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贵州省贵阳一中2017届高三(上)第四次月考数学试卷(文科)(解析版)


2016-2017 学年贵州省贵阳一中高三(上)第四次月考数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的 元素共有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 2.已知 i 为虚数单位,复数 z=(1+2i)i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的结果是( )

A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1)=4, 则 g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.下列命题错误的是( ) 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” B.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 C.命题 p:存在 x0∈R,使得 x02+x0+1<0,则?p:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0 D.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件 6.已知 a、b 为直线,α、β 为平面.在下列四个命题中, ①若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β; ④若 α∥b,β∥b,则 α∥β. 正确命题的个数是( ) A.1 B.3 C.2 D.0 7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )
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A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.由增加的长度决定 ) (ω>0)与 g(x)=2cos(2x﹣ )的对称轴完全相同, )

8.若函数 f(x)=2sin(ωx+ 则函数 f(x)=2sin(ωx+ A.[0, ] B.[0,

) (ω>0)在[0,π]上的递增区间是 ( ] C.[ ,π] D.[ ,π] )

9.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.

C.40

D.80 )

10.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 B.4 C. D.

11.设 F1、F2 分别为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的

左顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐过线于 M,N 两点,且满足∠MAN=120°,则 该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. )

12.设函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,若对任意 x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立,则( A.f(ln2015)<2015f(0) B.f(ln2015)=2015f(0) C.f(ln2015)>2015f(0) D.f(ln2015)与 2015f(0)的大小关系不确定 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 = =2, ? =﹣2,则 与 的夹角为 .

14.在半径为 1 的圆上随机地取两点,连成一条线,则其长超过圆内接等边三角形的边长的 概率是 . 15.已知不等式 是 .
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对任意 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值范围

16.在平面直角坐标系中,若不等式组 积等于 2,则 z=(x+1)2+(y+1)2 的最小值为

(a 为常数)所表示的平面区域的面



三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 =1﹣ ,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn.

18.某市为缓解春运期间的交通压力,计划在某路段实施“交通限行”,为了解公众对该路段 “交通限行”的态度,某机构从经过该路段的人员随机抽查了 50 人进行调查,将调查情况进 行整理,制成下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 5 10 15 10 5 5 频数 4 8 9 6 4 3 赞成人数 (1)完成被调查人员的频率分布直方图; (2)若从年龄在[65,75]的被调查者中随机选取 2 人进行进一步的采访,求选中的 2 人中 恰好有 1 人赞成该路段“交通限行”的概率.

19.如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,D 为 PC 的中点,E 为 PB 的中 点. (Ⅰ)求证:BC∥平面 ADE; (Ⅱ)若 PA=AB=BC=2,求三棱锥 A﹣BDE 的体积.

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20.已知椭圆 C:

的两个焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点 P 在

椭圆上,且△PF1F2 的周长为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(2,1) ,不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点为 M,点 P 到直线 l 的距离为 d,且 M,O,P 三点共线.求 最大值. 21.已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a∈R) (1)求 f(x)的单调区间; (2)若对任意的 a∈(﹣3,﹣2) ,x1,x2∈[1,3], (m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2) |成立,求实数 m 的取值范围. 选做题【请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分】. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1. (Ⅰ)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长. 的

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知 曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设对于任意实数 x,不等式|x+7|+|x﹣1|≥m 恒成立. (1)求 m 的取值范围; (2)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式:|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12. ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

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2015-2016 学年贵州省贵阳一中高三(上)第四次月考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的 元素共有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据交集含义取 A、B 的公共元素写出 A∩B,再根据补集的含义求解. 【解答】解:A∪B={3,4,5,7,8,9}, A∩B={4,7,9}∴?U(A∩B)={3,5,8}故选 A. 也可用摩根律:?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB) 故选 A 2.已知 i 为虚数单位,复数 z=(1+2i)i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简 z,求得 的坐标得答案. 【解答】解:∵z=(1+2i)i=i+2i2=﹣2+i, ∴z 的共轭复数对应的点的坐标是(﹣2,﹣1) ,在第三象限. 故选:C. 3.执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的结果是( ) )

