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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.2.2椭圆的简单几何性质]


第二章

2.2

第 2 课时

一、选择题 x2 y2 1.(2013· 山东省潍坊二中期中)如果方程 2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a a+6 a 的取值范围是( A.(3,+∞) C.(3,+∞)∪(-∞,-2) [答案] D [解析]
?a2>a+6, ??a+2??a-3?>0, ? ? 由于椭圆的焦点在 x 轴上, 所以? 即? 解得 a>3 或 ? ? ?a+6>0, ?a>-6.

) B.(-∞,-2) D.(3,+∞)∪(-6,-2)

-6<a<-2,故选 D. x2 y2 1 2.若焦点在 y 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为( m 2 2 A.1 C. 3 [答案] B 2-m 1 c 1 3 [解析] 由题意得 a2=2,b2=m,∴c2=2-m,又 = ,∴ = ,∴m= . a 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 3.椭圆 C1: + =1 和椭圆 C2: + =1 25 9 9-k 25-k A.等长的长轴 C.相等的离心率 [答案] B [解析] 依题意知椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,对于椭圆 C1:焦距=2 25-9=8,对于椭 圆 C2:焦距=2 ?25-k?-?9-k?=8,故选 B. x2 y2 4.(2014· 大纲全国理,6)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心 a b 率为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( 3 x2 B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4 ) (0<k<9)有( ) 3 B. 2 8 D. 3 )

B.相等的焦距 D.等长的短轴

x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 [答案] A

c 3 [解析] 根据条件可知 = ,且 4a=4 3, a 3 x2 y2 ∴a= 3,c=1,b= 2,椭圆的方程为 + =1. 3 2 x2 y2 5.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|, a b |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 A. 4 1 C. 2 [答案] B [解析] ∵A、B 分别为左右顶点,F1、F2 分别为左右焦点,∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c, |BF1|=a+c,又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2,所以离心 率 e= 5 . 5 ) B. ) 5 5

D. 5-2

x2 y2 6. 已知 A={1,2,4,5}, a, b∈A, 则方程 2+ 2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率为( a b 3 A. 4 3 C. 16 [答案] B x2 y2 [解析] ∵a,b∈A,∴不同的方程 2+ 2=1 共有 16 个. a b 由题意 a2<b2,∴a=1 时,b=2,4,5;a=2 时,b=4,5; 6 3 a=4 时,b=5,共 6 个,∴所求概率 P= = . 16 8 二、填空题 3 B. 8 1 D. 2

7.(2013· 云南省昆明一中月考)已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距 离和为 8,焦距为 2 15,则此椭圆的标准方程为________. [答案] y2 +x2=1 16

[解析] 由已知,2a=8,2c=2 15,∴a=4,c= 15,∴b2=a2-c2=16-15=1, y2 ∴椭圆的标准方程为 +x2=1. 16 8.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 0<e≤ [答案] (2,4] [解析] ∵b=1,∴c2=a2-1, 3 .则长轴长的取值范围为________. 2

2 c2 a -1 1 3 1 1 又 2= 2 =1- 2≤ ,∴ 2≥ ,∴a2≤4, a a a 4 a 4

又∵a2-1>0,∴a2>1, ∴1<a≤2,故长轴长 2<2a≤4. 三、解答题 9.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 长、焦点坐标、顶点坐标. x2 y2 [解析] 椭圆方程可化为 + = 1, m m m+3 m?m+2? m m ∵m- = >0,∴m> . m+3 m+3 m+3 m 即 a2=m,b2= ,c= a2-b2= m+3 由 e= 3 得, 2 m+2 3 = ,∴m=1. m+3 2 m?m+2? . m+3 3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的 2

y2 ∴椭圆的标准方程为 x2+ =1, 1 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= . 2 2 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1;两焦点坐标分别为 F1(- 1 1 顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,- ),B2(0, ). 2 2 2 10.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,它到 x 轴的距离等于短半轴长的 ,求椭 3 圆的离心率. [解析] 解法一:设焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点,依题意设 M 点坐 2 标为(c, b). 3 在 Rt△MF1F2 中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 即 4c2+ b2=|MF1|2, 9 而|MF1|+|MF2|= 4 2 4c2+ b2+ b=2a, 9 3 3 3 ,0),F2( ,0);四个 2 2

整理,得 3c2=3a2-2ab. b2 4 又 c2=a2-b2,3b=2a.∴ 2= . a 9

2 2 c2 a -b b2 5 5 ∴e2= 2= 2 =1- 2= ,∴e= . a a a 9 3

2 c2 4b2 解法二:设 M(c, b),代入椭圆方程,得 2+ 2=1, 3 a 9b c2 5 c 5 5 ∴ 2= ,∴ = ,即 e= . a 9 a 3 3

