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2019高中数学 第2章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程1 圆的方程学案 苏教版必修2

圆的方程

一、考点突破 知识点
圆的方程

课标要求
1. 了解圆的一般方程 的特点,会由一般方程 求圆心和半径; 2. 会根据给定的条件 求圆的一般方程和标 准方程,并能用圆的一 般方程、标准方程解决 简单问题

题型
选择题 填空题 解答题

说明
注意用代数方法研 究几何问题以及对数形 结合思想的理解和对待 定系数法的加强运用

二、重难点提示 重点:圆的标准方程、一般方程及其应用。 难点:会根据不同的已知条件求圆的标准方程、应用圆的标准方程解题;二元二次方程
同圆的一般式的关系。

考点一:圆的标准方程 1. 以 C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。 2. 以原点为圆心,r 为半径的圆的标准方程为 x2+y2=r2。
【注意】 能根据圆心的坐标和圆的半径写出圆的标准方程;能根据圆的标准方程写出圆心的坐
标和圆的半径。此外利用圆的标准方程也可较容易地反映点与圆的位置关系。

考点二:点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r,则点与圆的位置关系对应如下:

位置关系

点在圆外 点在圆上 点在圆内

d 与 r 的大小关系

d>r

d=r

d<r

【规律总结】点与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法:根据点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小判断;

(2)代数法:根据点的坐标与圆的方程的关系判断:

①已知点 M (x0, y0 ) ,圆的方程 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 ,则有: (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆外; (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆上; (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆内。

1

②已知点 M (x0, y0 ) ,圆的方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则有: x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ? 点在圆外; x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ? 点在圆上; x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ? 点在圆内。

考点三:圆的一般方程

1. 圆的一般方程的定义 当 D2+E2-4F>0 时,称二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 为圆的一般方程,圆心为(-

D ,- E ),半径为 D2 ? E 2 ? 4F 。

22

2

2. 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的图形

方程的条件

方程的解 的情况

图形

D2+E2-4F<0

没有实数解

不表示任何图形

D2+E2-4F=0 D2+E2-4F>0 【要点诠释】

只有一个实数解 有无数个实数解

表示一个点(- D ,- E ) 22

表示以(- D ,- E )为圆心,以

2

2

1 D2 ? E2 ? 4F 为半径的圆 2

(1)圆的一般方程的形式特点:
① x2 、 y 2 的系数相同且不为零; ② 不含 xy 项。

(2)形如 Ax2 ? Bxy ? Cy2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的方程表示圆的条件:

① A ? C ? 0 ;② B ? 0 ;③ ( D)2 ? ( E )2 ? 4( F ) ? 0 即 D2 ? E2 ? 4AF ? 0 。

AA

A

例题 1 (求圆的方程) (1)求圆心在直线 x-2y-3=0 上,且过点 A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准 方程。 (2)求过三点 O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和 圆心坐标。 思路分析:(1)解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出 方程用待定系数法求解。 (2)设圆的一般方程,利用待定系数法求解方程,并写出半径和圆心坐标即可。 答案:(1)方法一 设点 C 为圆心, ∵点 C 在直线 l:x-2y-3=0 上, ∴可设点 C 的坐标为(2a+3,a), 又∵该圆经过 A、B 两点,∴|CA|=|CB|,
∴ (2a ? 3 ? 2)2 ? (a ? 3)2 ? (2a ? 3 ? 2)2 ? (a ? 5)2 ,解得 a=-2,
2

∴圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r= 10 , 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。

方法二 设所求圆的标准方程为

(x-a)2+(y-b)2=r2,

?(2 ? a)2 ? (?3 ? b)2 ? r2

?a ? ?1

由条件知

? ?(?2

?

a)2

?

(?5 ? b)2

?

r2

,解得

??b

?

?2

??a ? 2b ? 3 ? 0

? ?

r

2

? 10

故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。

方法三 线段 AB 的中点为(0,-4),kAB= ?3 ? (?5) = 1 , 2 ? (?2) 2

所以弦 AB 的垂直平分线的斜率 k=-2,

所以线段 AB 的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即 y=-2x-4。

故圆心是直线

y=-2x-4

与直线

x-2y-3=0

的交点,由

? ? ?

y x

? ?2x ? 2y ?

? 3

4 ?

0

,得

? ? ?

x y

? ?

?1 ?2



即圆心为(-1,-2),圆的半径为 r= (?1? 2)2 ? (?2 ? 3)2 ? 10 ,

所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。 (2)设圆的一般式方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0。(*)

由题意可知点 O(0,0),M(1,1),N(4,2)满足(*)式

?F ? 0

?D ? ?8



? ?