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A.5

B.6

C.7

D.8

【考点】程序框图. 【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果,直到满足条件 n>117 时,确定输出 i 的值. 【解答】解:由程序框图知:程序第一次运行 n=12﹣4=8,i=1+1=2; 第二次运行 n=4×8+1=33,i=2+1=3; 第三次运行 n=33﹣4=29,i=3+1=4; 第四次运行 n=4×29+1=117,i=4+1=5; 第五次运行 n=117﹣4=113,i=5+1=6; 第六次运行 n=113×4+1=452,i=6+1=7. 此时满足条件 n>117,输出 i=7. 故选:C. 4.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1)=4, 则 g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】由 f(x) 、g(x)的奇偶性可得关于 f(1) 、g(1)的方程组,消掉 f(1)即可求 得 g(1) . 【解答】解:由 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数得,﹣f(1)+g(1)=2①,f(1)+g(1) =4②, 由①②消掉 f(1)得 g(1)=3, 故选 B. 5.下列命题错误的是(
2

) A.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” B.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 C.命题 p:存在 x0∈R,使得 x02+x0+1<0,则?p:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0 D.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件 【考点】复合命题的真假. 【分析】由逆否命题的定义,我们易判断 A 的正误,根据复合命题的真值表,我们易判断 B 的真假;根据特称命题的否定方法,我们易判断 C 的对错;根据充要条件的定义,我们易 判断 D 的正误. 【解答】解:根据逆否命题的定义,命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1, 则 x2﹣3x+2≠0”故 A 正确; 若 p∧q 为假命题,则 p、q 至少存在一个假命题,但 p、q 不一定均为假命题,故 B 错误; 命题 p:存在 x0∈R,使得 x02+x0+1<0 的否定为:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0,故 C 正确; ∵x>2? x2﹣3x+2>0 为真命题,x2﹣3x+2>0?x<1 或 x>2? x>2 为假命题, 故“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件,故 D 正确. 故选 B 6.已知 a、b 为直线,α、β 为平面.在下列四个命题中, ①若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β; ④若 α∥b,β∥b,则 α∥β. 正确命题的个数是( )
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A.1

B.3

C.2

D.0

【考点】平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真; 由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假; 由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真; 对于④,可以举反例排除. 【解答】解:由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真; 由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假; 由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真; 在长方体中可以找到不满足要求的平面和直线,易知④假, 故选 C. 7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 【考点】余弦定理. 【分析】先设出原来的三边为 a、b、c 且 c2=a2+b2,以及增加同样的长度为 x,得到新的三 角形的三边为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,所以所对的角最大,然后根据余弦定理判 断出余弦值为正数,所以最大角为锐角,得到三角形为锐角三角形. 【解答】解:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c2=a2+b2,c 为最大边; 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 而(a+x)2+(b+x)2﹣(c+x)2=x2+2(a+b﹣c)x>0, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= 那么它为锐角三角形. 故选 A >0,则为锐角, )

8.若函数 f(x)=2sin(ωx+ 则函数 f(x)=2sin(ωx+ A.[0, ] B.[0,

) (ω>0)与 g(x)=2cos(2x﹣

)的对称轴完全相同, )

) (ω>0)在[0,π]上的递增区间是 ( ] C.[ ,π] D.[ ,π]

【考点】正弦函数的图象. 【分析】求出函数 g(x)的对称轴,然后求出 ω 的值,利用三角函数的单调性进行求解即 可. 【解答】解:由 2x﹣ =kπ 得 x= + , + , ,

即函数 f(x)的对称轴为 x= 由 ωx+ 则 ω=2, =kπ+ 得 x=

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即 f(x)=2sin(2x+ 由 2kπ﹣ 得 kπ﹣ ≤2x+

) , ≤2kπ+ ,k∈Z,

≤x≤kπ+

,k∈Z,

∵x∈[0,π], ∴当 k=0 时,﹣ 即 0≤x≤ , ], ≤x≤ ,

则函数 f(x)在[0,π]上的递增区间是[0, 故选:A

9.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.40

D.80

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥, 结合直观图判断棱锥的高及底面相关线段 的长,把数据代入棱锥的体积公式计算. 【解答】解:由三视图知:几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥,如图:

其中 SA⊥平面 ABCD,SA=4,底面 ABCD 为直角梯形,且 AD=4,BC=1,AB=4, ∴几何体的体积 V= × 故选:A. 10.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是(
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×4×4=





A.3

B.4

C.

D.