一、选择题 x2 y2 11.过椭圆 + =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( 4 3 A.8,6 C.2, 3 [答案] B [解析] 2b2 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴,最短的为垂直于长轴的弦(通径)是 . a B.4,3 D.4,2 3 )

2b2 2×3 ∴最长的弦为 2a=4,最短的弦为 = =3, a 2 故选 B. x2 y2 12.(2013· 安徽省合肥六中月考)设 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上的 9 4 点,且|PF1 A.5 C.3 [答案] B [解析] = 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1 PF2| PF2|= ,则△F1PF2 的面积等于( B.4 D.1 )

,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由 22+42=(2 5)2 可知,△F1PF2 是直角三角形,故△F1PF2

1 1 的面积为 |PF1|· |PF2|= ×4×2=4,故选 B. 2 2 x2 y2 13.(2014· 豫东、豫北十所名校联考)已知 F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)两 a b 2π 个焦点,P 在椭圆上,∠F1PF2=α,且当 α= 时,△F1PF2 的面积最大,则椭圆的标准方 3 程为( ) x2 y2 B. + =1 14 5 x2 y2 D. + =1 16 7

x2 y2 A. + =1 12 3 x2 y2 C. + =1 15 6 [答案] A

π π b [解析] ∵当 P 在短轴端点时,S△F1PF2 最大,∴∠PF1F2= ,∴tan = ,∵c=3, 6 6 c ∴b= 3, x2 y2 ∴a2=b2+c2=12,椭圆方程为 + =1. 12 3 二、填空题 14.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________. [答案] x2 y2 + =1 36 9 (a>b>0),半焦距为 c,则 3 ,且 G 上一点到 G 的 2

x2 y2 [解析] 设椭圆 G 的标准方程为 2+ 2=1 a b 2a=12, ? ? ?a=6, ?c ∴? 3 ?c=3 3. ? ?a= 2 , ∴b2=a2-c2=36-27=9, x2 y2 ∴椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9

x2 y2 15.(2012· 四川理,15)椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B. 4 3 当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是________. [答案] 3 [解析] 如图,当直线 x=m,过右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大,

x=1, ? ?2 2 3 由?x y 解得 y=± ,∴|AB|=3. 2 ? ? 4 + 3 =1, 1 ∴S= ×3×2=3. 2 三、解答题 x2 y2 16.已知点 P(x0,y0)是椭圆 + =1 上一点,A 点的坐标为(6,0),求线段 PA 中点 M 的 8 4 轨迹方程.

[解析]

6 =x, ?x + 2 设 M(x,y),则? y +0 ? 2 =y,
0 0

? ?x0=2x-6, ∴? ?y0=2y. ?

x2 y2 x2 y2 0 0 ∵点 P 在椭圆 + =1 上,∴ + =1. 8 4 8 4
2 ? ?x0=2x-6, ?2x-6?2 ?2y?2 x2 0 y0 ? 把 代入 + =1,得 + =1, 8 4 8 4 ? ?y0=2y



?x-3?2 2 +y =1 为所求. 2

x2 y2 17.(2014· 枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中)已知椭圆 C: 2+ 2= a b 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 和 F2,离心率 e= 面积为 4 2. (1)求椭圆 C 的标准方程; → → (2)设 A、B 是直线 l:x=2 2上的不同两点,若AF1· BF2=0,求|AB|的最小值. 2 ,连接椭圆的四个顶点所得四边形的 2

[解析]

? (1)由题意得:?a =b +c , ×?2a?×?2b?=4 ?S=1 2
c 2 e= = , a 2
2 2 2

2,

?a=2, 解得:?b= 2, ?c= 2.
x2 y2 所以椭圆的标准方程为: + =1. 4 2 (2)由(1)知,F1、F2 的坐标分别为 F1(- 2,0)、F2( 2,0),设直线 l:x=2 2上的不同 → → 两点 A、B 的坐标分别为 A(2 2,y1)、B(2 2,y2),则AF1=(-3 2,-y1)、BF2=(- 2, → → -y2),由AF1· BF2=0 得 y1y2+6=0, 6 6 即 y2=- ,不妨设 y1>0,则|AB|=|y1-y2|=y1+ ≥2 6,当 y1= 6、y2=- 6时取等 y1 y1 号,所以|AB|的最小值是 2 6.


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