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浙江省杭州市建德市严州中学2014-2015学年高二上学期1月月考数学(文)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高二(上)1 月月 考数学试卷(文科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.直线 y=﹣ x+1 的倾斜角的大小是( ) A. 135° B. 120° C. 60° D. 30° 2.已知某几何体的三视图如图所示,其中侧(左)视图是等腰直角三角形,正视图是直角 三角形,俯视图 ABCD 是直角梯形,则此几何体的体积为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面 积等于( ) A. a B. 2
2

a C.

2

a D.

2

a

2

5.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的 余弦值为( ) A. B. C. D.

6.已知直线 m,l,平面α,β,且 m⊥α,l? β,给出下列命题: ①若α∥β,则 m⊥l; ②若α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则α∥β ④若 m∥l,则α⊥β 其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.对任意的实数 k,直线 y=kx﹣1 与圆 x +y ﹣2x﹣2=0 的位置关系是( A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上三个选项均有可能

2

2



8.已知双曲线

与椭圆

有公共焦点,右焦点为 F, )

且两支曲线在第一象限的交点为 P,若|PF|=2,则双曲线的离心率为( A. 5 B. C. D. 2

9.设椭圆

的离心率为 ,右焦点为 F(c,0) ,方程 ax +bx﹣c=0

2

的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2) ( ) 2 2 2 2 A. 必在圆 x +y =2 内 B. 必在圆 x +y =2 上 2 2 C. 必在圆 x +y =2 外 D. 以上三种情形都有可能 10.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 1,P 为侧面 BB1C1C 内的动点,且 PA=2PB,则 P 点 所形成轨迹图形的长度为( )

A.

B.

C. π D.

二.填空题(本大题有 7 小题,每小题 5 分,共 28 分) 11.命题 p:a,G,b 成等比数列,命题 q:G= ,则 p 是 q 的 12.已知点 A(1,2)在直线 l 上的射影是 P(﹣1,4) ,则直线 l 的方程是 13.长方体的三条棱长分别为 1, 为 . ,

条件. .

,则此长方体外接球的体积与表面积之比

14.若关于直线 y=k(x﹣1)对称的两点 M,N 均在圆 C: (x+3) +(y﹣4) =16 上,且直线 2 2 MN 与圆 x +y =2 相切,则直线 MN 的方程是 .

2

2

15.已知双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右 .
2 2

支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为

16.已知 P,Q 分别是直线 l:2x﹣y﹣5=0 和圆 C: (x﹣1) +(y﹣2) =3 上的两个动点, 且直线 PQ 与圆 C 相切,则|PQ|的最小值是 . 17.设直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π) ,对于下列四个命题: (1)M 中所有直线均经过一个定点; (2)存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上; (3)对于任意正整数 n(n≥3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上; (4)M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题的序号是 .

三.解答题(本大题有 5 小题,共 62 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.设 p:方程 x +y +kx+ky+k ﹣2=0 表示圆;q:函数 f(x)=(k﹣1)x+1 在 R 上是增函 数.如果 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,求实数 k 的取值范围.
2 2 2

19.已知 A(1,0) ,B(4,0) ,动点 T(x,y)满足 直线 l:y=kx+1 与曲线 C 交于 P,Q 两点. (1)求曲线 C 的方程; (2)若 ,求实数 k 的值;

,设动点 T 的轨迹是曲线 C,

(3)过点(0,1)作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与曲线 C 交于 M,N 两点,求四边形 PMQN 面积的最大值. 20.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)证明:AC=AB1; (Ⅱ)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值.

21. 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率 (1)求椭圆 C 的方程;

, 一个顶点的坐标为



(2) 椭圆 C 的左焦点为 F, 右顶点为 A, 直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 相交于 M, N 两点且



试问:是否存在实数λ,使得 S△FMN=λS△AMN 成立,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明 理由.

22.设椭圆 E:





两点,O 为坐标原

点 (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A、B,且 ?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.

