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江苏省响水中学高中数学 第二章《分段函数与值域的求法》导学案 苏教版必修1

江苏省响水中学高中数学 第二章《分段函数与值域的求法》导学案 苏教版必修 1

1.根据函数图象或基本函数的性质计算函数的值域. 2.通过具体实例,了解分段函数的概念和意义,会求分段函数的值,绘制分段函数的图象 和求分段函数的值域. 3.掌握一些基本函数图象的变换、培养分析问题和解决问题的能力.

从 A 地到 B 地首先经过一段路程为 5 km 的下坡路,再经过一段路程为 4 km 的上坡路, 最后经过一段路程为 10 km 的平路,某同学骑自行车从 A 地到 B 地,下坡路的骑车速度为 30 km/h,上坡路的骑车速度 12 km/h,平路的骑车速度为 20 km/h,则该同学骑车从 A 地到 B 地的 行驶时间 t(h)关于行驶的路程 S(km)的函数关系式为 S=S(t).

问题 1:(1)该同学下坡路的行驶时间为 h,上坡路的行驶时间为 路的行驶时间为 h,从 A 地到 B 地总共所用的时间为 h. (2) 当 0≤t≤ 时 ,S(t)= ; 当 <t≤ 时 ,S(t)=

h,平

; 当 <t≤1

时,S(t)=

;所以 S(t)=

图象如下:

问题 2:分段函数如何定义? 分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的 不同,这种 函数称为分段函数.分段函数是 函数,其定义域是各段自变量取值集合的 , 其值域是各段函数值集合的 . 问题 3:函数图象一般有平移变换、 对称变换与翻折变换三种形式,它们的变换规则是怎

1

样的? (1)平移变换 ①将函数 y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位可 得函数 ②将函数 y=f(x)的图象向右平移 a(a>0)个单位可得函数 ③将函数 y=f(x)的图象向上平移 b(b>0)个单位可得函数 ④将函数 y=f(x)的图象向下平移 b(b>0)个单位可得函数 简记为“ ”. (2)对称变换 ①函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关 于 对称; ②函数 y=f(x)与函数 y=- f(x)的图象关于 对称; ③函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于 对称. (3)翻折变换 ① 函 数 y=f(|x|) 的 图 象 可 y=f(x) ; ② 函 数 y=|f(x)| 的 图 象 可 y=f(x) .

的图象; 的图象; 的图象; 的图象.

以 以

将 将

函 函

数 数

1.已知函数 f(x)=4x -3,x∈{-1,0,1 },则它的值域为 2.下列函数 中的 f(x)与 g(x)是相等函数的序号是

2

. .

①f(x)= x,g(x)=( ②f(x)=x2,g(x)= ;

) ;

2

③f(x)=1,g(x)=x0 ; ④f(x)=|x|,g(x)=

3.设函数 f(x)=

则 f(-4)=

,又知 f(x0)=8,则 x0=

.

4.作出函数 y=2x -4x-3(0≤x<3)的图象,并根据图象求出函数的值域.

2

2

分段函数的求值问题 已知函数 f(x)=

(1)求 f(1-

),f(f(f(-2)))的值;

(2)求 f(3x-1)的解析式; (3)若 f(a)= ,求 a 的值.

求函数的值域 (1)求函数 y=2x+1(x∈{1,2,3,4,5})的值域. (2)求函数 y= 的值域.

(3)求函数 y=

的最大值.

分段函数的应用 某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售;同时,当顾客在该商场内消 费满一定金额后,按如下方案相应获得第二次优惠: 消费金额 [200,40 [400,50 [500,70 [700,90 (元)的范 ? 0) 0) 0) 0) 围 第二次优 惠金额 30 60 100 150 ? (元)

3

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如:购买标价为 600 元的商 品,则消费金额为 480 元,480∈[400,500),所以获得第二次优惠金额为 60 元,获得的优惠总 额为:600×0.2+60=180(元).设购买商品的优惠率=

.

试问:(1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率为多少? (2)设顾客购买标价为 x 元(x∈[250,1000])的商品获得的优惠总额为 y 元,试建立 y 关 于 x 的函数关系式.

设函数 f(x)=

若 f(a)=4,则实数 a=

.

求下列函数的值域. (1)y=

+3; .

(2)y=

某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地运行到 260 km 远处的 B 地,在 B 地停留 1.5 h 后,再以 65 km/h 的速度返回 A 地,试将汽车离开 A 地后行驶的路程 s 表示为时间 t 的函数.

1.已知函数 f(x)=

则 f(f(-7))=

.

2.关于函数 f(x)= :①f(x)在定义域内单调递减;②f(x)在 x∈(-1,0)上有最大值为-1;③当

x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)时,f(x)的值域为[-1,0)∪(0, 1],其中说法正确的是
3.函数 y= 的定义域为

.

.

4

4.作出函数 y=

的图象,并求其值域.

(2012 年·江西卷)设函数 f(x)=

则 f(f(3))等于(

).

A.

B.3

C.

D.

