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上海交通大学附属中学2013届高三第二学期5月月考数学(理)试卷


上海交通大学附属中学 2013 届高三第二学期 5 月月考数 学(理)试卷
(说明:本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸,每道题的解答 必须写在答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不作评分依据。 ........................... ) 一、填空题(本大题满分 56 分,每题 4 分,填错或不填在正确的位置一律得零分) 1.已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? i ,则 z = 2.已知集合 S ? x y ? lg(1 ? x) , T ? x 2 x ? 1 ? 3 ,则 S ? T =_________. 3.在等差数列 ?a n ? 中,已知 a 7 ? 13 , a15 ? 29 ,则通项公式 a n =_____________. 4.若 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的动点,则 P 到直线 4 x ? 3 y ? 24 ? 0 的最小距离是 _____________. 5.某区有 200 名学生参加数学竞赛,随机抽取 10 名学生成绩如下: 成 绩 人 数 40 1 50 1 60 2 70 2 80 1 90 3

?

?

?

?

则总体标准差的点估计值是 6.函数 y ? sin x sin( x ? 7.二项式 ( x ?

.(精确到 0.01 )

?
3

) 的最大值是______________.
.

1 x

) 9 展开式中的常数项为

8.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ? ? ? ≥ 0,≤? ? 0 则曲线 C1 与 C2 交点的一个极坐标为 9.若 lim
n ??

? ?

π? ? , ? cos? ? 3 , 2?

. 。

2 ? a ?3 ? 1 ,则 a ? n ?1 3 ? a ? 2 2n

2 n ?1

n ?1

10. 已知 f (x) 是最小正周期为 2 的函数, x ? (?1, 1 ] 时, f ( x) ? 1 ? x 2 , 若在区间 (3,5] 当 上 f ( x) ? ax 有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是___________ 11.某校学生在上学路上要经过 2 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到 红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟.则该校某个学生在上学路上因 3
分钟. .

遇到红灯停留的总时间 ? 的均值等于

12.设直线 m 与平面 ? 相交但不垂直,则下列所有正确的命题序号是 . ①在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直; ②过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直;

③与直线 m 平行的直线不可能与平面 ? 垂直; . ④与直线 m 垂直的直线不可能与平面 ? 平行; . ⑤与直线 m 平行的平面不可能与平面 ? 垂直. . 13.已知定义域为 R 的偶函数 f (x) ,对于任意 x ? R ,满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 。且当

0 ? x ? 2 时 f ( x) ? x 。令 g1 ( x) ? g ( x) , gn ( x) ? gn?1 ( g ( x)) ,其中 n ? N * ,函数

0 ? x ?1 ? 2x x 。则方程 g n ( f ( x)) ? 的解得个数为______________(结果 g ( x) ? ? 2014 ?4 ? 2 x 1 ? x ? 2
用 n 表示) 14.函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x ( x ?[?k ? 2, k ? 4], k ? Z )的图像所有交 1? x

点的横坐标之和等于 2012,则满足条件的整数 k 的值是______________

二、选择题(本大题满分 20 分) 15. 如果命题 “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) ? 0 的解” 是正确的,则下列命题中正确的是??????( (A)曲线 C 是方程 f ( x, y) ? 0 的曲线; (B)方程 f ( x, y) ? 0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上; (C)不满足方程 f ( x, y) ? 0 的点 ( x, y ) 不在曲线 C 上; (D)方程 f ( x, y) ? 0 是曲线 C 的方程. 16、若框图所给的程序运行的结果为 S ? 90 ,那么判断框中应 填 入 的 关 于 第 16 题图 )

k











错 误 的 . . ) (D) k ? 9

是????????????????????( (A) k ? 8 (B) k ? 8 (C) k ? 9

17.将若干水倒入底面半径为 2cm 的圆柱器皿中(底面水平放置) ,量得水面的高度为

6cm .若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中,则水面的高度是(
A. 6 3cm B. 6cm C. 23 18cm D. 33 12cm



18.设 {an } 是公比为 q 的等比数列,首项 a1 ?

