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福建省三明市四地六校2010-2011学年高二下学期期中联考协作卷(数学理)


2010~2011 学年第二学期三明市六校联考协作卷 高二(理科)数学
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)

第 I 卷 (选择题 10 题 共 50 分) 选择题
小题, 每小题只有一个选项符合题意) 一、选择题(本题 10 小题,每题 5 分,共 50 分。每小题只有一个选项符合题意 选择题 本题 1.有一段演绎推理是这样的: “因为对数函数 y = log a x 是增函数;已知 y = log 1 x 是对数函数,所以
2

y = log 1 x 是增函数”的结论显然是错误的,这是因为(
2

) D.非以上错误 )分布, X 的均值 EX 与

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

2.已知某运动员投篮命中率 P = 0.6 ,他重复 5 次投篮时,投中次数 X 服从( 方差 DX 分别为( A. 二项分布 C. 两点分布 ) 。 0.6 ;0.24 3 ;1.2 B. D. 二项分布 0-1 分布 3 ;1.2 0.6 ;0.24

3.如图,一条电路从 A 处到 B 处接通时,可有( A. 3 4.复数 B. 5 ) C. 12 ? 13i C. 6

)条不同的线路。 D. 8

3 + 2i 等于( 2 ? 3i A. i B. ?i

D. 12 + 13i

5.若随机变量 X 的分布列为 P ( X = i ) = a ( ) , i = 1, 2,3 ,则 a 的值为 (
i

1 2



A.

7 6

B.

8 7

C.

6 7

D.

7 8

6.用数字 0,1, 2, 3, 4 组成的五位数中,只有首末两位数字相同,中间三位数字不相同,这样的五位数共有 ( A. ) 480 个 B. 240 个 C. 96 个 D. 48 个 )

7.若复数 ( m 2 ? 3m + 2) + ( m 2 ? 2m)i 是纯虚数,则实数 m 的值是 ( A.2 B.1 C.1 或 2 D.0

有一个是女孩的条件下,这时另一个也是 8. 一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个 有一个 女孩的概率是 ( A. )

1 4

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 3

14 2

9. ( x ? 2 y ) n 展开式的二项式系数之和为 32,则按 x 降幂排列的展开式的第三项是 ( A. ?8C16 x y
3 13 3

B. ?8C5 x y
3 2

3

C. 4C5 x y

2 3

2

D. 4C16 x y

2

10.从甲口袋内摸出一个白球的概率是 那么概率为

1 1 ,从乙口袋内摸出一个白球的概率是 ,从两个口袋内各摸 1 个球, 3 2

5 的事件是 ( 6

) B.两个都不是白球 D.两个球中恰好有一个白球

A.两个不全是白球 C.两个都是白球

第Ⅱ卷(非选择题 100 分) 非选择题
二、填空题(5 题,每题 4 分,共 20 分,答案要化至最简。 答案要化至最简。 )
11.若 ?2i + ai = b ? i ( a, b ∈ R ) ,则复数 z = a + bi 在复平面内对应的点位于第
2

象限。

12. 某射手每次射击击中目标的概率是

2 , 这名射手在 4 次射击中, 恰有 2 次击中目标的概率 3



13.已知 (1 ? x ) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x + a5 x ,则 a0 + a2 + a4 =
5 2 3 4 5



14.某外商计划把 3 个不同的项目在 4 个候选城市中投资,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外 商不同的投资方案有 种。

15.在等差数列 {an } 中,若 a10 = 0 ,则有 a1 + a2 + L + an = a1 + a2 + L + a19 ? n ( n < 19, 且 n ∈ N )成立。 等差数列
*

类比上述性质,在等比数列 {bn } 中,若 b9 = 1 ,则有 等比数列 ( 且n∈ N ) 。
*

道题, )(答案应写出文字说明 三、解答题(本题共 6 道题,共 80 分。 答案应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题( ) 答案应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

16.(13 分)甲乙两名射手在一次射击中的得分是两个独立的随机变量 X , Y ,分布列为 .

17. (13 分) 若 x, y, z 均为实数,且 x = a 2 ? 2b +
求证: x, y , z 中至少有一个大于 0.

π
2

, y = b ? 2c +
2

π
3

, z = c ? 2a +
2

π
6



18. .

(13 分) 某批产品共 10 件,已知从该批产品中任取 1 件,则取到的是次品的概率为

P = 0.2 。若从该批产品中任意抽取 3 件,
(1)求取出的 3 件产品中恰好有一件次品的概率; (2)求取出的 3 件产品中次品的件数 X 的概率分布列。

19.(13 分) .