【考点】基本不等式. 【分析】首先分析题目由已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小值,猜想到基本不 等式的用法,利用 代入已知条件,化简为函数求最值. 【解答】解:考察基本不等式 整理得(x+2y)2+4(x+2y)﹣32≥0 即(x+2y﹣4) (x+2y+8)≥0,又 x+2y>0, x 2y 4 所以 + ≥ 故选 B. ,

11.设 F1、F2 分别为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的

左顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐过线于 M,N 两点,且满足∠MAN=120°,则 该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先求出 M,N 的坐标,再利用余弦定理,求出 a,c 之间的关系,即可得出双曲线 的离心率. 【解答】解:不妨设圆与 y= x 相交且点 M 的坐标为(x0,y0) (x0>0) ,则 N 点的坐标为 (﹣x0,﹣y0) , 联立 y0= x0, 得 M(a,b) ,N(﹣a,﹣b) , ?bcos

2 2 2 0) 又A (﹣a, 且∠MAN=120°, 所以由余弦定理得 4c2= (a+a) +b +b ﹣2

120°, 化简得 7a2=3c2,求得 e= 故选 A. 12.设函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,若对任意 x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立,则( A.f(ln2015)<2015f(0) B.f(ln2015)=2015f(0) C.f(ln2015)>2015f(0) D.f(ln2015)与 2015f(0)的大小关系不确定 【考点】导数的运算. = 【分析】 构造函数 g (x) , 利用导数可判断 g (x) 的单调性, 由单调性可得 g (ln2015) ) .

与 g(0)的大小关系,整理即可得到答案.

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【解答】解:令 g(x)=

,则 g′(x)=



因为对任意 x∈R 都有 f′(x)>f(x) , 所以 g′(x)>0,即 g(x)在 R 上单调递增, 又 ln2015>0,所以 g(ln2015)>g(0) ,即 所以 f(ln2015)>2015f(0) , 故选:C. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 = =2, ? =﹣2,则 与 的夹角为 . > ,

【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【分析】利用向量的运算律将向量的等式展开,利用向量的平方等于向量模的平方,求出两 个向量的数量积;利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦,求出夹角. 【解答】解:设两个向量的夹角为 θ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为

14.在半径为 1 的圆上随机地取两点,连成一条线,则其长超过圆内接等边三角形的边长的 概率是 .

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】记事件 A={弦长超过圆内接等边三角形的边长},考查圆周和弧 CD,测度为弧长, 运用几何概型的计算公式,即可得到所求概率. 【解答】解:记事件 A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}, 如图,取圆内接等边三角形 BCD 的顶点 B 为弦的一个端点, 当另一点在劣弧 CD 上时,|BE|>|BC|, 而弧 CD 的长度是圆周长的三分之一, 所以可用几何概型求解, 有 P(A)= .

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故答案为: .

15.已知不等式

对任意 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值范围是

﹣3<m<5 . 【考点】指数函数综合题. 【分析】 根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立, 利用一元二次不等 式恒成立转化为对应判别式△<0,解不等式即可得到结论. 【解答】解:不等式等价为 即 x2+x<2x2﹣mx+m+4 恒成立, ∴x2﹣(m+1)x+m+4>0 恒成立, 即△=(m+1)2﹣4(m+4)<0, 即 m2﹣2m﹣15<0, 解得﹣3<m<5, 故答案为:﹣3<m<5. ,

16.在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域的面

积等于 2,则 z=(x+1)2+(y+1)2 的最小值为



【考点】简单线性规划. 【分析】由题意分 a<0、a≥0 画出图形,可知当 a<0 时,不等式组所表示的平面区域是一 个无限的角形区域,面积不可能为 2;当 a≥0 时,由 z=(x+1)2+(y+1)2 的几何意义,即 可行域内的动点与定点(﹣1,﹣1)的距离的平方得答案. 【解答】解:当 a<0 时,不等式组所表示的平面区域,如图甲中的 M,一个无限的角形区 域,面积不可能为 2,故只能 a≥0; 此时不等式组所表示的平面区域如图乙中的 N, 区域为三角形区域, 若这个三角形的面积为 2,则 AB=4,即点 B 的坐标为(1,4) y=ax 1 a=3 ,代入 + ,得 , z=(x+1)2+(y+1)2 的最小值即平面区域 N 中的点到(﹣1,﹣1)距离的平方的最小值, 由点到直线的距离公式可得: (﹣1,﹣1)到直线 x+y﹣1=0 的距离 d= .
第 11 页(共 20 页)





故答案为: .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 =1﹣ ,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列递推式;等差数列的前 n 项和;数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 S4=4S2,a2n=2an+1 得到关于 a1 与 d 的方程组,解之即可求得数列{an}的通项公式; an=2n﹣1, (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 继而可求得 bn= n∈N*, , 于是 Tn= + + +… + ,

利用错位相减法即可求得 Tn. 【解答】解: (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 S4=4S2,a2n=2an+1 得: , 解得 a1=1,d=2. ∴an=2n﹣1,n∈N*. (Ⅱ)由已知 + +…+ =1﹣ ,n∈N*,得:

当 n=1 时,

= ,

当 n≥2 时,

=(1﹣

)﹣(1﹣

)=

,显然,n=1 时符合.