2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高二(上) 1 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.直线 y=﹣ x+1 的倾斜角的大小是( ) A. 135° B. 120° C. 60° D. 30° 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 设直线 y=﹣ x+1 的倾斜角为θ(θ∈[0°,180°) ) ,可得 即可. 解答: 解:设直线 y=﹣ x+1 的倾斜角为θ(θ∈[0°,180°) ) , ∴ , ∴θ=120°. 故选:B. 点评: 本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题. 2.已知某几何体的三视图如图所示,其中侧(左)视图是等腰直角三角形,正视图是直角 三角形,俯视图 ABCD 是直角梯形,则此几何体的体积为( ) ,解出

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知判断出该几何体是一个底面为直角梯形,高为 2 的四棱锥,根据底面上底为 2,下底为 4,高为 2,计算出底面积,然后代入棱锥的体积公式,即可得到答案. 解答: 解:由三视图可得,几何体是一个四棱锥如图: 底面是一个上下底分别为 2 和 4,高为 2 的直角梯形,棱锥高为 2. 故 V= × ×(2+4)×2×2=4, 故选 D.

点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据三视图判断几何体的形状及相关棱 长的长度是解答的关键. 3.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 运用两直线平行的充要条件得出 l1 与 l2 平行时 a 的值,而后运用充分必要条件的知 识来解决即可. 解答: 解:∵当 a=1 时,直线 l1:x+2y﹣1=0 与直线 l2:x+2y+4=0, 两条直线的斜率都是﹣ ,截距不相等,得到两条直线平行, 故前者是后者的充分条件, ∵当两条直线平行时,得到 , )

解得 a=﹣2,a=1, ∴后者不能推出前者, ∴前者是后者的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题, 考查两条直线平行时要满足的条件, 本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式, 不要漏掉截距不等的条件, 本题是一个基 础题. 4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面 积等于( ) A. a B. 2
2

a C.

2

a D.

2

a

2

考点: 平面图形的直观图. 专题: 计算题. 分析: 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形的面积 S 与它 的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= 原平行四边形的面积即可. S,先求出直观图即正方形的面积,根据比值求出

解答: 解:根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= 边形的面积等于 =2 a.
2

S, 本题中直观图的面积为 a , 所以原平面四

2

故选 B. 点评: 考查学生灵活运用据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图 形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= S.

5.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的 余弦值为( ) A. B. C. D.

考点: 异面直线及其所成的角. 分析: 求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,其基本解题思路是“异面 化共面,认定再计算” ,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结 合余弦定理来求.还有一种方法是向量法,即建立空间直角坐标系,利用向量的代数法和几 何法求解.本题采用几何法较为简单:连接 A1B,则有 A1B∥CD1,则∠A1BE 就是异面直线 BE 与 CD1 所成角,由余弦定理可知 cos∠A1BE 的大小. 解答: 解:如图连接 A1B,则有 A1B∥CD1, ∠A1BE 就是异面直线 BE 与 CD1 所成角, 设 AB=1, 则 A1E=AE=1,∴BE= ,A1B= . .

由余弦定理可知:cos∠A1BE= 故选 C.

点评: 本题主要考查了异面直线所成的角,考查空间想象能力和思维能力. 6.已知直线 m,l,平面α,β,且 m⊥α,l? β,给出下列命题: ①若α∥β,则 m⊥l; ②若α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则α∥β

④若 m∥l,则α⊥β 其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 根据有关定理中的诸多条件, 对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定, 将由条件可能推出的其它的结论也列举出来. 解答: 解: (1)中,若α∥β,且 m⊥α? m⊥β,又 l? β? m⊥l,所以①正确. (2)中,若α⊥β,且 m⊥α? m∥β,又 l? β,则 m 与 l 可能平行,可能异面,所以② 不正确. (3)中,若 m⊥l,且 m⊥α,l? β? α与β可能平行,可能相交.所以③不正确. (4)中,若 m∥l,且 m⊥α? l⊥α又 l? β? α⊥β,∴④正确.故选 B. 点评: 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关 系,属于基础题. 7.对任意的实数 k,直线 y=kx﹣1 与圆 x +y ﹣2x﹣2=0 的位置关系是( A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上三个选项均有可能
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 将圆方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径 r,根据直线 y=kx﹣1 恒过(0,﹣1) , 判断得到(0,﹣1)在圆内,可得出直线与圆相交. 解答: 解:将圆方程化为标准方程得: (x﹣1) +y =3, ∴圆心(1,0) ,半径 r= , ∵直线 y=kx﹣1 恒过(0,﹣1) ,且(0,﹣1)到圆心的距离 d= = < =r,
2 2

∴(0,﹣1)在圆内, 则直线与圆的位置关系是相交. 故选 C 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,根据题意判断出直线 y=kx﹣1 恒过(0,﹣1)是 解本题的关键.