D

?

E

?

F

?

2

?

0

,解得

? ?

E

?

6

??4D ? 2E ? F ? 20 ? 0

??F ? 0

所以,所求圆的方程是 x2+y2-8x+6y=0。

圆心坐标是(4,-3),半径 r= 1 (?8)2 ? 36 =5。 2
技巧点拨:

(1)对于由已知条件易求圆心坐标和半径,或需要用圆心坐标和半径列方程的问题,

往往设出圆的标准方程,用待定系数法求解。由于圆的标准方程中含有 a、b、r 三个参数,

所以必须具备三个独立条件,才能求出一个圆的标准方程,用待定系数法求圆的方程,即列

出关于 a,b,r 的方程组,解方程组求 a,b,r。一般步骤如下:

(2)一般地,由题意知道所求的圆经过几点且不易得出圆心和半径时,常选用一般式。 而圆的一般式方程中也含有三个未知参数,故求解时,也需要三个独立的条件。
1. ( 泰 州 检 测 ) 以 线 段 AB : x + y - 2 = 0 ( 0≤x≤2 ) 为 直 径 的 圆 的 标 准 方 程 为
3

______________。 思路分析:∵AB:x+y-2=0(0≤x≤2)
∴A(0,2),B(2,0),AB= (0 ? 2)2 ? (2 ? 0)2 =2 2 。 ∴点 A、B 的中点为(1,1), 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2。 答案:(x-1)2+(y-1)2=2 2.(辽宁高考)已知圆 C 经过 A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为
________。
思路分析:设圆心坐标为(a,0),易知 (a ? 5)2 ? (?1)2 = (a ?1)2 ? (?3)2 , 解得 a=2, ∴圆心为(2,0),半径为 10 , ∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10。 答案:(x-2)2+y2=10
例题 2 (圆的方程的实际应用) (无锡检测)有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之 一购得商品后,运回的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍。已知 A、B 两地 相距 10 km,顾客选 A 或 B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低。求 A、 B 两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购 货地点。 思路分析:解答本题可先根据题意画出示意图,建立适当的平面直角坐标系,再从价格 和运费入手构建等式或不等式关系,用坐标法求解。

答案:如图所示,以 A、B 所确定的直线为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐标原点,建立直 角坐标系,则 A(-5,0),B(5,0),
设某地 P 的坐标为(x,y)。 且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜, 并设 A 地运费为 3a 元/km,B 地运费为 a 元/km, 价格+QA 地运费≤价格+QB , 地运费
∴3a (x ? 5)2 ? y2 ≤a (x ? 5)2 ? y2 。

∵a>0,∴3 (x ? 5)2 ? y2 ≤ (x ? 5)2 ? y2 ,

两边平方得 9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2,

即(x+ 25 )2+y2≤( 15 )2。

4

4

∴以点 C(- 25 ,0)为圆心, 15 为半径的圆是这两地售货区域的分界线。

4

4

圆 C 内的居民从 A 地购货便宜;圆 C 外的居民从 B 地购货便宜;圆 C 上的居民从 A、B

两地购货的总费用相等,可随意从 A、B 两地之一购货。

技巧点拨:

4

1. 本题是一个实际问题,先建立适当的直角坐标系,通过建立数学模型来解决,利用 点与圆的位置关系来解决,这种解决有关几何问题的方法叫作“解析法”。明确题意,建立 恰当的数学模型是解决实际问题的关键。
2. 用解析法解决圆的方程实际问题的步骤:
求圆的标准方程时以“形”代“数”致误 例题 已知某圆圆心在 x 轴上,半径为 5,且截 y 轴所得线段长为 8,求该圆的标准方 程。
【错解】 如图,由题设知|AB|=8,|AC|=5。 在 Rt△AOC 中,
|OC|= AC 2 ? OA 2 = 52 ? 42 =3。
∴C 点坐标(3,0),∴所求圆的方程为(x-3)2+y2=25。 【错因分析】错解在求解过程中,只画出了圆心在 x 轴正半轴时的图形,而没有画出圆心在 x 轴负半轴的情况,从而产生漏解。 【防范措施】 借助图形解决数学问题,只能是定性地分析,而不能定量研究,要定量研究 问题,就应考虑到几何图形的各种情况,以上方法的错误就是考虑问题不全面所致。 【正解】 由题意设|AC|=r=5,|AB|=8,所以|AO|=4。
在 Rt△AOC 中,|OC|= AC 2 ? OA 2 = 52 ? 42 =3,
如图所示,
5