1 ? ,对于 n ? N , bn ? log 1 a n ,当且仅 64 2


当 n ? 4 时,数列 ?bn ? 的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围为????( A. (3,2 3) B. (3,4) C. (2 2 ,4) D. (2 2,3 2 )

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框

内写出必要的步骤. 19、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分,满分 12 分) 如 图 所 示 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PD ? 平 面 ABC , 且 垂 足 D 在 棱 AC 上 ,

AB ? BC? 6 , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 。
(1)证明 ?PBC 为直角三角形; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。

P

A

D B

C

20、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分,满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos B ? (1) 求 sin 2 B ? cos
2

3 。 4

A?C 的值; (2)若 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值。 2

21、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分,满分 14 分) (1)当 x ??1, 4? 时,求函数 h( x) ? ? f ( x) ? 1? ? g ( x) 的值域;
n n ?1 (2)如果对任意的 x ? ? 2 , 2 ? , n ? N ,不等式 f ( x2 ) ? f ( x ) ? k ? g ( x) 恒成立,求实 ? ?

已知函数 f ( x) ? 3 ? 2log2 x, g ( x) ? log2 x .

数 k 的取值范围.

22、 (本题共 3 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分,满分 16 分) 已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1的左,右两个顶点分别为 A 、B ,曲线 C 是以 A 、B 两点为顶点, 4

焦距为 2 5 的双曲线。 设点 P 在第一象限且在曲线 C 上, 直线 AP 与椭圆相交于另一点 T 。

(1)求曲线 C 的方程; (2)设 P 、 T 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,求证 x1 ? x2 为一定值; (3)设 ?TAB 与 ?POB (其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S1 与 S2 ,且 PA ? PB ? 15 , 求 S12 ? S22 的取值范围。

??? ??? ? ?

23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分 ) 已知数列 ?an ? 的各项都是正数,且满足: a1 ? 1 , an?1 ? (1)求证 an ? 2 , n ? N ;
*

1 an (4 ? an ) , n ? N * 2

(2)判断数列 ?an ? 的单调性; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an 。

参考答案: 一、填空题 1. 2 ; 2 7. 84; 2. {x | ?1 ? x ? 1} ; 8. (2 3, 3. 2n-1; 4. 5;
15 15

5.17.64; 6. ; 11.

?
6

3 ; 4
13.

);

9.

1 ; 10. 0 ? a ? 2

4 ; 12. ②③; 3

2014 ? 2n ; 14.1002 或 1003。 1 14 、 函 数 y ? 图 象 的 对 称 中 心 是 ( 1,0 ), 这 也 是 函 数 y ? 2sin ? x 1? x ( x ?[?k ? 2, k ? 4], k ? Z ) 的对称中心, 其对称两个交点的横坐标之和为 2, 于是共有 2012 个交点。注意到在 [0, 2] 内有 4 个交点,其余周期内均 2 个交点,又 k ? Z ,而周期为 2, 于是 k ? 1002 或 1003。
二、 15.C; 16.D; 17.B; 18.C。 三、 19、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分,满分 12 分) 解: (1)以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直 角坐标系 E ? xyz --------------------------------------1’

2, 0, 0 , C ? 0,2,0? , P 0, ?1, 3 ----2’ ??? ? ??? ? 于是 BP ? ? 2, ?1, 3 , BC ? ? 2, 2, 0 ??? ??? ? ? 因为 BP?BC ? ? 2, ?1, 3 ? ? 2, 2, 0 ? 0 ??? ??? ? ? ? BP ? BC ,? BP ? BC -------------5’
则B

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

P

z

A

E

D

C

y

x

B

(2)由(1)可得, A ? 0, ?2,0 ?

??PBC 为直角三角形------------------6’
??? ?

于是 AP ? 0,1, 3 ,---------------------7’

??? ? 2,1, ? 3 , PC ? 0,3, ? 3 ? 设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ? ??? ? ?n ? PB ? 0, ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ? 则 ? ? ??? 即? 取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ? 2 ? ?n ? PC ? 0. ?3 y ? 3z ? 0. ? ? ? ? 平面 PBC 的一个法向量为 n ? 2,1, 3 -------------------------------------------10’ ??? ? ? AP ? n 4 2 6 点A到平面PBC的距离为 | ? |? ------------------------------12’ ? 3 |n| 6

??? ? PB ?