8.已知双曲线

与椭圆

有公共焦点,右焦点为 F, )

且两支曲线在第一象限的交点为 P,若|PF|=2,则双曲线的离心率为( A. 5 B. C. D. 2

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 根据题意求出椭圆的右焦点为 F(2,0) ,利用两点间的距离公式与椭圆的方程,算 出点 P 坐标为( , ) ,由点 P 在双曲线上且椭圆与双曲线有公共的焦点,建立关于 a、

b 的方程组,解出 a、b 之值再利用双曲线的离心率公式加以计算,可得答案. 解答: 解:∵椭圆 中,c= =2,∴椭圆的右焦点为 F(2,0) .

设椭圆与双曲线的交点为 P(m,n) , (m>0,n>0)

可得

,解之得 m= ,n=

,得 P 坐标为( ,

) ,

又∵双曲线

与椭圆有公共焦点,且经过点 P( ,

) ,



,解之得 a=1,b=



因此,双曲线的离心率 e= =2. 故选:D 点评: 本题给出有公共焦点的椭圆与双曲线,在已知它们的一个交点坐标的情况下求双曲 线的离心率.着重考查了椭圆和双曲线的标准方程、简单几何性质、两点间的距离公式等知 识,属于中档题.

9.设椭圆

的离心率为 ,右焦点为 F(c,0) ,方程 ax +bx﹣c=0

2

的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2) ( ) 2 2 2 2 A. 必在圆 x +y =2 内 B. 必在圆 x +y =2 上 2 2 C. 必在圆 x +y =2 外 D. 以上三种情形都有可能 考点: 椭圆的简单性质;点与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由题意可求得 c= a, b=
2 2

a, 从而可求得 x1 和 x2, 利用韦达定理可求得

+



值,从而可判断点 P 与圆 x +y =2 的关系. 解答: 解:∵椭圆的离心率 e= = , ∴c= a,b= = a,

∴ax +bx﹣c=ax + ∵a≠0, ∴x +
2

2

2

ax﹣ a=0,

x﹣ =0,又该方程两个实根分别为 x1 和 x2, ,x1x2=﹣ , =
2 2

∴x1+x2=﹣ ∴ +

﹣2x1x2= +1<2.

∴点 P 在圆 x +y =2 的内部. 故选 A. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,考查点与圆的位置关系,求得 c,b 与 a 的关系是关键, 属于中档题. 10.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 1,P 为侧面 BB1C1C 内的动点,且 PA=2PB,则 P 点 所形成轨迹图形的长度为( )

A.

B.

C. π D.

考点: 抛物线的定义;棱柱的结构特征. 专题: 计算题. 分析: 以点 D 为坐标原点建立空间直角坐标系,可求得 A,B 的坐标,设 P(x,1,z)利 用 PA=2PB,可求得 P 点所形成轨迹方程,从而可得答案. 解答: 解:以点 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD′为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0) ,B(1,1,0) , ∵P 为侧面 BB1C1C 内的动点,故点 P 的纵坐标为 1, 设 P(x,1,z) , 则|PA|= ∵PA=2PB, ∴ ∴(x﹣1) +z = , ∴点 P 是以(1,1,0)为圆心,以 为半径的球与面 BB1C1C 内相交的圆面.
2 2

,|PB|=



=4



∴轨迹图形的长度为该圆的周长 2π×

=



故选 B. 点评: 本题考查空间两点间的距离公式,考查动点的轨迹方程,求得 P 点所形成轨迹方程 是难点,也是关键,属于中档题. 二.填空题(本大题有 7 小题,每小题 5 分,共 28 分) 11.命题 p:a,G,b 成等比数列,命题 q:G= ,则 p 是 q 的 既不充分也不必要 条 件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可. 解答: 解:∵﹣1,﹣1,﹣1 成等比数列,∴G= 不成立, 当 a=b=G=0,满足=G= ,但 a,G,b 成等比数列不成立, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件, 故答案为:既不充分也不必要. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用等比数列的性质是解决本题的关键. 12.已知点 A(1,2)在直线 l 上的射影是 P(﹣1,4) ,则直线 l 的方程是 x﹣y+5=0 . 考点: 直线的点斜式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 本题考查的知识点是直线的一般式方程,由 a(1,2)在直线 l 上的射影为 P(﹣1, 4) ,可知直线 l 与 PA 垂直,且经过 P 点,由 PA 两点的坐标我们求出直线 PA 的斜率,然后 根据两直线垂直,其斜率乘积为﹣1,我们可得直线 l 的斜率,代入点斜式方程,即可得到 答案. 解答: 解:∵A(1,2) ,P(﹣1,4) , ∴kPA=﹣1 又由 A 在直线 l 上的射影为 P ∴l 与直线 PA 垂直,即:kl? kPA=﹣1 ∴kl=1 则直线 l 的方程为: (y﹣4)=1×(x+1) 整理得:x﹣y+5=0. 故答案为:x﹣y+5=0. 点评: 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件, 用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距 式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线, 故在解题时, 若采用截距式, 应注意分类讨论, 判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.

