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2019高三一轮总复习文科数学:1-2命题及其关系、充分条件与必要条件_图文

2019高三一轮总复习
数 学(文)
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌

必修部分
第一章 集合与常用逻辑用语
第二节 命题及其关系、充分条件与必要 条件



考情分析 1



3 考点疑难突破



基础自主梳理 2

航 4 课时跟踪检测

1

考情分析

考点分布

考纲要求

考点频率

命题趋势

1.命题及 其关系
2.充分条 件与必要 条件

1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的 命题及其逆命题、否命题与逆 否命题,会分析四种命题的相 互关系. 3.理解必要条件、充分条件 与充要条件的意义.,

5年10考 5年30考

高考对命题及其关系、充分 条件与必要条件的考查,多 与其他数学知识相结合.备 考中,在弄清命题的四种形 式、充分条件、必要条件等 概念的基础上,更重要的是 加强对相关数学知识的学习 与理解,同时注意“列举反 例”方法的训练.

2

基础自主梳理

1.命题

「基础知识填一填」
使用语言、符号或者式子表达的, 概念 可以判断 真假 的陈述句 特点 (1)能判断真假;(2)陈述句 分类 _真__命题、_假__命题

2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于 逆否命题 ,原命题的否命 题等价于 逆命题 .在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4 .

3.充要条件

「应用提示研一研」 1.辨明两个易误点 (1)否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是 只否定命题的结论. (2)注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(A?B 且 B A),与 A 的充分不必要条件 是 B(B?A 且 A B)两者的不同.

2.充要条件常用的两种判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:利用 A?B 与綈 B?綈 A,B?A 与綈 A?綈 B,A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.

「基础小题练一练」 1.设 p:1<x<2,q:2x>1,则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由 2x>1,得 x>0,所以 p?q,但 q p,所以 p 是 q 的充分不必要条件, 故选 A. 答案:A

2.设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题是( ) A.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0 解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件, 所以其逆否命题为“若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0”.
答案:D

3.命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( ) A.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 C.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 解析:依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”, 注意“都是”的否定为“不都是”,所以原命题的逆否命题应为“若 x+y 不是偶数, 则 x 与 y 不都是偶数”,故选 D.
答案:D

4.设 a,b∈R,若 p:a<b,q:1b<1a<0,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由题意得,当b1<a1<0,则 a<b<0;当 a<b 时,不一定有1b<1a<0,如 a <0<b,此时1a<0<1b,所以 p 是 q 的必要不充分条件,故选 B.
答案:B

5.有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中真命题为________(填写所有真命题的序号).

解析:①的逆命题为“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”该命题显然正确;②的否命 题是“面积不相等的三角形不全等”该结论正确;③当 m≤1 时,Δ=4-4m≥0,方 程 x2-2x+m=0 有实数解,故该命题正确,其逆否命题正确;由于 A∩B=B,则 B ?A,故④错误.
答案:①②③

3

考点疑难突破

四种命题及其关系

[题 组 训 练]

1.(2017 年全国卷Ⅰ)设有下面四个命题

p1:若复数 z 满足1z∈R,则 z∈R;

p2:若复数 z 满足 z2∈R,则 z∈R; p3:若复数 z1,z2 满足 z1z2∈R,则 z1=-z 2;

p4:若复数 z∈R,则 z ∈R.

其中的真命题为( )

A.p1,p3 C.p2,p3

B.p1,p4 D.p2,p4

解析:设复数 z=a+bi(a,b∈R). p1:1z=a+1 bi=a2+a b2-a2+b b2i∈R, 则 b=0,∴z∈R,真命题; p2:z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi∈R,则 2ab=0,所以 a=0 或 b=0.所以 z 为实数 或纯虚数,假命题; p3:设 z1=-2+i,z2=2+i,则 z1z2∈R,但 z1≠ z2 ,假命题; p4:z∈R,所以 b=0,∴-z ∈R,真命题. 故选 B. 答案:B

2.(2018 届湖南长沙第一次质检)命题“若 a2<b,则- b<a< b”的逆否命题为 ()
A.若 a2≥b,则 a≥ b或 a≤- b B.若 a2>b,则 a> b或 a<- b C.若 a≥ b或 a≤- b,则 a2≥b D.若 a> b或 a<- b,则 a2>b
解析:因为“a2<b”的否定为“a2≥b”,“- b<a< b”的否定为“a≥ b或 a≤ - b”,所以逆否命题为“若 a≥ b或 a≤- b,则 a2≥b”.
答案:C

3.(2017 年北京卷)能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c” 是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为________.
解析:要使该命题为假命题,只需证 a>b>c 时,a+b≤c(a,b,c∈R)为真命题, 所以 c<b<a<0.不妨取 a=-2,b=-3,c=-4(不唯一),经检验,符合题意.
答案:-2,-3,-4(答案不唯一)

(1)写一个命题的其他三种命题时,需注意 ①对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写为“若 p,则 q”的形式. ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举 出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质, 当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.