?

?

?

?

?

?

?

?

解二: (1)联 BD 直接计算,求出 cos A ?

6 , BD 2 ? 3 ,于是 BP 2 ? 6 ,可验证: 3 BP2 ? BC 2 ? PC 2 ,于是 ?PBC 是直角三角形; (2)利用体积 VA?BPC ? VP? ABC 可得。

20、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分,满分 12 分) 解: (I)因为 cos B ?

3 7 ,所以 sin B ? . -------------------------1’ 4 4 π?B 2 A?C ? 2sin B cos B ? cos 2 又 sin 2 B ? cos 2 2 1 7 3 1 1? 3 7 ? 2sin B cos B ? (1 ? cos B) = 2 ? . ----------------------6’ ? + = 2 4 4 8 8 a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , (II)由已知得 cos B ? ------------------------7’ 2ac 4 3 2 2 又因为 b ? 3 , 所以 a ? c ? 3 ? ac . -----------------------8’ 2 3 2 2 又因为 a ? c ? ac ? 3 ? 2ac , 2 所以 ac ? 6 ,当且仅当 a ? c ? 6 时, ac 取得最大值. -------------------11’
此时 S?ABC ?

1 1 7 3 7 . ac sin B ? ? 6 ? ? 2 2 4 4 3 7 所以 ?ABC 的面积的最大值为 . 4

-------------------------12’

21、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分,满分 14 分) 解: (1) h( x) ? (4 ? 2log2 x) ? log2 x ? ?2(log2 x ?1)2 ? 2 ???????2 分 因为 x ??1, 4? ,所以 log2 x??0,2? ,???????4 分 故函数 h( x) 的值域为 ? 0, 2? ???????6 分 (2)由 f ( x2 ) ? f ( x ) ? k ? g ( x) 得

(3 ? 4log2 x)(3 ? log2 x) ? k ? log2 x

n n ?1 令 t ? log2 x ,因为 x ? ? 2 , 2 ? ,所以 t ? log2 x ??n, n ?1? ? ?

所以 (3 ? 4t )(3 ? t ) ? k ? t 对一切的 t ??n, n ? 1? 恒成立???????8 分 ① 当 n ? 0 时,若 t ? 0 时, k ? R ;???????9 分 当 t ? ? 0,1? 时, k ? 函 数 4t ?

(3 ? 4t )(3 ? t ) 9 恒成立,即 k ? 4t ? ? 15 t t

9 ? 1 5 在 t ? ? 0,1? 单 调 递 减 , 于 是 t ? 1 时 取 最 小 值 ?2 , 此 时 x ? 2 , 于 是 t k ? ? ??, ?2? ;???????10 分

(3 ? 4t )(3 ? t ) 9 恒成立,即 k ? 4t ? ? 15 t t 9 9 3 9 因为 4t ? ? 12 ,当且仅当 4t ? ,即 t ? 时取等号,所以 4t ? ? 15 的最小值为 ?3 , t t 2 t k ? ? ??, ?3? ;???????12 分
2 ○当 n ? 1 时,此时 t ?[1,2] 时, k ?

(3 ? 4t )(3 ? t ) 9 恒成立,即 k ? 4t ? ? 15 t t 9 9 n 函数 4t ? ? 15 在 t ?[n, n ? 1] 单调递增,于是 t ? n 时取最小值 4n ? 15 ? ,此时 x ? 2 , t n 9? ? 于是 k ? ? ??, 4n ? 15 ? ? 。?????????????????14 分 n? ?
3 ○当 n ? 2 时,此时 t ?[n, n ? 1] 时, k ? 22、 (本题共 3 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分,满分 16 分) 解: (1)依题意可得 A ? ?1,0? , B ?1,0 ? -------------------------------------------------------1’

? 双曲线的焦距为 2 5 ,? c ? 5 ,?b2 ? c2 ? a2 ? 5 ? 1 ? 4 ------------3’ y2 ? 1 -----------------------------------------------------4’ ? 双曲线 C 的方程为 x 2 ? 4 (2)证明:设点 P ? x1 , y1 ? 、T ? x2 , y2 ?( xi ? 0 ,i ? 1, 2 ) ,直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,
则直线 AP 的方程为 y ? k ? x ? 1? ------------------------------------------------5’

(3)设点 P ? x1 , y1 ? 、 T ? x2 , y2 ? ( xi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 PA ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , PB ? ?1 ? x1 , ? y1 ? .