已知 ( 3 x ?

3

3 n ) 的展开式中,第六项为常数项。 x
2

(1)求 n ;

(2)求含 x 的项的二项式系数; (3)求展开式中所有项的系数和。

20.(14 分) .

数列 {an } , {bn } 中, a1 = 2, b1 = 4 ,且 an , bn , an +1 成等差数列,

bn , an +1 , bn +1 成等比数列( n ∈ N * ) 。
(1)求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 ;由此猜测 {an } , {bn } 的通项公式; (2)试用数学归纳法,对 {an } , {bn } 的通项公式进行证明。

都得

21.(14 分) .

袋中装有大小、质地相同的 8 个小球,其中红球 4 个,蓝球和白球各 2

个。某学生从袋中每次随机地摸出一个小球,记下颜色后放回。规定每次摸出红球记 2 分,摸出蓝球记 1 分,摸出白球记 0 分。 (1)求该生在 4 次摸球中恰有 3 次摸出红球的概率; (2)求该生两次摸球后恰好得 2 分的概率; (3)求该生两次摸球后得分 X 的数学期望。

2010~2011 学年第二学期三明市六校联考协作卷 高二(理科)数学参考答案及评分标准
小题, 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题 共
题号

1 A

2 B

3 D

4 A

5 B

6 C

7 B

8 D

9 C

10 A

答案

(共 小题, 二.填空题: 共 5 小题,20 分。 填空题: ( )

11.



12.

8 27

13.

16

14.
*

60

15. b1 + b2 + L + bn = b1 + b2 + L + b17 ? n ( n < 17, 且 n ∈ N ) (共 三.解答题: 共 6 题,80 分,解答时应写出必要的文字说明过程或验算步骤。) 解答题: (

16.(13 分)甲乙两名射手在一次射击中的得分是两个独立的随机变量 X , Y ,分布列为 .

(1)求 a, b 的值; (2)计算 X , Y 的均值 EX , EY 与方差 DX , DY ;并分析甲,乙的 技术状况。
(参考数据: 0.3 × (?1.3)
2

+ 0.1× (?0.3)2 + 0.6 × (0.7)2 = 0.81 )

(1) 解: Q a + 0.1 + 0.6 = 1 ∴ a = 0.3

Q 0.3 + b + 0.3 = 1 ∴ b = 0.4 ……2 分 (2)Q EX = 1 × 0.3 + 2 × 0.1 + 3 × 0.6 = 2.3 …………………………4 分

EY = 1× 0.3 + 2 × 0.4 + 3 × 0.3 = 2

…………………………6 分 …8 分

又Q DX = 0.3 × (1 ? 2.3) 2 + 0.1× (2 ? 2.3) 2 + 0.6 × (3 ? 2.3) 2 = 0.81

DY = 0.3 × (1 ? 2) 2 + 0.4 × (2 ? 2)2 + 0.3 × (3 ? 2)2 = 0.6

…………10 分

从均值角度而言,Q EX > EY ,所以甲的平均分较高; ……………11 分 但是从稳定性的角度而言,Q DX > DY ,所以乙是相对甲更稳定的。 …13 分

17. (13 分) 若 x, y, z 均为实数,且 x = a 2 ? 2b +
求证: x, y , z 中至少有一个大于 0.

π
2

, y = b ? 2c +
2

π
3

, z = c ? 2a +
2

π
6



证明: (反证法)假设 x, y , z 都不大于 0,即 x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0, 证明:
则x+ y+ z ≤0, 而 x + y + z = a ? 2b +
2

…………3 分 …………5 分

π
2

+ b 2 ? 2c +

π
3

+ c 2 ? 2a +

π
6
…………9 分

= (a ? 1) 2 + (b ? 1) 2 + (c ? 1) 2 + π ? 3
Q π ? 3 > 0 ,且 (a ? 1) 2 + (b ? 1) 2 + (c ? 1) 2 ≥ 0

18. .