充分必要条件的判定
[典 例 导 引] (1)(2017 年北京卷)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 λ,使得 m=λn” 是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2017 年天津卷)设 θ∈R,则“????θ-1π2????<1π2”是“sinθ<12”的(

)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 (1)∵存在负数 λ,使得 m=λn,∴非零向量 m 与 n 方向相反,∴m·n <0.
∵m·n<0,即|m|·|n|cos〈m,n〉<0, ∴cos〈m,n〉<0,∴m 与 n 的夹角为钝角或平角,不一定有 m 与 n 反向,故 选 A.

(2)∵????θ-1π2????<1π2,∴0<θ<π6, ∴0<sinθ<21,即充分性成立; 而 sinθ<12时,θ 可以为 2π+1π2, 此时????θ-1π2????=????2π+1π2-1π2????=2π>1π2,

∴必要性不成立. ∴“????θ-1π2????<1π2”是“sinθ<12”的充分而不必要条件.故选 A.
【答案】 (1)A (2)A

充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法:根据 p?q,q?p 两种情况是否成立,进行判断,此时应明确以下三 点:一要分清条件与结论分别是什么;二要从充分性、必要性两个方面进行判断;三 直接判断有困难时,可举反例判断 (2)集合法:根据 p,q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把命题转化为其逆否命 题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的命题.

[自 主 演 练] 1.(2017 年浙江卷)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是 “S4+S6>2S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若 S4+S6>2S5, 则 S4+S4+a5+a6>S4+a5+S4+a5; ∴a6>a5,∴d>0,必要性成立; 若 d>0,则 a6>a5, ∴S4+S6>2S5,充分性成立. 故“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.
答案:C

2.(2017 届河北衡水中学第三次调研)△ABC 中,“角 A,B,C 成等差数列”是 “sinC=( 3cosA+sinA)cosB”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由角 A,B,C 成等差数列,得 B=π3;由 sinC=( 3cosA+sinA)cosB,得 sin(A+B)=( 3cosA+sinA)cosB,化简得 cosAsin????B-π3????=0,所以 A=π2或 B=π3,所以 “角 A,B,C 成等差数列”是“sinC=( 3cosA+sinA)cosB”的充分不必要条件,故 选 A.
答案:A

充分必要条件的应用

[典 例 导 引]

(1)(2017 届皖北第一次联考)已知 p:x≥k,q:x+3 1<1,如果 p 是 q 的

充分不必要条件,则实数 k 的取值范围是( )

A.[2,+∞)

B.(2,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,-1)

(2)(2017 届山东日照模拟)已知条件 p:2x2-3x+1≤0,条件 q:x2-(2a+1)x+

a(a+1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是________.

【解析】 (1)∵x+3 1<1,∴x+3 1-1=2x+-1x<0,即(x-2)(x+1)>0,∴x>2 或

x<-1,∵p 是 q 的充分不必要条件,∴k>2.

(2)解法一:由 2x2-3x+1≤0,得21≤x≤1,

∴p 为?????x????12≤x≤1

??
?.
??

由 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得 a≤x≤a+1,

∴q 为{x|a≤x≤a+1}.

綈 p 对应的集合 A=?????x????x>1或x<12

???,
??

綈 q 对应的集合 B={x|x>a+1 或 x<a}.

∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴a+1≥1 且 a≤21,∴0≤a≤12. 即实数 a 的取值范围是????0,12????.

解法二:∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,

∴根据原命题与逆否命题等价,得 p 是 q 的充分不必要条件.

由解法一知 p:P=?????x????12≤x≤1

???,q:Q={x|a≤x≤a+1},
??

∴p?q,q

p即P

Q????a≤12, ??a+1≥1,

∴0≤a≤12.

∴实数 a 的取值范围是????0,12????.

【答案】 (1)B (2)????0,12????

根据充要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关 系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集 合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处 理不当容易出现漏解或增解的现象.

[自 主 演 练] 1.已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)·(x-3)<0,且 q 是 p 的充分条件,则 a 的取 值范围为________. 解析:设 q,p 表示的范围为集合 A,B, 则 A=(2,3),B=(a-4,a+4). 因为 q 是 p 的充分条件,则有 A?B, 则?????aa- +44≤ ≥23, , 所以-1≤a≤6. 答案:-1≤a≤6

2.已知“命题 p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题 q:x2+3x-4<0”成立的必要不 充分条件,则实数 m 的取值范围为________.
解析:命题 p:x>m+3 或 x<m, 命题 q:-4<x<1. 因为 p 是 q 成立的必要不充分条件, 所以 m+3≤-4 或 m≥1, 故 m≤-7 或 m≥1. 答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)

4

课时跟踪检测

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