=

,n∈N*

第 12 页(共 20 页)

由(Ⅰ)知,an=2n﹣1,n∈N*. ∴bn= ,n∈N*.

又 Tn= +

+

+…+



∴ Tn=

+

+…+

+



两式相减得:

Tn= +(

+

+…+

)﹣

= ﹣



∴Tn=3﹣



18.某市为缓解春运期间的交通压力,计划在某路段实施“交通限行”,为了解公众对该路段 “交通限行”的态度,某机构从经过该路段的人员随机抽查了 50 人进行调查,将调查情况进 行整理,制成下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 5 10 15 10 5 5 频数 4 8 9 6 4 3 赞成人数 (1)完成被调查人员的频率分布直方图; (2)若从年龄在[65,75]的被调查者中随机选取 2 人进行进一步的采访,求选中的 2 人中 恰好有 1 人赞成该路段“交通限行”的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (1)由各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,知图中各组的纵坐标分别 是:0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01,由此能作出被调查人员年龄的频率分布直方图. (2)由(1)可得,年龄在[65,75)的 5 名被调查者中赞成与不赞成“交通限行”的人数, 分别记为:A1、A2、A3、B1、B2,列举从 5 人中任取 2 人的全部情况,分析可得其中恰有 一人不赞成“交通限行”的情况数目,由等可能事件概率公式,计算可得答案
第 13 页(共 20 页)

【解答】解: (1)由题中表格可知,各组的频率分别为 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 所以被调查人员年龄的频率分布直方图为: (2)年龄在[65,75]的 5 名被调查者中,有 3 人赞成该路段“交通限行”,分别记为 A1,A2, A3,其余 2 人分别记为 B1,B2,从 5 名被调查者中任取 2 人,总的情形有:A1A2、A1A3、 A2A3、A1B1、A1B2、A2B1、 A2B2、A3B1、A3B2、B1B2 共 10 种,其中恰好有 1 人赞成该路段“交通限行”的情形有 A1B1、 A1B2、A2B1、 A2B2、 A3B1、 A3B2 共 6 种, 则选中的 2 人中恰有 1 人赞成该路段“交通限行”的概率

19.如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,D 为 PC 的中点,E 为 PB 的中 点. (Ⅰ)求证:BC∥平面 ADE; (Ⅱ)若 PA=AB=BC=2,求三棱锥 A﹣BDE 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I)由中位线定理得出 DE∥BC,故而 BC∥平面 ADE; (II)证明 BC⊥平面 PAB,得出 DE⊥平面 PAB,于是 VA﹣BDE=VD﹣ABE= S△ABE?DE. 【解答】证明: (Ⅰ)∵D 为 PC 的中点,E 为 PB 的中点, ∴DE 为△PBC 的中位线,∴DE∥BC, ∵DE? 平面 ADE,BC?平面 ADE, ∴BC∥平面 ADE. 解: (Ⅱ)∵PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴PA⊥BC,又 BC⊥AB,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB, 由(Ⅰ)可知 DE∥BC, ∴DE⊥平面 PAB,
第 14 页(共 20 页)

∵PA=AB=2,E 是 PB 的中点, ∴S△ABE= S△PAB= 又∵DE= BC=1. ∴VA﹣BDE=VD﹣ABE= ×1×1= . =1,

20.已知椭圆 C:

的两个焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点 P 在

椭圆上,且△PF1F2 的周长为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(2,1) ,不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点为 M,点 P 到直线 l 的距离为 d,且 M,O,P 三点共线.求 的

最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (I)利用椭圆的定义和焦距的定义可得 2c=2,2a+2c=6.解得 a,c,再利用 b2=a2 ﹣c2 解出即可; (II)设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) .与椭圆的方程联立,得到判别式△>0 及根与系 数的关系,由中点坐标公式得到中点 M 的坐标,利用 M,O,P 三点共线,得到 kOM=kOP, 解得 k,再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2 及 d2,利用二次函数的单调 性即可得出最值 【解答】解: (I)由题意得 2c=2,2a+2c=6. 解得 a=2,c=1, 又 b2=a2﹣c2=3, 所以椭圆 C 的方程为 .

(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点 M 在 x 轴上,且与 O 点不重合, 显然 M,O,P 三点不共线,不符合题设条件. 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) . 由 消去 y 整理得

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(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.① 则△=64k2m2﹣4(3+4k2) (4m2﹣12)>0, ∴ , .

