ Y ≤ 3? ; 2 ? ? (2)求 ( X , Y ) 关于 X ,关于 Y 的边缘概率密度.

五、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题 随机变量X的概率密度函数为

? xe ? x , x > 0, f X ( x) = ? , 0, x≤0 ?
而随机变量 Y 在 (0, X ) 内服从均匀分布。求: (1) X , Y 的联合概率密度函数 f ( x, y ) ; (2) 关于 Y 的边缘概率密度函数 fY ( y ) ; 六、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题 设随机变量 X 的概率分布为 1 P{ X = n} = n , n = 1,2,3, ? 2 ?π ? 求 Y = sin ? X ? 的数学期望及方差。 ?2 ? 七、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题 某市保险公司开办“重大人参意外伤害” (以下简称“大伤” )保险业务。被保险人 每年向保险公司交保险金120元。 若被保险人在一年内发生了 (一次或多次) 大伤” “ , 本人或其家属可从保险公司获得一次(仅一次)3万元的赔偿金。该市历年发生“大 伤”的概率为0.0003,且该市现有9万人参加此项保险。求保险公司在一年内,从 此项业务中至少获得954万元收益的概率。 Φ(2.90) = 0.9981 ) ( 。 八、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题

?θ 2 xe ?θ x , x ≥ 0, θ > 0 , X 1 , X 2 ,? , X n 是来 设总体 X 的概率密度函数为 f ( x; θ ) = ? 0, x < 0, ? 自 X 的一个样本, x1 , x2 ,? , xn 是样本 X1 , X 2 ,? , X n 的一样本值。求:参数 θ 的矩估
计量及最大似然估计量

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_概率论与数理统计(理工)模拟题二 概率论与数理统计(理工)模拟题二 课程代码:13330075_考试形式: 时间: 课程代码:13330075_考试形式:闭卷 时间: 120 分钟 只能使用简单计算器(无存储功能 无存储功能) 考试时 只能使用简单计算器 无存储功能


题 次


四 10 五 10 六 10


七 10 八 10 九 十
总分

一 10

二 30

三 10

应得分 实得分 阅卷教 师签名

100





一、选择题(共5题,每题2分,共计10分) 选择题 1. ;2. ; 3. ;4. ;5. 。





二、填空题(共15个空,每空2分,共计30分) 填空题 1. ; ; ; ; Φ(0) = ; P ( X > 0) = ;5. , 。 。 ; 。 2. ? (0) =

P ( X = 0) =

; P ( X < 0) = ;4. ,

3.

,





三、解答题(共2题,每题5分,共计10分) 解答题
1.

2.





四、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题





五、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题





六、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题





七、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题





八、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题

上 海 金 融 学 院
_概率论与数理统计(理工)模拟题二 概率论与数理统计( 模拟题二 课程代码:13330075_考试形式: 时间: 课程代码:13330075_考试形式:闭卷 时间: 120 分钟 注:本课程所用教材,教材名:_ 本课程所用教材,教材名: 概率论与数理统计 __

主编: 盛骤,谢式千,潘承毅__ 出版社: 版次:第四版____ 主编:_盛骤,谢式千,潘承毅__ 出版社:高等教育出版社 版次:第四版____

答案及评分标准
一、选择题(共5题,每题2分,共计10分) 选择题 1.C ;2.D ; 3.C ;4.B;5. C 二、填空题(共15个空,每空2分,共计30分) 填空题 1.
19 25 12 2 10 5 ; ; = ; = ; 42 42 42 7 42 21

1 2. Φ(0) = ; P{ X > ?5} = Φ (1) = 0.8413; P{| X |< 3} = Φ(3) ? Φ (0) = 0.4987; ; 2
P{ X = ?3} = 0; P{ X = 0} = 0

3.

2 ,

4

;4.

-6

, 74 ;5.

100 , 200 。

三、解答题(共2题,每题5分,共计10分) 解答题
4 1. 从 6 双中任取 4 只共有 C12 种不同取法。………………(1 分) (1)记 A={所取的 4 只没有成双}。由于使所取 4 只没有成双,应从 6 双中任取 4 4 1 1 1 1 双,再从这 4 双的每双中任取 1 只,这样的不同取法共有 C 6 C 2 C 2 C 2 C 2 种,所以
1 1 1 1 C64C2C2C2C2 16 = 。…………………………(2 分) 4 C12 33 (2)记 B={所取的 4 只恰有 2 只成双}。由于所取 4 只恰有 2 只成双,应先从 6 双 中任取 1 双,剩下的 5 双中任取 2 双,再从这 2 双中各取 1 只,这样的不同取法共 1 1 1 有 C 6 C 52 C 2 C 2 ,所以

P ( A) =

P( B) =

1 1 1 C 6 C 52 C 2 C 2 16 = 。………………………(2 分) 4 33 C12

2. 设事件 A={3 个代表中至少有一个女工},则 A ={3 个代表全为男工}。

………………………(1分) 因为
P ( A) =
3 C7 7 = , 3 C11 33

……………………………(2 分)

所以

P ( A) = 1 ? P ( A) = 1 ?

