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导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型)

导数大题的常用找点技巧和常见模型 湖南邵阳杨歆琪 【引子】 (2017 年全国新课标 1·理·21)已知 f ? x ? ? ae (1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)若 f ? x ? 有两个零点,求 a 的取值范围. 解析: (1) f ' ? x ? ? 2ae2 x ? ? a ? 2 ? e x ? 1 ? 2e x ? 1 ae x ? 1 若 a ? 0 ,则 f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 R 上递减; 若 a ? 0 ,令 f ' ? x ? ? 0 ,得 e x ? 当 x ? ln 2x ? ? a ? 2? ex ? x . ? ?? ? 1 1 , x ? ln . a a 1? ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ??, ln ? 上递减; a? a ? 1 ? 1 ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ln , ?? ? 上递增. a ? a ? 当 x ? ln 综上,当 a ? 0 时, f ? x ? 在 R 上递减;当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ln ? ? 1? ? 1 ? ? 上递减,在 ? ln , ?? ? 上递增. a? ? a ? ? ? 1? 1 1 ? ? 1 ? ? ln ? 0 . a? a a (2) f ? x ? 有两个零点,必须满足 f ? x ? min ? 0 ,即 a ? 0 ,且 f ? x ?min ? f ? ln 构造函数 g ? x ? ? 1 ? x ? ln x , x ? 0 . 易得 g ' ? x ? ? ?1 ? 又因为 g ?1? ? 0 ,所以 1 ? 1 ? 0 ,所以 g ? x ? ? 1 ? x ? ln x 单调递减. x 1 1 1 ?1? ? ln ? 0 ? g ? ? ? g ?1? ? ? 1 ? 0 ? a ? 1 . a a a ?a? 下面只要证明当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? 有两个零点即可,为此我们先证明当 x ? 0 时, x ? ln x . 事实上,构造函数 h ? x ? ? x ? ln x ,易得 h ' ? x ? ? 1 ? 1 ,∴ h ? x ?min ? h ?1? ? 1 ,所以 h ? x ? ? 0 ,即 x ? ln x . x a ? ea ? ? e2 ? 2 ? a a?2 ?1 ? ? 0, 当 0 ? a ? 1 时, f ? ?1? ? 2 ? e e e2 ? 3? a ? ?3 ? ?3 ? ?3 ? 3 ?3 ? f ? ln ? ? a ? ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? 1? ? ln ? ? 1? ? ? 1 ? ln ? ? 1? ? 0 , a ? ? ?a ? ?a ? ?a ? a ?a ? 其中 ?1 ? ln 2 1? ? 1 3? a ? ? 1 3? a 1 , ln ? ln ,所以 f ? x ? 在 ? ?1, ln ? 和 ? ln , ln ? 上各有一个零点. a? ? a a ? a a a ? 故 a 的取值范围是 ? 0,1? . 注意:取点过程用到了常用放缩技巧。 一方面: ae 2x ? ? a ? 2 ? e x ? x ? 0 ? ae 2 x ? ? a ? 2 ? e x ? e x ? 0 ? ae x ? a ? 3 ? 0 ? e x ? 2x 3? a ?3 ? ? x ? ln ? ? 1? ; a ?a ? 另一方面: x ? 0 时, ae ? ? a ? 2 ? e x ? x ? 0 ? ? a ? 2 ? e x ? x ? 0 ? x ? ?1 (目测的) 常用的放缩公式(考试时需给出证明过程) 第一组:对数放缩 (放缩成一次函数) ln x ? x ? 1 , ln x ? x , ln ?1 ? x ? ? x , ln x ? (放缩成双撇函数) ln x ? x . e 1? 1? 1? 1? ? x ? ? ? x ? 1? , ln x ? ? x ? ? ? 0 ? x ? 1? , 2? x? 2? x? ln x ? x ? 1 1 ? x ? 1? , ln x ? x ? ? 0 ? x ? 1? , x x 1 2 1 x ? ?1 ? x ? 0 ? , ln ?1 ? x ? ? x ? x 2 ? x ? 0 ? 2 2 2 (放缩成二次函数) ln x ? x ? x , ln ?1 ? x ? ? x ? (放缩成类反比例函数) ln x ? 1 ? 2 ? x ? 1? 2x 1 , ln x ? ? x ? 0? ? 0 ? x ? 1? , ln ? x ? 1? ? x?2 x x ?1 ln ?1 ? x ? ? 2 ? x ? 1? x 2x , ln x ? ? x ? 0? ? x ? 1? , ln ?1 ? x ? ? 1? x 2? x x ?1 第二组:指数放缩 x x x (放缩成一次函数) e ? x ? 1 , e ? x , e ? ex , 1 1 ? x ? 0? , ex ? ? ? x ? 0? , 1? x x 1 x 2 (放缩成二次函数) e ? x , e x ? 1 ? x ? x 2 ? x ? 0 ? , 2 (放缩成类反比例函数) e x ? 第三组:指对放缩 e x ? ln x ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 2 第四组:三角函数放缩 sin x ? x ? tan x ? x ? 0 ? , sin x ? x ? x 2 , 1 ? x 2 ? cos x ? 1 ? sin 2 x . 第五组:以直线 y ? x

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