所以点 M 的坐标为 ∵M,O,P 三点共线,



∴kOM=kOP,∴



∵m≠0,∴



此时方程①为 3x2﹣3mx+m2﹣3=0, 则△=3(12﹣m2)>0,得 x1+x2=m, ∴|AB|2= = , .





=





=

=



故当

时,

的最大值为



21.已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a∈R) (1)求 f(x)的单调区间; (2)若对任意的 a∈(﹣3,﹣2) ,x1,x2∈[1,3], (m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2) |成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数 f(x)的导函数,对 a 进行讨论,求出函数的单调区间; (2) (m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立,即(m+ln3)a﹣2ln3 大于|f(x1)﹣f(x2) |的最大值,化简得 ,求出 m 的取值范围.
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【解答】解: (1)定义域为(0,+∞) ,

=

①当 a≥0 时,当

时,f′(x)<0,∴f(x)在(0, )上单调递减,

当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在( ,+∞)上单调递增; ②当﹣2<a<0 时,当 x∈(0, )和( 和( 当 x∈ ,+∞)上单调递减, 时,f′(x)>0,∴f(x)在( , )上单调递增; ,+∞)时,f′(x)<0,∴f(x)在(0, )

③当 a=﹣2 时,当 x∈(0,+∞) ,f′(x)≤0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减, ④当 a<﹣2 时,当 x∈(0, 和( ,+∞)上单调递减, 当 时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣ , )上单调递增; )和( ,+∞)时,f′(x)<0,∴f(x)在(0, )

(2)由(1)知当 a∈(﹣3,﹣2)时,f(x)在[1,3]上单调递减,f(x)max=f(1)=1+2a,

∵对? x1,x2∈[1,3],有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立, ∴(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|max,∵|f(x1)﹣f(x2)|max=|f(x)max﹣f(x)
min|=

, ,即 , ]. ,∵a∈(﹣3,﹣2)时,当

∴(m+ln3)a﹣2ln3> a=﹣2, ∴m≤ 取最小值﹣

,即 m 的取值范围为(﹣∞,﹣

选做题【请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分】. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1. (Ⅰ)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长.

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【考点】圆的切线的性质定理的证明;圆內接多边形的性质与判定. 【分析】 (Ⅰ)连接 OC,因为 OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,再证明 OC∥AD,即可证得 AC 平分∠BAD. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,从而 BC=CE,利用 ABCE 四点共圆,可得∠B=∠CED,从而 有 ,故可求 BC 的长.

【解答】 (Ⅰ)证明:连接 OC,因为 OA=OC,所以∠OAC=∠OCA, 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC⊥CD, 又因为 AD⊥CD,所以 OC∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以 AC 平分∠BAD. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 ,∴BC=CE, 连接 CE,因为 ABCE 四点共圆,∠B=∠CED,所以 cosB=cos∠CED, 所以 ,所以 BC=2.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知 曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

(cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (Ⅰ)曲线 C1: C2: (t 为参数) ,利用 sin2t+cos2t=1 即可化为普通方程;

(θ 为参数) ,利用 cos2θ+sin2θ=1 化为普通方程.

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(Ⅱ)当 t=

时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M



直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性 即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1: ∴C1 为圆心是(﹣4,3) ,半径是 1 的圆. C2: (θ 为参数) ,化为 . (t 为参数) ,化为(x+4)2+(y﹣3)2=1,

C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (Ⅱ)当 t= 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7, M 到 C3 的距离 d= 从而当 cossinθ= ,sinθ=﹣ 时,d 取得最小值 = |5sin(θ+φ)+13|, .

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设对于任意实数 x,不等式|x+7|+|x﹣1|≥m 恒成立. (1)求 m 的取值范围; (2)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式:|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)要使不等式|x+7|+|x﹣1|≥m 恒成立,需 f(x)=|x+7|+|x﹣1|的最小值大于 或等于 m,问题转化为求 f(x)的最小值. (2)当 m 取最大值 8 时,原不等式等价于:|x﹣3|﹣2x≤4,去掉绝对值符号,解此不等 式.

【解答】解: (1)设 f(x)=|x+7|+|x﹣1|,则有 f(x)=



当 x≤﹣7 时,f(x)有最小值 8;当﹣7≤x≤1 时,f(x)有最小值 8; 当 x≥1 时,f(x)有最小值 8.综上 f(x)有最小值 8,所以,m≤8. (2)当 m 取最大值时 m=8,原不等式等价于:|x﹣3|﹣2x≤4, 等价于: ,或 ,

等价于:x≥3 或﹣ ≤x≤3, 所以原不等式的解集为{x|x≥﹣ }.

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2016 年 11 月 15 日

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