考题变式(我来改编):

第 3 课时 分段函数与值域的求法 知识体系梳理 问题 1:(1) 1

(2)30t 12t+3 20t-1 问题 2:解析式 一个 并集 并集 问题 3:(1)①y=f(x+a) ②y= f(x-a) ③y=f(x)+b 加(+)下减(-) (2)①y 轴 ②x 轴 ③原点 (3)①保留 y 轴右边的图象,并复制右边部分翻折到 y 轴左边(去掉 y 轴左边部分)得到

④y=f(x)-b 左加(+)右减(-),上

②位于 x 轴下方的图象翻折到 x 轴的上方,并保留 x 轴上方的部分得到
基础学习交流

5

1.{1,-3} 因为 f( -1)=1,f(0)=-3,f(1)=1,所以函数的值域为{1,-3}. 2.④ ①②③选项中 f(x)的定义域为 R,而①选项中 g(x)的定义域为[0,+∞),②③选项中

g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).只有④选项相同.
3.18 或 4 由于-4<2,所以 f(-4)=(-4) +2=18.
2

若 f(x0)=8,则 +2=8(x0≤2)或 2x0=8(x0>2), 分别解得 x0=或 x0=4.

4.解:∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线 y=2(x-1) -5 介于[0,3)之间的一段弧,如图所 示. 由图象可以看出,函数在[0,3)上的值域为[-5,3). 重点难点探究 探究一:【解析】(1)∵1-

2

=1-(

+1)=-

<-1,

∴f(1-

)=f(-

)=-2

+3;

∵f(-2)=-1,f(f(-2))=f(-1)=2, ∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+ = .

(2)当 3x-1>1,即 x> 时,f(3x-1)=1+

=

;

当-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ 时,f(3x-1)=(3x-1) +1=9x -6x+2; 当 3x-1<-1,即 x<0 时,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1. 综上,f(3x-1)=

2

2

(3)当 a>1 时,f(a)=1+ = ,∴a=2>1;

6

当-1≤a≤1 时,f(a)=a +1= ,∴a=± ∈[-1,1];

2

当 a<-1 时,f(a)=2a+3= ,∴a=- >-1(舍去).

综上,a=2 或 a=± . 【小结】 求分段函数值的方法:先确定要求值的自变量属于哪个区间,然后代入该段的解 析式求值;已知函数值求字母取值的步骤:(1)对字母的取值范围进行分类讨论;(2)代入到不 同的解析式中;(3)通过解方程求出字母的值;(4)检验所求值是否在所讨论的区间内. 探究二:【解析】(1)将自变量 x 的值逐一代入,计算可得 y∈{3,5,7,9,11}. (2)因为 y=

=

≥1,

所以函数的值域为[1,+∞). (3)画出函数 f(x)的图象(如图):

由图象可知,当 x=1 时,f(x)取最大值,最大值为 f(1)=4,故函数 f(x)的最大值为 4. 【小结】求分段函数的最值有两种方法:

①分别求出各段上的最值,再比较即得函数的最大、最小值.(本题(3)也可用此法) ②画出分段函数的图象,观察图象的最高点与最低点,并分别求其纵坐标即得函数的最
大、最小值. 探究三:【解析】(1)标价为 1000 元的商品消费金额为 800 元,获得奖券 150 元,优惠额 为 350 元,所以优惠率为 0.35. (2)y= 【小结】(1)求分段函数的解析式,应注意“先分后合”,根据不同区间写出相应函数的 解析式,最 后再合并.注意分段函数是一个函数 ,而不是几个函数 .(2)分段函数是实际问题 中常用的一种函数模型. 思维拓展应用 应用一:-4 或 2 当 a≤0 时,由-a=4,得 a=-4; 当 a>0 时,由 a =4,得 a=2(a=-2 舍去). 综上 a=-4 或 2. 应用二:(1)∵ ≥0,∴
2

+3≥3,

7

∴函数的值域为[3,+∞).
(2)∵x ≥0,∴x +1≥1,∴0<
2 2

≤1.

∴0<y≤2,即函数的值域为(0,2].
应用三:因为 260÷52=5(h),260÷65=4(h), 所以,当 0≤t≤5 时,s=52t; 当 5<t≤6.5 时,s=260; 当 6.5<t≤10.5 时,s=260+65(t-6.5)=65t-162.5. 所以 s = 基础智能检测 1.100 ∵f(-7)=10,∴f(f(-7))=f(10)=100. 2.③ ①f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减,∴①不对;②f(x)在 x∈(-1,0)时单调递减, 而 f(x)在 x=-1 时无定义,故无最大值,∴②不对;③显然正确. 3.(-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞). 每段函数自变量的取值范围的并集是分段函数的定义域,即

4.解:当 0<x<1 时,y= 的图象是双曲线的一部分.当 x≥1 时,图象为直线 y=x 的一部分. 如图所示,由此可知,函数的值域为[1,+∞). 全新视角拓展 D

f(3)= ,f(f(3))=( )2+1= .

思维导图构建 解析式

8


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