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2018甘肃省第一次诊断文科数学答案


2018 年甘肃省第一次高考诊断文科数学考试参考答案及评分标准

一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9. D 10.A 11.B 12.C

12. 提示:由已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( ?3 ? x) = f (3 ? x) ,可知函数是周 期 函 数 T = 6 则 f (1) = f (?1) = ?( ?1 + 2) = ?1 , f ( 2) = f (?2) = ?( ?2 + 2) = 0 ,
2 2

f (3) = f (?3) = ?(?3 + 2) 2 = ?1 , f (4) = f (?2) = ?(?2 + 2) 2 = 0 , f (5) = f (?1) = ?(?1 + 2) 2 = ?1 , f (6) = f (0) = 2 0 + 1 = 2 ,则有 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (6) = ?1 ,

f (1) + f (2) + f (3) + ??? + f (2018) = 336 × ( ?1) ? 1 + 0 = ?337.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.

2 5

14. x ? y + 1 = 0

15.甲

16. 2

16. 提示:如图,设 OF 的中点为 T,由点 A 与 OF 中点的连 线与 OF 垂直可知 AT⊥OF, c c 又 A 在以 OF 为直径的圆上,∴A?2,2?,
a ∴a=b,∴e= 2.

又 A 在直线 y=

b

?

?

x 上,

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解: (Ⅰ)∵ m ⊥ n ,∴ cos B ? (2a + c) + cos C ? b = 0 ,

∴ cos B ? (2sin A + sin C ) + cos C ? sin B = 0 , ∴ 2 cos B sin A = ?(sin C ? cos B + cos C ? sin B ) = ? sin( B + C ) = ? sin A ,

1 2π ∴ cos B = ? ,∴ B = . 2 3

……………………6 分

第一次诊断文科数学答案 第 1 页(共 5 页)

(Ⅱ)根据余弦定理可知 b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B,∴ 49 = a 2 + c 2 + ac, 又因为 a + c = 8,∴ ( a + c ) 2 = 64,∴ a 2 + c 2 + 2ac = 64, ∴ ac = 15, 则S =

1 15 3 ac ? sin B = . 2 4

……………………12 分

18.解: (Ⅰ)如折线图数据可知

x= y=

2008 + 2010 + 2012 + 2014 + 2016 = 2012 , 5 236 + 246 + 257 + 276 + 286 = 260.2 , 5
∧ ∧

……………………2 分

……………………4 分

代入线性回归方程 y = 6.5 x + a 可得 a = -12817.8 , 将 x=2018 代入方程可得 y = 299.2 千万立方米.




……………………6 分

(Ⅱ)根据分层抽样可知 A 类,B 类,C 类抽取人数分别为 1 辆,2 辆,3 辆….7 分 分别编号为 A,B1,B2,C1,C2,C3.基本事件有(A,B1) (A,B2) (A,C1) (A,C2) (A, C2) (B1, C3) (B2, C1) (B2, C2) (B2, C3) (C1, C2) (C1, C3) (C2, C3) (B1,B2) (B1,C1) (B1, C3)共 15 种 ………………………………10 分

设“恰好有 1 辆车享受 3.4 万元补贴”为事件 D,则 P ( D) = 19. 证明: (Ⅰ)其底面四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, 则有 BD⊥ AC,∵ BB1 ⊥平面 ABCD ,∴ AC⊥ BB1 而 BB1 ∩ BD = B ,

3 5

……………12 分 B1 C1

A1

B A D ……………………6 分

∴ AC⊥平面 D BB1 B1 D ? 平面 D BB1 , , ∴ B1D⊥AC.

C

第一次诊断文科数学答案 第 2 页(共 5 页)

解: (Ⅱ)利用等体积法 VC1 ? A1B1D = V D ? A1B1C1 , 根据题目条件可求出 A1 B1 = 1, A1 D = 设点 C1 到平面 A1B1D 的距离为 d,

7 , B1 D = 2 2 ,可知 ΔA1 B1 D 是直角三角形

1 1 1 VC1 ? A1B1D = ? SΔA1B1D ? d = × × 1 × 7 ? d , 3 3 2 1 1 1 3 VD ? A1B 1 C1 = ? SΔA1B 1 C1 ? BB1 = × × 1 × 1 × × 2, 3 3 2 2
解得 d =

21 . 7

……………………12 分

? b2 9 2 ? a + 4c = 2 , ? x2 ? 2 20.(Ⅰ)解:由题意可知 ? a = 2b , ? ? 解得椭圆方程是 + y 2 = 1 .…………4 分? 2 ?a 2 = b2 + c 2 , ? ? ?
( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 P (1,

2 ) 则 有 Q ( ?1, 2 ) 代 入 y 2 = mx 可 得 抛 物 线 方 程 是 2 2

1 y2 = ? x 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………………6 分?
若直线 l 斜率存在,设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 满足椭圆方程?

