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四川省成都高新区2016届高三上学期11月月考数学(理)试卷(含答案)


2015 年高 2016 届成都高新区 11 月统一检测

数 学 (理 )
(考试时间: 11 月 5 日下午 2:00—4:00 总分:150 分)

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
1.设集合 M ? {x ? R | x2 ? 3x ? 10 ? 0} , N ? {x ? Z || x |? 2} ,则 M ? N ? ( ▲ ) A. (?2, 2) B. (1, 2) C. {?1, 0,1} D. {?2, ?1,0,1, 2} 2.在复平面内,复数 z ?

1 对应的点位于( ▲ ) 2?i

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.等差数列{a n }中,如果 a1 ? a4 ? a7 =39 , a3 ? a6 ? a9 =27 ,数列{a n }前 9 项的和为( ▲ ) A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看 作时间 t 的函数,其图像可能是( ▲ )

5.已知 a, b 是两个向量, a ? 1, b ? 2 且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为( ▲ ) A. 30 ? C. 120
? ? B. 60 ? D. 150

?

?

6 .如右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积是 ( ▲ ) A. 4 ? 4? C. 4 ? 2?

24 ? 2? 3 12 ? 2? D. 3
B.

7.已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=( ▲ ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 8.阅读程序框图,若输入 m=4,n=6, ,则输出 a,i 分别是( ▲ ) A. a ? 12, i ? 4 B. a ? 12, i ? 3 C. a ? 8, i ? 4 D. a ? 8, i ? 3

9.将函数 f ? x ? ? cos 2 x 的图象向右平移 A.最大值为 1,图象关于直线 x ? B.在 ? ?

?
2

? 个单位后得到函数 g ? x ? ,则 g ? x ? 具有性质( ▲ ) 4

对称

x2 y2 10.已知抛物线 y2=4x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于 A,B 两点, a b 3 O 为坐标原点,且△AOB 的面积为 ,则双曲线的离心率为( ▲ ) 2 3 A. 4 B.3 C. 2 D. 2 11.若实数 a,b,c,d 满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2 的最小值为( ▲ ) A.8 B.9 C.2 D.1 12. 函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称, 当 x∈(-∞, 0)时, f(x)+xf′(x)<0 成立, 若 a=20.2· f(20.2), b=ln 2· f(ln 2),c=( log 1
2

? 3? ? ? , ? 上单调递增,为偶函数 ? 8 8? ? 3? ? C.周期为 ? ,图象关于点 ? , 0 ? 对称 ? 8 ? ? ?? D.在 ? 0, ? 上单调递增,为奇函数 ? 4?

1 1 )· f( log 1 ),则 a,b,c 的大小关系是( ▲ ) 4 2 4
C.c>a>b D.a>c>b

A.a>b>c

B.b>a>c

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?x ? 0 ? 13.在约束条件 ? y ? 1 下,目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ▲ ?2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
14.设函数 f ( x) ? ?

.

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log2 12) ?



.

15.在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中,侧棱垂直于底面, AB ? BC ? CA ? 3 , AA 1 ? 2 2 ,则该三棱 柱外接球的表面积等于 ▲ . ▲ .

1 16.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- n,n∈N*,则 S1+S2+…+S100= 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步 骤)
17.(本题满分 12 分)

已知 f ? x ? ? (Ⅰ)求 f ?

? 3? ? 3 sin ?? ? ? x ? sin ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最小正周期为 T ? ? . ? 2 ?

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c ,若有 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C ,则求 角 B 的大小以及 f ? A ? 的取值范围. ▲ 18. (本小题满分 12 分) 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动. 为了了解本次竞赛学生成绩情况, 从中抽取了部分学生

? 2? ? 3

? ? 的值; ?

的分数 (得分取正整数, 满分为 100 分) 作为样本 (样本容量为 n) 进行统计. 按照 ?50,60? , ?60,70? ,

?70,80? ,?80,90? ,?90,100? 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出 了得分在 ?50,60? , ?90,100? 的数据).

