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15 直线的参数方程(1)(教师版)


15. 直线的参数方程(1)
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学习目标:1.了解直线参数方程的条件及参数的意义; 2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程. 学习重点:直线参数方程的简单应用. 学习难点:直线参数方程中参数意义的理解. 学习过程: 一、课前准备: 阅读教材 P35 ? P36 的内容,了解直线参数方程的推导过程,并思考以下问题: 1.将参数方程 ?

? x ? 1 ? 2t ( t 为参数)化为普通方程是 x ? 2 y ? 5 ? 0 . ? y ? 2?t

2.在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么? 答:一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线,方程为 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) . 3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好? 答:当一条直线确定了之后,唯一变化的就是直线上的点,因此,可以以某一个定点为参 照,定点到动点的向量作为参数. 二、新课导学: (一)新知: 直线参数方程的推导过程: 设 e 是与直线 l 平行且方向向上( l 的倾斜角不为 0)或向右( l 的倾斜角为 0)的单位 方向.设直线 l 的倾斜角为 ? ,定点为 M 0 和动点 M 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) 、 ( x, y ) . 思考以下问题: 答: e ? (cos? ,sin ? ) (2)如何用 e 和 M 0 的坐标表示直线 l 任意一点 M 的坐标? 答:因为 M 0 M ? ( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) (1)如何利用倾斜角 ? 写出直线 l 的单位向量 e ?

?

?

?

?

?????? ?

又 M 0 M / / e ,所以存在唯一实数 t ? R ,使得 M 0 M ? te , 所以 ( x, ? x0 , y0 ? y) ? t (cos? ,sin ? ) ,

?????? ?

?

?????? ?

?

? x ? x0 ? t cos ? 所以 ? (t 为参数). ? y ? y0 ? t sin ? 这就是经过点 M 0 ( x0 , y0 ) 且倾斜角为 ? 的直线的参数方程.
(3) 参数 t 的几何意义是什么?

?????? ? ? ?????? ? 答: t 表示参数 t 对应的点 M 到定点 M 0 的距离;当 M 0 M 与 e 同向时,t 取正数,当 M 0 M ? 与 e 反向时, t 取负数,当 M 0 与 M 重合时, t ? 0 .
? x ? 3 ? t sin 200 ? (4)练习:①直线 ? ( t 为参数)的倾斜角为 70 ; 0 ? y ? t cos 20

? 2 ?x ? ? 2 t ? (t为参数) . ②直线 x ? y ? 1 ? 0 的一个参数方程是 ? 2t ? y ? 1? ? ? 2
(二)典型例题: 【例1】直线 l : x ? y ? 3 ? 0 与抛物线 y ? 4 x 交于两点 A 、 B ,求线段 AB 的长和点
2

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M (0, ?3) 到 A 、 B 两点的距离之积.
【解析】点 M (0, ?3) 在直线 l 上,直线 l 的倾斜角为

? ,所以直线 l 的参数方程为
4

? 2 ? x ? 0 ? t cos ? ?x ? 2 t ? ? 4 (t 为参数) (t 为参数) ,即 ? , ? ? y ? ?3 ? 2 t ? y ? ?3 ? t sin ? ? 4 ? ? 2
代入抛物线方程,得 t ?10 2t ? 18 ? 0 ,
2

设该方程的两个根为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t2 ? 10 2,t1 ? t2 ? 18 , 所以弦长为 AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1 t2 ? (10 2)2 ? 4 ?18 ? 8 2 .

| MA | ? | MB |?| t1t2 |? 18 .
动动手: 1.试用选修1-1中的方法解例1. 【解析】将直线方程 x ? y ? 3 ? 0 代入抛物线方程,整理得: x ? 10 x ? 9 ? 0 ,
2

得两根为 x1 ? 1 , x2 ? 9 ,对应的 y1 ? ?2 , y2 ? 6 , 所以 A 、 B 的坐标为 A(1, ?2) 、 B(9, 6) , 所以 | AB |?