? x12 + y12 = 1, ? ( x + x2 )( x1 ? x2 ) ? 2 两式作差可得 1 + ( y1 + y2 )( y1 ? y2 ) = 0 ,? ? 2 2 x 2 ? 2 + y = 1, 2 ? ? 2
? A,B 的 中 点 M 落 在 直 线 y = 2 x 上 则 有 y1 + y 2 = 2( x1 + x 2 ) 代 入 可 得

y1 ? y2 1 = ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………………………….8 分? x1 ? x2 4

第一次诊断文科数学答案 第 3 页(共 5 页)

1 ? 2 y = ? x, ? 1 ? 2 直线 l 方程可以设为 y = ? x + b 与抛物线方程联立: ? ? 4 1 ? y = ? x + b, ? ? 4
消元可得方程 y ? 2 y + 2b = 0, ?
2

直线与抛物线相切则有 Δ = 4 - 8b = 0 ? b =

1 ,则直线 l 的方程为 x + 4 y ? 2 = 0, ? 2

? x2 2 ? + y = 1, 2 与椭圆方程联立: ? 2 ? ? ? ? 消元可得方程 9 y ? 8 y + 1 = 0, ? ? ? x + 4 y ? 2 = 0,
Δ = 64 ? 4 × 9 = 28 > 0, 所以直线 x + 4 y ? 2 = 0 满足题意.?
若直线 l 斜率不存在时,直线 x=0 满足题意.? 所以,综上这样的直线 l 存在,方程是 x + 4 y ? 2 = 0 或 x = 0 .? ? ? …………………12 分? 21.(Ⅰ)解: f(x) 的定义域是 (0, + ∞), f ( ' x ) = ln x 所以 f ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1,+∞ ) 单调递增. (Ⅱ) ? ……………………2 分 …………4 分

1 3 1 2 1 1 x + x + a < x(ln x ? 1) ,令 g ( x) = ? x 3 + x 2 + a 则有? 3 2 3 2

g ( x) < f ( x) 在 x ∈ (0,+∞) 上恒成立? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………………………7 分?
即 g ( x) max < f ( x) min 在 x ∈ (0,+∞) 上恒成立? 由(Ⅰ)可知 ( f x ) min = f (1) = ?1 , g ( ' x ) = ? x + x ,?
2

x?

(0,1) ?
+? ?

1? 0? 极大值?

(1,+∞) ?
-? ? ………………………………10 分 ………………………………12 分

g( ' x) ?
g(x) ?
由表格可知 g ( x) max = g (1) = 则有

1 + a, 6

1 7 + a < ?1 ? a < ? . (方法不唯一) 6 6

第一次诊断文科数学答案 第 4 页(共 5 页)

( x - 3) + ( y -1) = 4 化为极坐标方程是 ρ = 2 3 cos θ + 2sin θ 22. 解: (Ⅰ)曲线 C1:
2 2

设曲线 C 2 上的点 Q ( ρ , θ ) 绕极点顺时针旋转

π π 后得到 P ( ρ , θ ? ) 在 C1 上代入可得 6 6
……………………………5 分

C 2 的极坐标方程是 ρ = 2 cos θ + 2 3 sin θ .
(Ⅱ)将 θ =

π ( ρ > 0) 分别代入 C1 、 C 2 的极坐标方程,得到 ρ1 = 2 3,ρ 2 = 4 3
……………………………………10 分

| AB |= ρ1 ? ρ 2 = 4 ? 2 3

23.(Ⅰ) f ( x + 1) ≥ 0 ? m ? x ? 1 ≥ 0 ? 1 ? m ≤ x ≤ 1 + m

f ( x + 1) ≥ 0 的解集为 [0,2] 可知 m = 1 .
(Ⅱ)

……………………………………5 分

1 1 1 + + = 1则 a 2b 3c

1 1 1 2b 3c a 3c a 2b + ) = 1+ + + +1+ + + +1 a + 2b + 3c = ( a + 2b + 3c )( + a 2b 3c a a 2b 2b 3c 3c 2b a 3c a 3c 2b = 3+ + + + + + ≥3+ 6 = 9 a 2b a 3c 2b 3c
当且仅当 a = 2b = 3c 时等号成立即 a = 3,b =

3 ,c = 1 时等号成立. ………10 分 2

第一次诊断文科数学答案 第 5 页(共 5 页)


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