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同学到市政广 场参加环保知识宣传的志愿者活动,设 ? 表示所抽取的 3 名同学中得分在 ?80,90? 的学生个 数,求 ? 的分布列及其数学期望. ▲ 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC, ∠ADC=90° ,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,

PA ? PD ? 2 , BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

(Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若二面角 M-BQ-C 为 30° ,设 PM=tMC,试确定 t 的值. ▲

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 点 a 2 b2

B(0, 3) 为短轴的一个端点, ?OF2 B ? 60? . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,过右焦点 F2 ,且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, A 为椭圆的右顶 点, 直线 AE, AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N , 线段 MN 的中点为 P , 记直线 PF2 的斜率为 k ' . 求证: k ? k ' 为定值.


21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax ( a ? R ). (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间;
1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, 0),B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 , 求证: f ?(
x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

▲ 22. (本小题满分 10 分)

? ?x ? ? 已知直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

2 t, ? 2 ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . (t 是参数) 4 2 t ? 4 2, 2

(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.



高三数学组

2015 年高 2016 届成都高新区 11 月统一检测数学(理)答题卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

成都市中和中学

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.______________

14.______________

15.______________

16.______________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 12 分)

19.(本小题满分 12 分)

20.(本小题满分 12 分)

21.(本小题满分 12 分)

22.(本小题满分 10 分)

2015 年高 2016 届成都高新区 11 月统一检测 数学(理)标准答案与评分细则
一、选择题 CDBAC 二、填空题 13. 12 三、解答题 17.解: (Ⅰ) f ? x ? ? 3sin ?x cos ?x ? cos2 ?x ? DABDC 14. 9 AB 15.

12?

16.

1? 1 ? 100-1 ? 3?2

?? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?
? y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? ,

3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2
------2 分

2? ? ? ? ? ?1 2?

?? 1 ? -------------4 分 ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? , 6? 2 ? 7? 1 ? 2? ? ? 2? ? ? 1 ------------6 分 ?f? ? ? ? ? sin ? ? ?1 ? ? sin ? 2 ? 3 6? 2 6 2 ? 3 ? ? (Ⅱ)? ? 2a ? c ? cos B ? b cos C
∴由正弦定理可得: ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ? ? sin ?? ? A ? ? sin A

? sin A ? 0

? cos B ?

1 2

? B ? ? 0,? ?

?B ?

?
3

-------------9 分

2 ? 2 ? ? A?C ?? ? B ? ? ? A ? ? 0, ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? 7 ? ?? ? 1 ? ? ?2A ? ?? ? , ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ,1? 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ? ? ? 1 ? 1? ? -------------12 分 ? f ? A? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?1, ? . 6? 2 ? 2? ?
18. 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

(Ⅱ)由题意可知,分数在 ?80,90? 有 5 人,分数在 ?90,100 ? 有 2 人,共 7 人,抽取的 3 名同学中 得分在 ?80,90? 的学生个数 ? 的可能取值为 1,2,3,则
1 2 1 3 C5 C2 C52C2 C5 5 1 20 4 10 2 ? ? , P ( ? ? 2) ? ? ? , P ( ? ? 3) ? ? ? 3 3 3 C7 35 7 C7 35 7 C7 35 7

8 2 ? 50, y ? ? 0.004, 0.016 ?10 50 ?10 x ? 0.1 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.04 ? 0.030 (3 分)

P(? ? 1) ?

所以, ? 的分布列为

?
P 所以, E? ? 1?

1

2

3

1 7

4 7

2 7

1 4 2 15 ? 2 ? ? 3 ? ? (12 分) 7 7 7 7

19. 解:(Ⅰ)证法一:∵AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° ,即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ?平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 P…4 分 证法二:AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° . ∵PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD?平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.……………………4 分 (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD.

∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD.如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 Q(0,0,0), 设 M(x,y,z),则 , , , ;…………………………………5 分 , .