(1 ? 9) 2 ? (?2 ? 6) 2 ? 8 2 .

| MA |? (0 ? 1) 2 ? (?3 ? 2) 2 ? 2 , | MB |? (0 ? 9) 2 ? ( ?3 ? 6) 2 ? 9 2 ,
所以 | MA | ? | MB |? 2 ? 9 2 ? 18 .

? x ? x0 ? t cos ? 2.直线 ? (t为参数)与曲线 y ? f ( x) 交于 M 1 、 M 2 ,对应的参数分别为 t1 、 ? y ? y0 ? t sin ? t 2 . 问(1)曲线的弦 M1M 2 的长是多少?(2)线段 M1M 2 的中点 M 对应的参数 t 的值是
多少? 【解析】将直线的参数方程代入曲线方程后得到一个关于 t 的方程: f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t sin ? ) ? 0 , 这个方程的解为 t1 、 t 2 ,对应的点是直线与曲线的交点 M 1 、 M 2 , 所以(1)由参数的几何意义得 | M1M 2 |?| t1 ? t2 | . (2)线段 M1M 2 的中点 M 对应的参数 t 的值是

t1 ? t2 . 2

(同学们自己画图验证,要分 M 0 ( x0 , y0 ) 在线段 M1M 2 内和在线段 M1M 2 外两种情况).

?x ? 2 ? 1 t ? 2 2 2 3.求直线 ? 被双曲线 x ? y ? 1截得的弦长. (t 为参数) ?y ? 3 t ? 2 1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? (t 为参数) 【解析】把直线参数方程 ? 3 ?y ? t ? 2 ? 1 2 3 t )2 ? 1 2 2 代入 x ? y ? 1,得 (2 ? t ) ? ( , 2 2
第 2 页 共 4 页

整理得 t ? 4t ? 6 ? 0 ,设该方程的两个根为 t1 、 t 2 ,则
2

t1 ? t 2 ? 4,t1 ?t 2 ? ?6 ,
所以弦长为 AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1 t2 ? 42 ? 4 ? ?6 ? ? 40 ? 2 10 .

三、总结提升: 1.直线的参数方程与普通方程 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) 的关系: 由 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) 得

y ? y0 x ? x0 y ? y0 x ? x0 ,令 ? ?t , ? sin ? cos ? sin ? cos ?

得直线的参数方程. 2.注意直线的参数方程与向量的知识的联系. 3.要了解直线参数方程中参数 t 的几何意义. 4.简单应用:用参数 t 可以表示点的坐标、直线上两点间的距离、直线被曲线截得的弦长, 还可以表示弦的中点对应的参数. 四、反馈练习:

? x ? 3 ? at ( C ) (t为参数) 过定点 ? y ? ?1 ? 4t A. (?3, ?1) B. (?3,1) C. (3, ?1) D. (3,1) ? x ? a ? t cos? 2.在参数方程 ? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数 ? y ? b ? t sin ?
1.直线 ? 值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是 A. ( B )

t1 ? t2 t ?t |t ?t | |t ?t | B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 2 2 2 2 ? x ? ?2 ? 2t ? (t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是 ( A ) 3. 直线 ? ? y ? 3 ? 2t ? A. (?3, 4) 或 (?1, 2) B. (?3, 4) 或 (1, ?2) C. (3, ?4) 或 (?1, 2) D. (?3, ?4) 或 (?1, 2)
1 ? ?x ? 1? 2 t ? 4. 直线 ? ( t 为参数)和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点坐 ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
标为 ( D ) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) A. (3, ?3) 5. 过点 P (

的最小值及相应的 ? 的值.

10 求 M N ,0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , P ?P 2

? 10 ? t cos ? ?x ? 【解析】设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ? 0, 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ?

第 3 页 共 4 页

2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ?

?
2

, PM ? PN 的最小值为

3 . 4

五、学后反思:

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