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 联立方程组 ? 整理,得 ? 4 ? k ? x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 ---6’ y2 2 ?1 ?x ? ? 4 4 ? k2 4 ? k2 ? x2 ? 解得 x ? ?1 或 x ? ---------------------------------------7’ 4 ? k2 4 ? k2 ? y ? k ? x ? 1? 4 ? k2 ? 2 同理方程组 ? 可得: x1 ? ---------------------------------9’ y 4 ? k2 x2 ? ?1 ? ? 4 ? x1 ? x2 ? 1为一定值---------------------------------------------------------------10’

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ? PA ? PB ? 15 ,?? ?1 ? x1 ??1 ? x1 ? ? y12 ? 15 ,即 x12 ? y12 ? 16 -----------11’

y12 ? 1 ,所以 x12 ? 4x12 ? 4 ? 16 ,即 x12 ? 4 --12’ 4 又? 点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 ? x1 ? 2 1 1 1 ? S1 ? AB ? y2 ? y2 , S 2 ? OB ? y1 ? y1 2 2 2 1 ? S12 ? S 2 2 ? y2 2 ? y12 ? ? 4 ? 4 x2 2 ? ? ? x12 ? 1? ? 5 ? x12 ? 4 x2 2 -----------------13’ 4 1 由(2)知, x1 ? x2 ? 1,即 x2 ? ,设 t ? x12 ,则 1 ? t ? 4 , x1 4 4 ? S12 ? S 2 2 ? 5 ? t ? ,? t ? 在 ?1, 2? 上单调递减,在 ? 2, 4? 上单调递增----14’ t t 2 ? 当 t ? 4 ,即 x1 ? 2 时, ? S1 ? S2 2 ?min ? f ? 4 ? ? 0

? 点 P 在双曲线上,则 x12 ?

2 2 当 t ? 2 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2

?

?

max

? f ? 2? ? 1

? S12 ? S22 的取值范围为 ?0,1? -----------------------------------------------------------16’
23、 (本题共 3 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,满分 18 分) 解: (1)当 n=1 时,a1=1, ∴a1<2,命题正确. 假设 n=k 时有 ak <2. 则 n=k+1 时, ak ?1 = 因此对一切的 n ? N 有 an <2.

1 a (4- ak )<2∴n=k+1 时命题正确. 2 k

(2)数列 ?an ? 单调递增,下证对一切的 n ? N 有 an < an ?1 。 当 n=1 时,a1=1,a2=

1 3 a1(4- a1)= , ∴a1< a2,命题正确. 2 2

假设 n=k 时有 ak < ak ?1 . 则 n=k+1 时,

ak ?1 - ak ?2 =
=

1 1 1 ak (4- ak )- ak ?1 (4- ak ?1 )=2( ak ? ak ?1 )- ( ak ? ak ?1 )( ak ? ak ?1 ) 2 2 2

1 ( a ? ak ?1 )(4- ak ?1 ? ak )而 ak ? ak ?1 <0, 4- ak ? ak ?1 >0, ∴ ak ?1 - ak ?2 <0∴n=k+1 时命题 2 k

正确.因此对一切的 n ? N 有 an < an ?1 . (3)2 an ?1 =4 an - an ,
2

? (2- an )2=(2- an ?1 ) ? 2 log2 (2- an )=1+ log2 (2- an ?1 )

log2 (2- an ?1 )+ ? =2[ log2 (2- an )+ ? ] ? ? =-1 ∴ log2 (2- an ?1 )-1=2[ log2 (2- an )-1]
∴{ log2 (2- an )-1}为 G.P 公比 q=2,首项 log2 (2-a1)-1= log2 (2-1)-1=-1 因此有

log2 (2- an )-1=-1? 2 n?1 =-2 n?1 , log2 (2- an )=1-2 n?1 , 2- an = 21? 2
∴ an =2- 2
1? 2n?1

n?1



.


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