7 26 = 。 33 33

………………………………(2 分)

四、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题 ? ? 3 (1) 因 为 区 域 ?( x, y ) 1 ≤ X ≤ ,1 ≤ Y ≤ 3? 与 f ( x, y ) 取 非 零 区 域 的 公 共 部 分 为 2 ? ? ? ? 3 ?( x, y ) 1 ≤ X ≤ ,2 ≤ Y ≤ 3? ,所以,……………………(1 分) 2 ? ?
3 3 ? ? ? ? P ?1 ≤ X ≤ ,1 ≤ Y ≤ 3? = P ?1 ≤ X ≤ ,2 ≤ Y ≤ 3? 2 2 ? ? ? ? 3 ? ? 3 = 2e 4 ? ∫ 2 e ?2 x dx ? ∫ e? y dy = (1 ? e ?1 ) 2 。……(3 分) 1 2 ? ? (2) ( X , Y ) 关于 X 的概率密度为

(

)

f X ( x) = ∫

+∞ ?∞

? +∞ 2e 4 ? 2 x ? y dy, x ≥ 1, ? f ( x, y )dy = ? ∫ 2 ?0, 其他 ?

?2e 2? 2 x , x > 1, =? 其他. ?0, ( X , Y ) 关于Y 的概率密度为 fY ( y ) = ∫
+∞ ?∞

………………(3 分)

? +∞ 2e4 ? 2 x ? y dx, y ≥ 2, ? f ( x, y )dx = ? ∫ 1 ?0, 其他 ? ?e 2? y , =? ?0, y ≥ 2, 其他. ………………(3 分)

五、解答题(共 1 题,每题 10 分,共计 10 分) 解答题 解:(1) 因为在 X = x( x > 0) 的条件下,Y 在 (0, x) 内服从均匀分布,所以,

?1 ? , fY | X ( y | X = x ) = ? x ?0, ?

0< y< x 其他.

………………………(1分)

因此,可用公式 f X ( x)i fY | X ( y | x) = f ( x, y ) 求 f ( x, y ) 。 ………(1分) 当 x ≤ 0 或 y ≤ 0 时,显然 f ( x, y ) = 0 ;…………………………(1分) 当 x > 0 且 y > 0 时,

f ( x, y ) = f X ( x ) f Y | X ( y | x ) ?1 ?x ? , 0 < y < x , ?e , 0 < y < x , = xe i? x =? 其他. ?0, ?0, 其他. ?
?x

……(2分)

? e ? x , 0 < y < x, 因此, X , Y 的联合概率密度为 f ( x, y ) = ? 其他. ?0,
(2) fY ( y ) = ∫
+∞ ?∞

(1分)

? +∞ e ? x dx, ? f ( x, y )dx = ? ∫ y ?0, ?

y > 0,

?e ? y , =? y ≤ 0 ?0,

y > 0, y≤0

(4分)

六、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题

因为 X 的取值为正整数,所以 值为 ? 1,0,1 。 所以, Y 的概率分布为

π
2

X 的取值为

π

?π ? 的正整数倍,从而 Y = sin ? X ? 的取 2 ?2 ?

……………(1分)
Y ?1 1
P

0 2 15 8 15 1 3

……………(3 分) 由此得到,
E (Y ) = ?1 × 2 1 8 2 + 0 × + 1 × = ; ………………(2分) 15 3 15 5 2 1 8 2 + 0 2 × + 12 × = ,………(2分) 15 3 15 3
2 2

E (Y 2 ) = (?1) 2 ×

因此,

2 ?2? 38 D(Y ) = E (Y ) ? [ E (Y )] = ? ? ? = 。………(2 分) 3 ?5? 75
2

七、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题 设 9 万名被保险人在一年内获得赔偿金的人数为 X, X ~ b(90000, 0.0003), (2 分) 则 保险公司一年内从此项业务得到的收益为 0.012 × 90000 ? 3 X = 1080 ? 3 X (万元) ………………(2 分)

依题意,应求概率为 P{1080 ? 3X ≥ 954} = P { X ≤ 42} ………………(2 分) 由棣莫弗-拉普拉斯定理得 42 ? 90000 × 0.0003 ? ? X ? 90000 × 0.0003 P { X ≤ 42} = P ? ≤ ? 90000 × 0.0003 × 0.9997 ? ? 90000 × 0.0003 × 0.9997 42 ? 27 ≈ Φ( ) ≈ Φ (2.90) ≈ 0.9981 26.9919 ………………(3 分) 即保险公司一年内从此项业务中至少获得收益 954 万元的概率达到 0.9981. ………………(1 分) 八、解答题(共1题,每题10分,共计10分) 解答题 解: (1) 由于
+∞ 0 +∞ 0

E( X ) = ∫

θ 2 x 2e ?θ x dx = ∫
+∞ 0

θ x 2e ?θ x d (θ x)
…………(3分)

= ?θ ∫

θ x 2 de?θ x
| ?∫
+∞ 0

= ?[θ x e =?
即 E( X ) =
2

2 ?θ x +∞ 0 +∞ 0

2θ xdx] 2

θ∫

2

θ 2 xe?θ x dx =

θ

θ

。由此得 θ =

2 。于是有据估计法得 E( X ) ? θ= 2 X
n

…………………(2分)

(2)似然函数为
L(θ ) = L( x1 , x2 ,? , xn ;θ ) = ∏ θ 2 xi e ?θ xi
i =1

= θ 2 n (∏ xi )e
i =1

n



∑ xi
i =1

n

(3分)
, xi ≥ 0, i = 1, 2,? , n

ln L(θ ) = 2nL(θ ) + ∑ ln xi ? θ ∑ xi .
i =1 i =1

n

n

d ln L(θ )

θ
令 2n

=
n

2n

θ

? ∑ xi .
i =1

n

θ

? ∑ xi = 0 ,得到 θ 的最大似然估计量为
i =1

? θ=

2 X

…………………(2分)


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