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高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示也谈高考热点


也谈高考热点—数量积 数量积是平面向量的一朵奇葩,其运算形式有 a ? b ? a b cos ? (0 ? ? ? ? ) 与 ? ? ? ? ? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 两种。用数量积来处理有关长度、角度、垂直关系,及构造不等式与函数 都有其独到之处 。因此关于数量积的考查,也成为高考命题的热点。以下就其在高考中的 考查形式,分类例述如下 一、求长度 例 1 设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,| a |? 1, a ? b ? c, a ? c, ,则 a 的值是 分析:本题考查向量的代数运算,必须要熟练掌握数量积与向量加减法运算。 解析: a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? 0, a ? c ? a ? c ? 0 ,故 b ? c ? 0 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ?2 ?b ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? 2 ?2 由a ? b ? c ? 0 ? ?a ? b ? c ? (?a)2 ? b ? c ? b ? c ? 2b ? c ? b ? c ? 1 , ? ? 所以 a ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?2 ?2 ? b ? c ? a ?b ?c ? 2 评注:求向量的模,通常是转化为向量的平方,利用向量的数量积来解决。这是解决向 量长度的一种重要方法。 二、求角 例 2 已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 的夹角 的取值范围是 A.[0, ( ) B. [ ? ? ? ? ? ? ? ? ] 6 ? 3 ,? ] C. [ ? 2? 3 , 3 ] D. [ ? 6 ,? ] 分析: 要求两向量夹角,必须回到向量数量积的运算公式上来处理。 解: 则 | a |2 ?4a ? b ≥0 , | a |? 2 | b |? 0, 且关于 x 的方程 x 2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根, ? ? ? 1 ? 2 ? ? |a| ? ? ? 1 a ?b ? ≤ 4 ? ? ,∴θ ∈ [ , ? ] ,选 B. 设向量 a, b 的夹角为 θ ,cosθ = ? 3 | a | ? | b | 1 | a |2 2 2 评注:将向量的运算揉合在方程之中,这也是近年高考对向量考查的一个方向。但万变 不离其宗,只要我们能理解题意,回到向量数量积的运算上来,就能使问题迎刃而解。 三、判断几何位置 例 3 设点 O 是平面上的一定点,点 A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 ??? ? ???? ??? ? ??? AB AC OP ? 0 A ? ? ( ??? ? ???? ), ? ? ? 0, ?? ? ,则 P 点一定通过△ABC 的( ) ? AB cos B AC cos C A、外心、 B、内心 C、重心 D、垂心 1 分析:考虑在△ABC 中, AB ? BC ? AB BC cos(? ? B ) , AC ? AB ? AC AB cos C 以及 OP ? 0 A ? AP ,故在等式两边作 BC

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