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圆锥曲线的切线及切点弦方程


圆锥曲线的切线及切点弦方程

近几年,圆锥曲线考试的热点为直线与圆锥曲线相 切或相交问题,直线与圆锥曲线交于两点时弦长问 题或弦上某点(或中点)的轨迹问题,焦点弦问题, 或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的 最值等问题。

09年安徽高考试题
? x2 y 2 x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? , ? ? (0, ) 点 P( x0 , y0 )在椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上, 2
直线 直线

O 为坐标原点,直线 op 的倾斜角为 ?, l2 与直线 l1 : xx20 ? yy20 ? 1垂直,
l2
a
的倾斜角为

?.

b

证明: 点

P 是椭圆与直线 l1的唯一交点;

?

复习:
1: 过圆x ? y ? r 上一点M ( x0 , y0 )的切线方程:
2 2 2

xx0 ? yy0 ? r 。
2
2 2 x y 2: 设P( x0 , y0 )为椭圆 2 ? 2 ? 1上的点,则过该点的切线方程为: a b

xx0 yy0 ? 2 ?1 2 a b
x2 y 2 设P( x0 , y0 )为双曲线 2 ? 2 ? 1上的点,则过该点的切线方程为: 3: a b xx0 yy0 ? 2 ?1 2 a b
4: 设P( x0 , y0 )为抛物线y
2

? 2 px上的点,则过该点的切线方程为:

yy0 ? p( x ? x0 )

圆锥曲线切线的几个性质
性质1 过椭圆(双曲线,抛物线)的准线与其长(实)轴所在直线 的交点作椭圆(双曲线,抛物线)的两条切线,则切点弦长等于该 椭圆(双曲线,抛物线)的通径.
Y

A
A1 F1 O F2 A2X

B

性质2 过椭圆(双曲线,抛物线)的焦点F1的直线交椭圆 (双曲线,抛物线)于A,B两点,过A,B两点作椭圆(双曲 线,抛物线)的切线交于点P,则P点的轨迹是焦点F1的对应 的准线,并且


PF1 ? AB
Y

A P B

F1

O

F2

X

例题1: 如图,设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为F,动点P在直线 l : x ? y ? 2 ? 0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB, 且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
2 2 ( x , x ) 和 ( x , x 0 1 1 )(( x1 ? x0 ) 解:设切点A、B坐标分别为

∴切线AP的方程为: 切线BP的方程为: 解得P点的坐标为:

2 2x0 x ? y ? x0 ? 0;

2x1 x ? y ? x12 ? 0;
x0 ? x1 xP ? , y P ? x0 x1 2
xG ? x0 ? x1 ? x P ? xP 3
2

所以△APB的重心G的坐标为:
2 0 2 1

y0 ? y1 ? y P x ? x ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) ? x0 x1 yG ? ? ? ? 3 3 3

4xP ? y p 3

2

,

所以

2 y p ? ?3 yG ? 4xG

由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:

1 x ? (?3 y ? 4 x ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3
2

?

圆锥曲线的切点弦方程
◆ 设P( x0 , y0 )为圆x2 ? y 2 ? r 2外一点,则切点弦的方程为:

xx0 ? yy0 ? r 2。
x2 y 2 ◆ 设P( x0 , y0 )为椭圆 2 ? 2 ? 1外一点,过该点作椭圆的两条切线, a b xx0 yy0 切点为A,B则弦AB的方程为:

a

2

?

b

2

?1

2 2 x y ◆ 过P( x0 , y0 )为双曲线 2 ? 2 ? 1的两支作两条切线,则切点弦方程为: a b

xx0 yy0 ? 2 ?1 2 a b

◆ 设P( x0 , y0 )为抛物线y2 ? 2 px开口外一点,则切点弦的方程为:

yy0 ? p( x ? x0 )

例题2:

x2 y 2 对于圆锥曲线 2 ? 2 ? 1,过点P(m, 0),作两条切线, a b 切点为A,B,求证直线AB恒过定点
Y

证:设A( x1 , y1),B( x2 , y2 )
x1 x y1 y 则过A点的切线方程l1: 2 ? 2 ? 1 a b
x2 x y2 y 则过B点的切线方程l2: 2 ? 2 ? 1 a b
因为P在直线l1和直线l2上,所以 mx1 mx2 ? 1 和 ?1 2 2 a a
P

A F1 H B O F2
X

a2 a2 所以直线AB的方程为x ? ,即恒过定点H ( , 0) m m

例题3:
已知椭圆x 2 ? 2 y 2 ? 1, P是在直线4 x ? 3 y ? 12上一点, 由向已知椭圆作两切线,切点分别为A,B,问 当直线AB与两坐标轴围成的三角形OMN面积最小, 最小值为多少?

解:设P点坐标为P(x0 ,y0),所以切点弦所在直线方程为:
y

xx0 ? 2 yy0 ? 1.
1 1 所以M ( ,0),N(0, ) x0 2y0
SOMN 1 ? 4 x y0
0

P

A O

N

B

又 4x0 ? 3 y0 ? 12 ? 4 3x y
0

0

3 ? x y 0 ? 3, 当且仅当4 x0 ? 3 y0,即x0 ? ,y0 ? 2 0 2
此时SOMN 1 3 ? ,直线AB方程为 x ? 4 y ? 1 12 2
y P

A O

N

B

M

例题4:
已知 M:x2 +(y-2)2 ? 1, Q是x轴上的动点,QA, M于A,B两点。 QB分别切 4 2 (1):如果 AB ? ,求直线MQ的方程; 3 (2):求动弦AB的中点的轨迹方程。
解:设Q(t, 0),AB的中点为N, AB ?
2

4 2 1 ,? MN ? 3 3
M A N

由射影定理 MQ ? 3, ? t ?4 ?9 ? t= ? 5

B

?直线MQ的方程为? 2x+5y-2 5 ? 0

Q

(2)设Q(t,,则直线 0) AB的方程为tx-2(y-2)=1
x y 直线MQ的方程为 ? ? 1, t 2
t 2t ? 6 交点N的坐标为( 2 , 2 ), t ?4 t ?4
2

B
M A Q N

? ? x ? t2 ? 4 ?点N的参数方程为? 2t2 ?6 y? 2 ? ? t ?4
t

7 ?点N的轨迹方程为x ? y ? y ? 3 ? 0 2
2 2

思考题:
已知P是直线l:y ? x+3上一点,过点P作抛物线 y ? 2 x的两条切线,切点分别为A,B.求?PAB面积
2

的最小值。
y l B P x A


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