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高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教a选修1_1_图文

3.3.3

函数的最大(小)值与导数

1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系. 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.

1

2

1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的 曲线,那么它必有最大值和最小值. 归纳总结 1.一个函数在闭区间上连续,一定有最大值和最小值, 但不一定有极值.如f(x)=x,x∈[a,b]. 2.一个函数在闭区间上连续,则只有一个最大值和最小值,但可以 有多个极值. 3.最值可能是某个极值,也可能是区间端点处的函数值.

1

2

2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最 大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

1

2

【做一做1】 给出下列四个命题: ①若函数f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值一定是[a,b]上的 极大值; ②若函数f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值一定是[a,b]上的 极小值; ③若函数f(x)在[a,b]上有最值,则最值一定在x=a或x=b处取得; ④若函数f(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内必有最大值与最小值. 其中真命题共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

1

2

解析:
① × 当函数在闭区间上的最值在端点处取得时,其最值一定不是 ② × 极值 函数在闭区间上的最值可以在端点处取得,也可以在内部取 ③× 得 ④ × 单调函数在开区间(a,b)内无最值

答案:A

1

2

【做一做2】 给出下列四个命题:

①函数 y=tan x在 ③函数 y=x(x-2)在

π π -2,2 1 ,2 2

内有最值; 内只有最大值, 没有最小值;

②函数 y=sin x 在[0,π]上既有最大值,又有最小值;
④函数y=2x在(-∞,0)内无最值. 其中是真命题的是 .(填序号)

1

2

解析:分别作出四个函数的图象:

由图象可知命题②④是真命题. 答案:②④

1

2

【做一做3】 求函数f(x)=x3-4x2-3x在区间[1,4]上的最大值和最小 值. 解:f'(x)=3x2-8x-3. 1 令 f'(x)=3x2-8x-3=0,则 x=? 或x=3. 3 f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:

x f'(x) f(x)

1 -6

(1,3) ↘

3 0 -18

(3,4) + ↗

4 -12

故f(x)在区间[1,4]上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6.

1.函数最值与极值的区别和联系 剖析如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否 是函数取得最大值和最小值的点. (1)在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如 1 f ( x ) = 函数 在(0,+∞)内连续,但没有最大值与最小值. (2)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和 最小值是一个整体性概念.函数的最值是比较某个闭区间内的函数 值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的. (3)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值 与最小值的充分条件而非必要条件.

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数 的极值可能不止一个,也可能没有. (5)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的 未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在 端点处取得时必定是极值. 2.求最值的方法 剖析利用导数法求最值,实质是通过比较某些特殊的函数值得到 最值,因此,我们可以在导数法求最值的思路的基础上进行变通.令 f'(x)=0得到方程的根x1,x2,…,直接求得函数值f(x1),f(x2),…,然后与端 点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然把导数法 与函数的单调性相结合,也可以求最值.

题型一

题型二

题型三

题型一

利用导数求函数的最值

【例 1】 求下列函数的最值: (1)f(x)=-x3+3x,x∈[? 3, 3]; (2)f(x)=-x3+2x2+3,x∈[-3,2].

分析使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较.

解:(1)f'(x)=-3x2+3. 令 f'(x)=-3(x2-1)=0,得 x=± 1, f(1)=2,f(-1)=-2,f(? 3) = 0, ( 3) = 0. 故 f(x)的最大值为 2,最小值为-2. (2)f'(x)=-3x2+4x, 由 f'(x)=x(4-3x)=0,得 x=0 或 x=
4 . 3

题型一

题型二

题型三

当x变化时,f'(x)及f(x)的变化情况如下表:

x f'(x) f(x)

-3

(-3,0) -

0 0 + 3 ↗

4 0, 3

0

4 3

48 ↘

113 ↘ 27

-

4 ,2 3

2

3

故当x=-3时,f(x)取最大值48; 当x=0或x=2时,f(x)取最小值3. 反思 1.求闭区间上可导函数的最值时,可不再判断函数的极值是极 大值还是极小值,只需要把极值直接与端点的函数值比较即可获得. 2.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值.

题型一

题型二

题型三

【变式训练 1】 求下列函数的最值: (1)f(x)=ln x-x,x∈(0,e]; (2)f(x)= 3 3 ? 4 + 4, ∈[0,3].
1

题型一

题型二

题型三

解:(1)f'(x)= ? 1 =

1

1- , 由f'(x)>0,得

x<1.