13. 长方体的三条棱长分别为 1,



, 则此长方体外接球的体积与表面积之比为



考点: 球的体积和表面积.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据长方体的外接球的直径是长方体的对角线,求刍长方体外接球的直径是 3,即 可得出体积与面积之比. 解答: 解:由题意知,长方体的外接球的直径是长方体的对角线. ∵长方体的三条棱长分别为 1, , , ∴长方体外接球的直径为 =3, 即半径为 . ∴长方体外接球的体积为 = ,表面积为 =9π.

∴长方体外接球的体积与表面积之比为 . 故答案为: . 点评: 本题考查球的体积与表面积,考查球与长方体之间的关系,了解长方体的外接球的 直径是长方体的对角线是关键. 14.若关于直线 y=k(x﹣1)对称的两点 M,N 均在圆 C: (x+3) +(y﹣4) =16 上,且直线 2 2 MN 与圆 x +y =2 相切,则直线 MN 的方程是 y=x+2 . 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由对称性可知圆心 C 在直线 y=k(x﹣1)上,求出 k 的值,利用直线垂直关系求出 MN 的斜率,利用直线和圆相切即可得到结论. 解答: 解:∵关于直线 y=k(x﹣1)对称的两点 M,N 均在圆 C 上, ∴圆心 C(﹣3,4)在直线 y=k(x﹣1)上,且 MN 垂直直线 y=k(x﹣1) , 即 4=(﹣3﹣1)k=﹣4k, 解得 k=﹣1, ∴MN 的斜率 k=1, 设直线 MN 的方程为 y=x+b,即 x﹣y+b=0, ∵直线 MN 与圆 x +y =2 相切, ∴圆心 O 到直线的距离 d= 即|b|=2,解得 b=2 或 b=﹣2, ∵M,N 均在圆 C 上, ∴圆心 C 到直线的距离 d= 即|b﹣7| , 即 7﹣4 <b<7+4 , 故 b=﹣2 不满足条件, 故 b=2, 直线 MN 的方程是 y=x+2, 故答案为:y=x+2 , ,
2 2 2 2

点评: 本题主要考查直线方程的求解,根据条件求出 k 的值,以及利用直线和圆相切的等 价条件是解决本题的关键.

15.已知双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右

支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先设 P 点坐标,进而根据双曲线的定义可知丨 PF1 丨=ex+a,丨 PF2 丨=ex﹣a,根据 |PF1|=4|PF2|求得 e 和 a,x 的关系式,进而根据 x 的范围确定 e 的范围,求得 e 的最小值. 解答: 解:设 P(x,y) ,由焦半径得丨 PF1 丨=ex+a,丨 PF2 丨=ex﹣a, ∴ex+a=4(ex﹣a) ,化简得 e= ∵p 在双曲线的右支上, ∴x≥a,所以 e≤ ,即 e 的最大值是 故答案为: 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的关键是利用了双曲线的定义,灵活利用 了焦半径与离心率之间的关系. 16.已知 P,Q 分别是直线 l:2x﹣y﹣5=0 和圆 C: (x﹣1) +(y﹣2) =3 上的两个动点, 且直线 PQ 与圆 C 相切,则|PQ|的最小值是 . 考点: 圆的切线方程;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 结合图形,由题意知,PQ +CQ =CP ,要求|PQ|的最小值即是求|CP|的最小值,而|CP| 的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离,进而可求出|PQ|的最小值. 解答: 解:由于圆 C: (x﹣1) +(y﹣2) =3, 则 C(1,2) ,半径 r 为: 又由直线 PQ 与圆 C 相切, 故|PQ| +|CQ| =|CP| ,即|PQ| =|CP| ﹣|CQ| =|CP| ﹣3, 由于 C(1,2)到直线 l:2x﹣y﹣5=0 的距离为: 故|PQ| min=5﹣3=2,故|PQ|的最小值是 故答案为:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2