(13 分) 某批产品共 10 件,已知从该批产品中任取 1 件,则取到的是次品的概率为

P = 0.2 。若从该批产品中任意抽取 3 件,
(1)求取出的 3 件产品中恰好有一件次品的概率; (2)求取出的 3 件产品中次品的件数 X 的概率分布列。

解:设该批产品中次品有 x 件,由已知

x = 0.2,∴ x = 2 …………2 分 10 (1)设取出的 3 件产品中次品的件数为 X ,3 件产品中恰好有一件次品的概率为

P( X = 1) =

1 C2C82 7 = 3 15 C10

…………5 分

(2)Q X 可能为 0 , 1 , 2

C 7 7 命题人:张钊然 = 审核人:张瑞滨 P学校:永安三中 P ( X = 2) = C2 C8 = 1 ∴ P( X 0) = 8 = ( X = 1) = 3 3 C10 15 15 C10
∴ X 的分布为:

3

2

1

15

…………11 分

X P

0

1

2

7 15

7 15

1 15
…………13 分

19.(13 分) .

已知 ( 3 x ?

3

3 n ) 的展开式中,第六项为常数项。 x
2

(1)求 n ;

(2)求含 x 的项的二项式系数; (3)求展开式中所有项的系数和。
5 3 n n ?5

(1)QT6 = C ( x ) 解: 由已知 n ?

1 5 5 1 10 n? ? n? 3 5 5 5 5 5 3 3 3 ( 3 ) = Cn 3 ( x ) ( x ) = Cn 3 ( x ) 3 3 x

………4 分

1 3

10 = 0 ,所以 n = 10 ; 3

………5 分

10 2 ? k 3 k k Q Tk +1 = C10 ( 3 x )10? k ( 3 )k = C10 3k ( x) 3 3 (2) x

………9 分



10 2 2 ? k = 2 ,解得 k = 2 ,所以含 x 2 的项的二项式系数为 C10 = 45 3 3
10 10 10

…11 分 …13 分

(3)令 x = 1 ,得展开式中所有项的系数和为 (1 ? 3) = ( ?2) = 2

20.(14 分) .

数列 {an } , {bn } 中, a1 = 2, b1 = 4 ,且 an , bn , an +1 成等差数列,

bn , an +1 , bn +1 成等比数列( n ∈ N * ) 。
(1)求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 ;由此猜测 {an } , {bn } 的通项公式; (2)试用数学归纳法,对 {an } , {bn } 的通项公式进行证明。 (1)Q a1 = 2, b1 = 4 ,且 a1 , b1 , a2 成等差数列,∴ a1 + a2 = 2b1 ,∴ a2 = 6 解: 又 b1 , a2 , b2 成等比数列,∴ b1 × b2 = a2 ,∴ b2 = 9
2

同理, a2 + a3 = 2b2 ,∴ a3 = 12

b2 × b3 = a32 ,∴ b3 = 16
…3 分 (n∈ N )
*

a3 + a4 = 2b3 ,∴ a4 = 20
由此猜测: an = n( n + 1)

bn = (n + 1)2

…7 分 …8 分

(2)证明:①当 n = 1 时, a1 = 1× 2 = 2 ,符合已知条件; ②假设当 n = k 时, ak = k ( k + 1) , bk = ( k + 1) 成立,
2

则当 n = k + 1 时, ak +1 + ak = 2bk ,∴ ak +1 = 2bk ? ak = 2( k + 1) 2 ? k ( k + 1)

= (k + 1)(k + 2)

…10 分

袋中装有大小、质地相同的 8 个小球,其中红球 4 个,蓝球和白球各 2 个。 ak 2 2 bk × bk +1 = ak ,∴ bk +1 = = (k + 2)2 …12 分 某学生从袋中每次随机地摸出一个小球,记下颜色后放回。规定每次摸出红球记 2 分,摸出 bk 蓝球记 1 分,摸出白球记 0 分。 所以当 n = k + 1 时,结论也成立。 (1)求该生在 4 次摸球中恰有 3 次摸出红球的概率; 2 由①②可知, an = n( n + 1) bn = (n …14 分 (2)求该生两次摸球后恰好得 2 分的概率; + 1) 对所有的正整数都成立。 (3)求该生两次摸球后得分 X 的数学期望。 (1) , , 解: “摸出红球”“摸出蓝球”“摸出白球”分别记为事件 A, B, C ,

21.(14 分) .

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

4 1 2 1 = , P ( B ) = P (C ) = = 。因为每次摸球为相互独立事件, 8 2 8 4 1 3 1 3 1 …3 分 则该生在 4 次摸球中恰有 3 次摸出红球的概率为: P = C4 ( ) ( ) = 2 2 4 5 1 (2)该生两次摸球后恰好得 2 分的概率 P = C2 P ( A) P (C ) + P ( B ) P ( B ) = …5 分 16 ∴ P ( A) =
(3)两次摸球得分 X 可能为 0,1, 2, 3, 4,


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