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多面体外接球问题的变式探究

【学法指导】

多面体外接球问题的变式探究
陈志超
(辽宁省大连市金州高级中学, 辽宁 大连 116100)
多面体的外接 球问题是有关球的问题的 基本题型之一, 它能 全方 立体几何是培养空间想象能力很好的素材, 摘要: 这类问题由于不易画图而变得抽象难解, 解决此类问题常有两 种策略: 位、 多 角度 、 深层次考查空间想象能力。 一是通过 “截面” 把立体几何问题转化为平面问题, 二是构造典型的几何体模型。 转化; 构造 关键词: 立体几何; 空间想象能力; 中图分类号: G632.41 文献标志码: A 文章编号: 1674-9324 (2013) 17-0112-02

【例题】 一个正四面体的所有棱长 都为a, 四个顶 点在 同一个球面上, 求此球的表面积. 分析: 求解球的表面积或体积关键就是解决球的半径R. 解法一: 设AO1是正四面体ABCD的高, 则它的外接球的球 心就在AO1上, 设其为O, 则OA=OD=R, 易知O1D= √ 3 a , 3 AO1= √ 6 a,在Rt△OO1D中, 3 ∵OO12+O1D2=O1D2, ∴ (√6 3
2 2 a-R) + ( √ 3 a) =R2, ∴R= 3

易知OO1= a , O1A= √ 3 a, 所 勾股定理得OO12+O1A2=OA2, 2 3 2 2 2 以OA2= 7a , 即R2= 7a , 所以S球 =4πR2= 7πR . 12 12 3 [变式2] 已知 P、 A、 B、 C是球O 面上 的 四 点, PA、 PB、 PC 两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 求球的体积与表面积。 分 析: PA、 PB、 PC 两 两垂 直, 且 PA=PB=PC=1 所 符 合 正 方 体的 特 点 , 以 构 造 正 方 体。 正 方 体 的 棱 长 为 1, 所以对 角线 长为 √ 3 ,所以半径R= √3 , 所 以 外接 球的体 2

√ 6 a, ∴ 外 接 球的 表面 积 4 S=4πR2= 3 πa2. 2 解法二:如图 ,构造正方 体,所 以 正方 体的棱 长为 √ 2 a , 正 方 体的 对 角 线 为 外 接 球的 直 径, 其 长度 为 2 √ 6 a, 所以 R= √ 6 a, 所以 2 4 外 接 球 的 表 面 积 S=4πR2 3 2 2 πa . 注: 法一是利用空间几何 体的对称性判断球心的位置, 通 常 过多 面 体的一 条 侧 棱 和 球心、 接点做 出截面图 , 通过 “截面” 把立体几何问题转化为平面问题, 可用球的截面性 解直角三角形求得半径, 体 质, 借助题设给定的等量关系, 类似于这样 现了解决立体几何问题最重要的思想—转化, 正四棱锥 等都 可以 采 的几何体, 如: 正三棱锥、 正三棱柱、 用这种方法; 法二是根据已知几何体的特殊性, 构 造典型 的几何体模型, 如正方体等。 所有棱长 都为 a [变式1]设三棱柱的侧棱垂直 于底面, 则该 球 , 顶 点都在一个球 面上, 的表面积为_______. 分析:根 据已 知条件可 知 此 三棱柱 为正三 棱柱,再由 空 间 几何体的对称 性,外 接球的 球 心位于 上下底面 的中 心连 线 的中点, 所以在Rt△OO1A中, 由

表面积为S=4πR2=3π. 积V= 4 =πR3= √ 3 π, 2 3 [变 式3] 已 知 S、 A、 B、 C 是球 O 表面 上 的 点, SA ⊥ 平面 ABC, AB⊥BC, SA=AB=1, BC= √ 2 , 求球O的表面积. 分 析 : 由 SA ⊥ 平 面 ABC, 得 SA ⊥AB, SA ⊥BC, 又 AB ⊥BC, SA=AB=1, BC= 对 所以补成长方 体, √2 , 角线 SC=2,所 以 外 接球 半 径R=1,所以球O的表面积 S=4πR2=4π. [变 式4] 一个 几何 体的 三 视 图如 图 所 示,其 中 主 视图和左视图是腰长为1的两个全等的等 腰直角三 角形, ( 则该几何体的外接球的表面积为 ) A.12π B.4 √ 3 π C.3π D.12 √ 3 π 分析: 由三视图可判断该几何体是有一条侧棱垂直于 底面的四棱锥。如图四棱锥A—BCDE, 可将其还原成一个 球的 直 正方体, 则四棱锥的外接球即为 正方体的 外接球, 则外接球的面积S=3π, 选C. 径为AC= √ 3 ,

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【学法指导】

浅谈小学数学教学中的学法指导
程明义
四川 (四川省平昌县云台小学, 平昌 636446)
在小学数学教学过 程中, 要重视学生的学习 过程, 研究学生的学习方 法, 让学生 “ 会学” “ 爱学” 、 , 掌握学习 方 摘要: 要真正让学生从单纯的 与 “发现学习 ” 积极 法, 进行有效的学习。在教学中, “接受学习” 转变为 “接受学习” 的有机结合, 实施 “自主、 合作、 探究” 的学习方式, 在发挥教师角色的作用下培养孩子们的自主学习, 发现 问题, 解决问题的能力。 探究; 总结 关键词: 学法; 预习; 质疑; 中图分类号: G622.0 文献标志码: A 文章编号: 1674-9324 (2013) 17-0113-02