点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查计算能力以及转化思想的应用. 17.设直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π) ,对于下列四个命题: (1)M 中所有直线均经过一个定点; (2)存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上; (3)对于任意正整数 n(n≥3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上; (4)M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题的序号是 (2) , (3) . 考点: 过两条直线交点的直线系方程. 专题: 计算题. 分析: 先弄清直线系 M 中直线的特征,直线系 M 表示圆 x +(y﹣2) =1 的切线的集合, 再判断各个结论的正确性. 解答: 解:由 直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π) , 可令
2 2 2


2 2 2

消去θ可得 x +(y﹣2) =1,故 直线系 M 表示圆 x +(y﹣2) =1 的 切线的集合,故(1)不正确. 因为对任意θ,存在定点(0,2)不在直线系 M 中的任意一条上,故(2)正确. 由于圆 x +(y﹣2) =1 的外切正 n 边形,所有的边都在直线系 M 中, 故(3)正确. M 中的直线所能围成的正三角形的边长不一等,故它们的面积不一定相等, 如图中等边三角形 ABC 和 ADE 面积不相等,故(4)不正确. 综上,正确的命题是 (2) 、 (3) , 故答案为: (2) 、 (3) .
2 2

点评:本题考查直线系方程的应用, 要明确直线系 M 中直线的性质, 依据直线系 M 表示圆 x + 2 (y﹣2) =1 的切线的集合,结合图形,判断各个命题的正确性. 三.解答题(本大题有 5 小题,共 62 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.设 p:方程 x +y +kx+ky+k ﹣2=0 表示圆;q:函数 f(x)=(k﹣1)x+1 在 R 上是增函 数.如果 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,求实数 k 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 阅读型. 分析: 对方程配方,可得命题 p 为真时的条件;根据一次函数为增函数可得命题 q 为真时 的条件.根据复合命题真值表,可得 p 与 q,一真一假,由此可得 k 的范围. 解答: 解:方程 x +y +kx+ky+k ﹣2=0? 方程表示圆,则 2﹣ >0? k <4? ﹣2<k<2,
2 2 2 2 2 2 2

2

+

=2﹣



∴命题 p 为真时:﹣2<k<2, 由函数 f(x)=(k﹣1)x+1 在 R 上是增函数.得:k>1, ∴命题 q 为真时:k>1, 若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,由复合命题真值表得:p 与 q,一真一假. 若 p 真 q 假,则有 ? ﹣2<k≤1;

若 p 假 q 真,则有

? k≥2.

综上所述,实数 k 的取值范围是﹣2<k≤1 或 k≥2. 点评: 本题借助考查复合命题的真假判断,考查了圆的标准方程与一次函数的单调性,要 熟练掌握复合命题真值表.

19.已知 A(1,0) ,B(4,0) ,动点 T(x,y)满足 直线 l:y=kx+1 与曲线 C 交于 P,Q 两点. (1)求曲线 C 的方程; (2)若 ,求实数 k 的值;

,设动点 T 的轨迹是曲线 C,

(3)过点(0,1)作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与曲线 C 交于 M,N 两点,求四边形 PMQN 面积的最大值. 考点: 轨迹方程;平面向量数量积的运算;点到直线的距离公式. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)设 D(x,y)为曲线 C 上任一点,由动点 T(x,y)满足 间距离公式能求出曲线 C 的方程. ,利用两点

(2)因为

,所以

,∠POQ=120°,由此利

用圆心到直线 l:kx﹣y+1=0 的距离能求出 k. (3)当 k=0 时,四边形 PMQN 面积为 4 .当 k≠0 时,圆心到直线 l:kx﹣y+1=0 的距离 ,SPMQN= =2 ? ,由此能求出四边形 PMQN 面积最

大值. 解答: 解: (1)设 D(x,y)为曲线 C 上任一点, ∵动点 T(x,y)满足 ,


2 2



化简整理得 x +y =4. 2 2 ∴曲线 C 的方程为 x +y =4. (3 分) (2)因为 所以 ,∠POQ=120°, ,

所以圆心到直线 l:kx﹣y+1=0 的距离 所以 k=0. (6 分) (3)当 k=0 时, ,



当 k≠0 时,圆心到直线 l:kx﹣y+1=0 的距离



所以



同理得



∴SPMQN=

=2

?