,∴

,∴ , ,

在平面 MBQ 中,

∴平面 MBQ 法向量为 ∵二面角 M﹣BQ﹣C 为 30° ,

………………………………………8 分

∴ 20. 解:

,∴t=3.……………………12 分

(Ⅰ)由条件 a ? 2, b ? 3 …………2 分

x2 y2 ? ? 1. 4 3 (Ⅱ)设过点 F2 (1, 0) 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) .
故所求椭圆方程为

…………4 分 ………5 分

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 可得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 …………6 分 ?1 ? ? 3 ?4 因为点 F2 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,即 ? ? 0 恒成立.
设点 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则

4k 2 ? 12 . …………7 分 4k 2 ? 3 y1 ( x ? 2) , 因为直线 AE 的方程为: y ? x1 ? 2 x1 ? x 2 ? 8k 2 , 4k 2 ? 3 x1 x 2 ?

y2 ( x ? 2) , ………8 分 x2 ? 2 y1 y ) , N (3, 2 ) , 令 x ? 3 ,可得 M (3, x1 ? 2 x2 ? 2
直线 AF 的方程为: y ?

所以点 P 的坐标 (3, (

y 1 y1 ………9 分 ? 2 )) . 2 x1 ? 2 x2 ? 2 y2 1 y1 ( ? )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 y 1 y 直线 PF2 的斜率为 k ' ? ? ( 1 ? 2 ) 3 ?1 4 x1 ? 2 x2 ? 2 1 x y ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) ? ? 1 2 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ……10 分 ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 2 2 1 3 4 k ? 3 4 k ? 3 ?? ? ? 2 2 4k 4k ? 12 8k 4 ? 2? 2 ?4 2 4k ? 3 4k ? 3 3 所以 k ? k ? 为定值 ? . ………12 分 4 2k ?
21. 解: (I) f ( x) 的定义域为 (0, ??) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 2lnx ? x 2

2 ?2( x 2 ? 1) ?2( x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? …………1 分 x x x 由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ? f ( x) 的单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1, ??) …………3 分 f '( x) ?
(Ⅱ) g ( x) ? 2ln x ? x2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 故 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e 1 ∴ g ( x) 在 [ ,e] 上的最小值是 g (e) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 e
? g (1) ? m ? 1 ? 0, 1 1 g ( x) 在 [ ,e] 上有两个零点的条件是 ? 解得 1 ? m ? 2 ? 2 , 1 1 ? e e ? g ( ) ? m ? 2 ? 2 ? 0, ? e e

1 ∴实数 m 的取值范围是 (1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 ? 2 ]. · e 0) B( x2, 0) , (Ⅲ)∵ f ( x) 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A( x1,,

?2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0, ? ∴方程 2ln x ? x2 ? ax ? 0 的两个根为 x1,x2 ,则 ? 两式相减得 2 ? ?2ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0, 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 a ? ( x1 ? x2 ) ? .又 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax , f ?( x) ? ? 2 x ? a ,则 x1 ? x2 x
f ?( x1 ? x2 2(ln x1 ? ln x2 ) 4 4 . ? )? ? ( x1 ? x2 ) ? a ? x1 ? x2 x1 ? x2 2 x1 ? x2

下证

x 2(ln x1 ? ln x2 ) 4 ,即证明 2( x2 ? x1 ) ? ln x1 ? 0 , t ? 1 , ? ? 0 (*) x ? x x x1 ? x2 x1 ? x2 x2 1 2 2

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ 0 ? t ? 1 ,即证明 u(t ) ?

2(1 ? t ) · · · · · · · · · · · · ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立.· t ?1

10 分
? t) 1 1 4 (t ? 1) 2 ∵ u ?(t ) ? ?2(t ? 1) ? 2(1 ,又 0 ? t ? 1 ,∴ u ?(t ) ? 0 , ? ? ? ? 2 2 (t ? 1) t t (t ? 1) t (t ? 1) 2 ∴ u (t ) 在 (0,1) 上是增函数,则 u (t ) ? u (1) ? 0 ,从而知 2( x2 ? x1 ) ? ln x1 ? 0 , x1 ? x2 x2

故(*)式<0,即 f ?( x1 ? x2 ) ? 0 成立………….
2

12 分

22.解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? c o ? s ? 2? s i n ?,

……… 2 分 …3 分

?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) …5 分 2 2 2 2 (II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2 …………8 分 ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 …………10 分 (
方法 2:?直线l的普通方程为 x? y?4 2 ?0 ……… …6 分

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ?5 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 …10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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