学习方法是学校教育领域的一个重要课题,也是课程 改革的一个主要内容之一。基础教育课程改革强调了对学 生的学习方法的指导,这对一线教师的工作提出了新的要 求和挑战。学习方法是学生完成学习任务时基本的行为和 认知取向。 在现在的教学中, 还有不少教师进行的教学模式 仍是传统的灌输、 填鸭式; 学生的学习方式基本上是听讲、 练习、再现老师传授的知识,学生基本处在被动接受的状 态。 要真正让学生从单纯的 “接受学习” 转变为 “接受学习” , “自主、 合作、 探究” 的学 与 “发现学习” 有机结合, 积极实施 发现 习方式, 教师在教学中要注意培养孩子们的自主学习, 问题, 解决问题的能力。因此在小学数学教学过程中, 要重 视学生的学习过程,研究学生的学习方法,要让学生“会 学” “ 、爱学” , 掌握学习方法, 进行有效的学习。我认为在数 学课堂教学中加强对学生的学法指导应做到以下几点。 一、 激发学生学习数学的兴趣 在小学数学教学中,学生学习数学的兴趣对于学习效 果起着重要的作用。 由于年龄和认知水平的影响, 小学生对 枯燥的数理、 公式等缺乏兴趣。因此在教学过程中, 教师应 采用多种方法激发学生学习数学的兴趣。 比如: 及时准确的 巧用竞赛、 结合 进行鼓励、 创设问题情境、 借助多媒体教学、 学数学的浓厚兴趣。 生活实际等都能引起学生爱数学、 二、 教给学生阅读教材的方法 阅读教材是实现学生自我教育、 学习的途径。在数学 课堂上指 导学生阅读教材, 是完成教学任 务, 提高学 生学

习成绩, 掌握学习方法的重要途径之一。小学数学教师应 (1) 指导学生从三个方面进行阅读数学教材。 指导学生课 预习习惯 前预习教材。课前预习是一种良好的学习习惯, 是学生学习过 的养成对于学生的自学能力有很大的帮助, 程中的首要环节。 教学前, 学生通过课前预习, 对所学习的 内容有了一定的认识, 将一些简单易懂, 自己 有兴趣 的内 容进行了内化, 并产生了困惑和疑问, 在 课堂上 学生提 出 问题, 师生共同探讨。这样既能激起学生的学习兴趣和解 为掌 握新知识做 决问题的欲望, 又能使听 课具有针对性, 对将要学习 好心理的准备。课前教师指导学生预习教材, 的 新知识进行自学, 要提出一些有探究性 的问题, 学生 为 了 解 决问题 , 就有 了学 习的 欲 望、 学 习 的 动力 、 学 习 的目 标, 对学习就会产生兴趣。 学生课前通过预习教材, 结合生 体会到数学就在身边, 领 活实际, 收集生活中的数学问题, (2) 悟到数学的魅力, 就能提高学习数学的乐趣。 指导学生 在课堂上看书。有些教材中的内容比较简单易懂, 学生通 过自主学习就可以掌握, 教师只需要加以指 导, 提出 注意 的地方, 然后让学生自己通过动手操作、 实践、 探究、 分析、 总结得出结论, 让学生在阅读教材的过程中主动经历知识 促使学生思维的发展, 的形成过程, 了解知识的来龙去脉, (3) 激发和培养学生的创新意识。 指导学生课后自读课本。 若 知识在经过人们的反复阅读之后,会形成短暂的记忆, 是及时复习, 就会被人们 牢记, 所以指导 学生课后再读 课 本, 及时巩固, 经学到的知识转化成自己 容易理解 记忆的

[变式5]直三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在同一球面上, 若AB=AC=AA1=2, ∠BAC=120°, 求此球的表面积. 分析: 由已知条件, 可补成一个正六棱柱, 正六棱柱最 径 R= √ 5 , 所以外接 球 的面积S=4πR2=20π. 以上是 对多 面体 外 接 球问 题的几 种变式 探 究 ,如果 一个 几何 体的 所有顶 点都在 另一个 几 何 体的 表面上 称这两 个 几何体相接,明 确 接点 的位置 ,确定 有 关元 素 间 的数 量关系,并 做出 合适的截面图, 截面能够暴露出球与其他多面体间的相互 位置关系, 使空间问题转化成平面问题求解。 若球与柱、 锥 长 的对角 线为外 接 球的直 径, 易 得直 径为 2 √ 5 , 所以 半

等的组合体中, 当柱或锥具有特 定形状 时, 将其 补成 正方 体或长方体, 对于计算球与柱或锥的相关 量有 很好的 “平 台” 作用, 这种构造典 型几何体模型的思 想在解 决其他立 体几何问题时也具有很好的优越性, 应当注意这类问题的 应用。 从这几年的高考试卷上看,对空间想象能力的考查, 一般是集中体现在立体几何试题上的, 对球与多面体的考 题, 一般以基础题为主.解决这类题目, 需要掌握相关 的截 希 面图和结论.事实上, 球与多面体之间还有相切的问题, 望在以后的教学过程中不断探究和总结。
参考文献: [1]教育 部 2003 《普通高中数 学课 程标 准》 (实验 稿) [M].北 京: 北 京师范大学出版社. [2]试题调研[M].乌鲁木齐: 新疆青少年出版社, 2012.

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多面体外接球问题的变式探究
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 陈志超 辽宁省大连市金州高级中学,辽宁 大连,116100 教育教学论坛 jiaoyu jiaoxue luntan 2013(17)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jyjxlt201317081.aspx


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