S=2 当且仅当 k=±1 时取等号, ∴当 k=±1 时,Smax=7,

≤2× =7,

综上所述,当 k=±1 时,四边形 PMQN 面积有最大值 7. 点评: 本题考查曲线方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,考查四边形面积的最大 值的求法,解题时要认真审题,注意向量知识、两点间距离公式、点到直线的距离公式等知 识点的合理运用. 20.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)证明:AC=AB1; (Ⅱ)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间向量的夹角与距离求解公式. 专题: 空间向量及应用. 分析: (1)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO,可证 B1C⊥平面 ABO,可得 B1C⊥AO,B10=CO, 进而可得 AC=AB1; (2)以 O 为坐标原点, 的正方向, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度, 的方向为 y 轴

的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可

得所求余弦值. 解答: 解: (1)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO, ∵侧面 BB1C1C 为菱形, ∴BC1⊥B1C,且 O 为 BC1 和 B1C 的中点, 又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面 ABO, ∵AO? 平面 ABO,∴B1C⊥AO, 又 B10=CO,∴AC=AB1, (2)∵AC⊥AB1,且 O 为 B1C 的中点,∴AO=CO, 又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB, ∴OA,OB,OB1 两两垂直, 以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度,

的方向为 y 轴的正方向,

的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,

∵∠CBB1=60°,∴△CBB1 为正三角形,又 AB=BC, ∴A(0,0, ∴ =(0, ) ,B(1,0,0, ) ,B1(0, , ) , = ,0 ) ,C(0, ) , ,0) = =(﹣1, ,0) ,

=(1,0,

设向量 =(x,y,z)是平面 AA1B1 的法向量,



,可取 =(1,



) ,

同理可得平面 A1B1C1 的一个法向量 =(1,﹣ ∴cos< , >= = ,



) ,

∴二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值为 点评: 本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.

21. 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率 (1)求椭圆 C 的方程;

, 一个顶点的坐标为



(2) 椭圆 C 的左焦点为 F, 右顶点为 A, 直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 相交于 M, N 两点且



试问:是否存在实数λ,使得 S△FMN=λS△AMN 成立,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明 理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设椭圆的标准方程为 坐标为 ,利用离心率 ,一个顶点的

,求出几何量,即可求椭圆 C 的方程; ,结合韦达

(2)直线方程代入椭圆方程,利用 定理,代入即可得出结论. 解答: 解: (1)由题意设椭圆的标准方程为 ,







∴a ﹣c =3,解得:a=2. ∴椭圆 C 的方程为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

2

2

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
2 2 2



得(3+4k )x +8mkx+4(m ﹣3)=0,

△=64m k ﹣16(3+4k ) (m ﹣3)>0, 2 2 ∴3+4k ﹣m >0. .

2 2

2

2

. ∵A(2,0) , ∴ ∴y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0, ∴
2 2




2 2

∴7m +16mk+4k =0,解得

,且满足 3+4k ﹣m >0.

当 m=﹣2k 时,l:y=k(x﹣2) ,直线过定点(2,0) ,与已知矛盾; 当 时, ,直线过定点 . . .

综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 F(﹣1,0) ,S△FMN:S△AMN=|PF|:|AP|=3:4. ∴存在 ,使得

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查椭圆的方程与几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运 用,考查学生的计算能力,属于中档题.

22.设椭圆 E:





两点,O 为坐标原

点 (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A、B,且 ?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 分析: (1)利用待定系数法,可求椭圆 E 的方程; (2)分类讨论,设出切线方程与椭圆方程联立,要使 达定理,即可求解. 解答: 解: (1)因为椭圆 E: (a,b>0)过 M(2, ) ,N( ,1)两点, ,需使 x1x2+y1y2=0,结合韦

所以

,解得



所以



所以椭圆 E 的方程为

(5 分)

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ,设该圆的切线方程为 y=kx+m.

解方程组

得 x +2(kx+m) =8,即(1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0,

2

2

2

2

2

则△=16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣8)=8(8k ﹣m +4)>0, 2 2 即 8k ﹣m +4>0,

2 2

2

2

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

(7 分)

. 要使 ,需使 x1x2+y1y2=0,即 ,

所以 3m ﹣8k ﹣8=0,所以

2

2



又 8k ﹣m +4>0,所以

2

2



所以

,即



, ,

因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为

所以

,所以



所以所求的圆为

,此时圆的切线 y=kx+m 都满足





而当切线的斜率不存在时,切线为

与椭圆

的两个交点为

或 综上, 存在圆心在原点的圆 B,且 . (13 分)

,满足



, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,

点评: 本题考查利用待定系数法求椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识 的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.


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