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2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (17)_图文

2.3

幂函数

请大家看如下问题.并将每个问题中的 y 表示成 x 的函数.

1. 2. 3. 4. 5.

如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克,那么她需要支付 y= x __ 元; 2 x 如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y= ___ ; 3 x 如果立方体的边长为 x,那么立方体的体积 y= ___ ; 如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形场地的边长 y=______ ; 如果某人以 x m3/s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m3 的水, 那么他注水的时间 y= x -1 ___

思考: 1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现几个解析 式结构上的共同特征吗? 2.根据我们学习的函数的概念,你能否判断它们能否构成函数?是 我们学习过得哪类函数 ?如果不是,你能否根据该函数的特征给 它起个恰当的名字?

幂函数的定义(形式定义): 一般地,形如 y ? x (? ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 是常数.
?

y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x , y ? x
2 3

1 2

?1

?2

.

请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象:

总结函数性质,填写表格:

y ? x3
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

y ? x2

y?x

y?x

1 2

y ? x?1

y ? x ?2

性质总结如下:

? ?0
在(0,+∞)有定义,图象过点(1,1) ; 在 [0,??) 上是增函数 在 (0,??) 上是减函数 图象过原点

? ?0

在第一象限内,当 x 从右边趋向于 0 时,图象在 y 轴右方无限地 逼近 y 轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴.

例 1 . 比较下列两个代数式值的大小:

(1) 2.3 , 2.4 ; (2)( 2 ) , ( 3)

3 4

3 4

?

3 2

?

3 2

; (3)(a ? 1) , a ; (4)(2 ? a ) , 2 .
1.5 1.5 2

?

2 3

?

2 3

分析:观察所给的两个代数式,都是幂的形式.又因为幂指数相同,而底数不同,所以 想到要利用幂函数的性质解决此类问题.
(1)解:考察幂函数 y ? x ,因为 y ? x 在(0,+∞)上单调递增,而且 2.3<2.4, 所以
3 4 3 4

2.3 ? 2.4 .
以 下
? 3 2

3 4

3 4


? 3 2






? 2 3







(2)( 2 )

? ( 3)

; (3)(a ? 1)1.5 ? a1.5 ; (4)(2 ? a 2 )

?2 .

?

2 3

例 2.讨论函数 y ? x 的定义域、奇偶性,作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性。
解:要使 y ? x ? 3 x 2 有意义,x 可以取任意实数, 故函数定义域为 R. ∵f(-x)= (? x) ? x =f(x) , ∴函数 y ? x 是偶函数; 0 0 其图象如右图所示.
2 3 2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

x y?x

1 1

2 1.59

3 2.08

4 2.52

… …

幂函数 y ? x 在[0,+ ? )上单调递增,在(-∞,0)上单调递减. 思考与讨论 幂函数 y ? x (? ? R) ,当 ? ? 1,3,5,?, (正奇数)时,函数有哪些性质? (演示画板)定义域为 R,值域为 R,是奇函数,在(-∞,+∞)上是增函数. 当 ? ? 2,4,6,?, (正偶数)时,这类幂函数的性质和特点,留做同学们课下讨论.
?

例 3.证明幂函数 f(x)= x 在[0,+∞)上是增函数.
(学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.即,证明函数的单调性一般用定义 法,有时利用复合函数的单调性.)

证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 - x 2 =

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

=

x1 ? x2 x1 ? x2

,

因为 x1-x2<0,x1+x2>0,所以

x1 ? x2 x1 ? x2

<0.

所以 f(x1)<f(x2),即 f(x)= x 在[0,+∞)上是增函数.

点评:证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与 f(x2)的 符号要一致.

课堂巩固:
1.下列函数中,是幂函数的是( A.y=-x
1 2

) C.y=

B.y=3x

2

1 x

D.y=2

x

2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过(0,0)和 (1,1) α B.当α <0 时,幂函数 y=x 是减函数 α C.当α >0 时,幂函数 y=x 是增函数 2 D.函数 y=x 既是二次函数,也是幂函数

3.函数 y=x 的图象大致是 (

3 5

)

4.幂函数 y ? x 的单调递增区间是________. 5. a ? 1.2 , b ? 0.9 , c ? 1.1 的大小关系是________. 6.幂函数 f(x)=ax 求 a 和 m.
m 2 ?8 m

3 4

1 2

?

1 2

1 2

(m∈Z)的图象与 x 轴和 y 轴均无交点,并且图象关于原点对称,

答案:1. C ; 2. D ; 3. D ;4. ?0,??? ;5. a>b>c;6. a=1,m=1,3,5,7

课堂小结:

1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别. 2.常见幂函数的图象和性质. 3. 幂函数的性质的应用.

课后作业:
1. 课本第 79 页习题 2.3 2. 下列函数中,是幂函数的是( A.y=2x B.y=2x3 ) C.y=

1 x

D.y=2x

3.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点 C.当 α>0 时,幂函数 y=xα 是增函数 4.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( A.y=x3 B.y=x2

B.当 α<0 时,幂函数 y=xα 是减函数 D.函数 y=x2 既是二次函数,也是幂函数 )
3 2

1 C.y= x
1 2

D.y=x

5.已知某幂函数的图象经过点(2, 2 ),则这个函数的解析式为.

答案:2.C 3.D 4.A 5.y=x


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