∴f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,e]内单调递减, ∴x=1 时,f(x)取最大值 f(1)=-1. ∵x→0 时,f(x)→-∞, ∴f(x)没有最小值. (2)∵f(x)= 3 ? 4 + 4, ∴f'(x)=x2-4. 令 f'(x)=0,得 x1=-2,x2=2.
4 ∵f(2)=? , (0) 3 1 3

= 4, (3) = 1,
4 4,最小值为 ? 3.

∴函数 f(x)在[0,3]上的最大值为

题型一

题型二

题型三

题型二

由函数的最值求参数

【例2】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+c在[-1,2]上的最大值为3,最小值 为-29,求a,c的值. 分析因为f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),所以f'(x)的符号与a有关,从而 影响到函数何时取到最大值和最小值,因此本题需要对a进行分类 讨论.

题型一

题型二

题型三

解:显然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去). (1)当a>0,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x f'(x) f(x)

-1 -7a+c

(-1,0) + ↗

0 (0,2) 0 c ↘

2 -16a+c

所以当x=0时,函数f(x)取得最大值, 所以c=3. 因为f(2)=-16a+c,f(-1)=-7a+c, 所以f(-1)>f(2). 故当x=2时,函数f(x)取得最小值, 即-16a+3=-29,解得a=2.

题型一

题型二

题型三

(2)当a<0,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x f'(x) f(x)

-1 -7a+c

(-1,0) ↘

0 (0,2) 0 + c ↗

2 -16a+c

所以当x=0时,函数f(x)取得最小值, 所以c=-29. 因为f(2)=-16a+c,f(-1)=-7a+c, 所以f(-1)<f(2), 故当x=2时,函数f(x)取得最大值, 即-16a-29=3,解得a=-2. 综上所述,a=2,c=3或a=-2,c=-29.

题型一

题型二

题型三

反思 解决本题时,可以综合地运用求解函数的最大(小)值的方法 确定参数a,c的值.解题的关键在于对函数中的参数a进行讨论,确定 函数的极值以及最大(小)值在哪一点处取得.而且当x0为闭区间上 的唯一极值点时,则由极大(小)值点可进一步断定x0为该区间上函 数的最大(小)值点.

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求 k的取值范围. 解:(1)f'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b, (1) = + 1 = , 由已知可得 (1) = 1 + = , 解得a=b=3. 2 = 3 + ,

题型一

题型二

题型三

(2)f(x)=3x2+1,g(x)=x3-9x, h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1, h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1, 当x变化时,h'(x)及h(x)的变化情况如下表:

x h'(x) h(x)

(-∞,-3) + ↗

-3 0 28

(-3,1) ↘

1

(1,+∞)

0 + -4 ↗

当x=-3时,取极大值28; 当x=1时,取极小值-4. 而h(2)=3<h(-3)=28, 若h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3.

题型一

题型二

题型三

题型三

与函数最值有关的恒成立问题

【例3】 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求f(x)的最小值h(t); (2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围. 分析(1)利用二次函数求h(t);(2)h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立等价 于g(t)=h(t)+2t-m<0对t∈(0,2)恒成立,所以,只需求出g(t)的最大值, 令g(t)max<0,可求出m的取值范围.

题型一

题型二

题型三

解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0), ∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1, 即h(t)=-t3+t-1. (2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1,t=-1(不合题意,舍去). 当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:

t g'(t) g(t)

(0,1) + ↗

1 0 1-m

(1,2) ↘

题型一

题型二

题型三

∴对t∈(0,2),当t=1时,g(t)max=1-m, h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立, 也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立, 只需g(t)max=1-m<0,即m>1. 故实数m的取值范围是(1,+∞). 反思 1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地, 可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成 立?λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参数函 数的最值即可. 2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等 号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】 已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围. 解:(1)f'(x)=3x2-2ax+b. ∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值, ∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.

2 -1 + 3 = , 3 ∴ = 3, ∴ = -9. -1 × 3 = , 3

题型一

题型二

题型三

(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c, f'(x)=3x2-6x-9. 当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化如下表:

x f'(x) f(x)

(-∞,-1) + ↗

-1 0 c+5

(-1,3) ↘

3 0 c-27

(3,+∞) + ↗

而f(-2)=c-2,f(6)=c+54, ∴当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54, 要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可. 当c≥0时,c+54<2c,解得c>54; 当c<0时,c+54<-2c,解得c<-18. ∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞),此即为参数c的取值范围.


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