所以圆心坐标为(3,0)或(-3,0)。所以所求圆的方程为(x±3)2+y2=25。

1.(208·浙江省选考科目试绍兴市适应性)下列说法不正确的是

A.乙醇和醚是同分异构体B.14C和6O含有相同的中子数

C.甲酸和硬脂互为同系物

D.“纳米泡沫”是由无数个微小碳管组成的网状结构,C60同素异形体

2.下列说法正确的是()A.1C、34互为同位素,其中子数之比12∶34

B.氧气和臭互为同素异形体,两者之间可以相转化

C.乙二醇和丙三互为同系物

D.C5H10O属于醛的同分异构体有3种

3.下列说法正确的是()A.168O表示质量数为、中子的核素B.CH3—2在光照下与氯气反应,生成的一代物有种

C.H3O2和互为同系物

D.某有机物的名称为3?乙基丁烷

4.(2018·浙江省名校新高考研究联盟三第二次)下列说法中不正确的是

A.金刚石和墨互为同素异形体,两者之间的转化是学变

B.C.5H1l的同分异构体有8种



互为同系物

D.

与CH3O互为同分异构体

5.(2018·嘉兴市高三二模)下列说法不正确的是

A.C?12原子是指质数和中都6的核素B.35Cl与7互为同位素,两者核外电子排布相

C.H3O与互为同系物D.N3与2互为同素异形体

6.(2018·绍兴市高三选考科目适应性试)下列说法不正确的是A.126C和4互为同位素

B.金刚石和墨互为同素异形体

C.H3O2和互为同分异构体

D.CH4和3l互为同系物7.(2018·浙江省十校联盟选考3月适应性试)下列说法正确的是A.1H2O和2表示氢元素的二种核

B.C60和金刚石互为同素异形体,它们都是分子晶

C.HO和3互为同系物

D.丙氨酸CH3(N2)O与互为同分异构体

8.(201·浙江教育绿色评价联盟3月适应性考试)下列说法正确的是A.氧气和臭互为同素异形体,它们之间的变属于物理化

B.3种氢核素与2氧,可组成6不同的水分子

C.乙醇和二互为同系物

D.组成为C9H12,在苯环上同时存3个—的异构体有种

9.(2018·杭州市余区高二上学期末)下列说法正确的是

A.B.红磷与白互为同素异形体



C.H32O与互为同系物D.35Cl与7为同一种核素

10.(28·嘉兴市第一中学高二下期末)列说法不正确的是A.32He的中子数是

B.白磷、红互为同素异形体C.18O和6互为同位素

D.正丁烷和异互为同分构体

1.(208·杭州市学军中3月高三选考模拟)下列关于有机化合物的说法正确是

A.H2与D互为同素异形体B.符合CnH2+且不同的烃一定属于系物

C.H2l有种同分异构体D.碳元素有多种核,其中13C可用于考古断代

12.(08·杭州市学军中高三选考前适应性练习)下列说法不正确的是

A.金刚石、墨与C60互为同素异形体

B.软脂酸(C15H3O)和硬7互为同系物

C.丙烷与氯气反应,可得到沸点不同的3种一代物

D.C(H3)4的名称是2,?二甲基丙烷

速练6 同位素、系物异形体分构的辨析判断 互为同分异构体

6

答案精析 1.A[项,乙醇和甲醚是同分异构体错误;B14C的中子数为8,6O所以含有相正确酸硬脂都符合通式nH2饱一元故互系物。] 2.B3.C45.C[A项,原子中质量数=+?12是指和都6的碳正确;B35l与7互为同位素二者核外电相所以排布H3O属于醇类醚官能团不系物错误D异形体一种元组成单N。] 6.D[A项,同位素:质子数相等中不的一元核互为正确;B异形体种成单金刚石和墨都是碳组结构C分式化合物两者均4H8O2前属于酯后羧酸含有官能团烷烃卤代错误。]7.D[1H和2表示氢元素的二种核,故A错误;金刚石是原子晶体BOC3不相差1个2团同系物丙氨酸(N)与分式、结构所以互为异正确。] 8.D[A项,氧气和臭互为同素异形体它们之间的变属于化学错误;B3种氢核与2可组成1不水分子C乙醇二官能团数目是系物9H在苯环上时存个—构有正确。]9.B10.A[项,32He的中子数是3-=错误;B白磷、红元素形成不同单质互为异体正确C18O和6相而位D丁烷分式结构。] 1.B2.C
7


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