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2016年江西八所重点中学高三联考理科数学试题


江西省八所重点中学盟校 2016 届高三联考试卷 理科数学和答案
命 题: 九江一中 郭庆志 赣州一中 徐义华 曾广军 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) . 1.若集合 A ? ?x y ? ln x A. [0,1]

? , B ? ?x

x 2 ? x ? 0 ,则 A ? B ?
C. (1, ??) D. (??, ?1)

?

B. (??, 0)

2.“ m ? 1 ”是“复数 z ? m 2 ? mi ? 1 为纯虚数”的 3.A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 条件 3.《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、 第五日、第八日所织之和为十五尺,则第十日所织尺数为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 C.充要条件 D.既不充分也不必要

4.已知向量 a ? ( 2,?3), b ? ( 3,2) ,则 a 与 b A.平行且同向 B.垂直 C.不垂直也不平行 D.平行且反向

1 ?? ? ? 5.若 ? ∈ ? , ? , sin 2? = ,则 cos ? - sin ? 的值是 16 ?4 2?
A.

15 4
n

B. ?

15 4

C.

1 4

D. ?

1 4

6.若 ? x ?

2 ? ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x2 ? A. 180 B. 120 C. 90 D. 45

? ?

7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为

A. 9

B. 11

C. 13

D. 15

8.如图为某几何体的三视图,则该几何体的的表面积为
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A. 28 B.

B. 30

C. 18 ? 4 2

D. 18 ? 6 2

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 9.已知不等式组 ? x ? 3, 表示的平面区域为 D ,若函数 y ? x ? 2 ? m 的图象上存 ?x ? y ?1 ? 0 ?
在区域 D 上的点,则实数 m 的取值范围是 A. [?3,1] B. [ ?3, ]

3 2

C. [ ?1, ]

3 2

D. [ ?1,1]

10.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (2,??) 上单调递减,且 y ? f ( x ? 2) 为偶函数,则关 于 x 的不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 0 的解集为 A. ( ??,? ) ? (2,??)

4 3

B. (?

4 ,2) 3

C. (??, ) ? (2,??)

4 3

D. ( ,2)

4 3

11.以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上一点 M 为圆心的圆与 x 轴恰相切于双曲线的一 a 2 b2

个焦点 F ,且与 y 轴交于 P、Q 两点.若 ?MPQ 为锐角 三角形,则该双曲线的离心率 e 的 .. 范围是 A.

(

6? 2 ,??) 2

B.

(1,

6? 2 ) 2

C . ( 6 ? 2 ,??)

D. (1, 6 ? 2 ) 12.设定义在 (0,??) 的单调函数 f ( x) , 对任意的 x ? (0,??) 都有 f [ f ( x) ? log 2 x] ? 6 . 若

x0 是方程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a, a ? 1)(a ? N ? ) ,则 a ? (
A.4 B.3 C.2 D.1



二.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分). 13.摄像师要对已坐定一排照像的 5 位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有 2 人座位 不调整 ,则不同的调整方案的种数为________.(用数字作答) ... 14.双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 2 x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线的 4 b

方程是________.

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15.已知三棱锥 A ? BCD 中,AB、AC、AD 两两垂直且长度均为 10 , 定长为 m (m ? 6) 的 线段 MN 的一个端点 M 在棱 AB 上运动,另一个端点 N 在 ?ACD 内运动(含边界) ,线段

MN 的中点 P 的轨迹的面积为 2? ,则 m 的值等于________.
16. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? ?1, an ? an ?1 ? 2
n ?1

(n ? N , n ? 2), 且 {a2 n ?1} 是 递 减 数 列 ,

{a2 n } 是递增数列,则 a2016 ? ________.
三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 已知锐 .角 . ?ABC 中 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 的 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 满 足
2 a 2 ? b 2 ? 6ab cos C ,且 sin C ? 2 3 sin A sin B .

(Ⅰ)求角 C 的值; ( Ⅱ ) 设





f ( x) ? sin(?x ? ) ? cos ?x (? ? 0) , 且f ( x) 图 象 上 相 邻 两 最 高 点 间 的 距 离 为 ? , 求 6
f ( A) 的取值范围.
18.(本小题满分 12 分) 2016 年年初为迎接习总书记并向其报告工作,省有关部门从南昌大学校企业的LED 产品中抽取 1000 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如下频率分布直方图: (Ⅰ)求这 1000 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 (同一组数据用该区间的中 点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,其
2

?

中 ? 近似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s 2 .

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(i)利用该正态分布,求 P (175.6 ? Z ? 224.4) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间 (175.6 , 224.4) 的产品件数,利用(i) 的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.若 Z ~ N ( ? , ? 2 ) ,则 P ( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826,

P( ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

19.(本题满分 12 分) 如 图 , 在 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 面 ACC1 A1 与 侧 面

CBB1C1 都是菱形, ?ACC1 ? ?CC1 B1 ? 600 , AC ? 2 .
(Ⅰ)求证: AB1 ? CC1 ; (Ⅱ)若 AB1 ?

6 ,求二面角 C ? AB1 ? A1 的正弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 C1 : ( x ? 1) ? y ? 25 ,圆 C2 : ( x ? 1) ? y ? 1 ,动圆 C 与圆 C1 和圆 C2 均内切.
2 2 2 2

(Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)点 P (1, t ) 为轨迹 E 上点,且点 P 为第一象限点,过点 P 作两条直线与轨迹 E 交 于 A, B 两点,直线 PA, PB 斜率互为相反数,则直线 AB 斜率是否为定值,若是,求出定值; 若不是,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ( x ? mx) ln( x ? 1 ? m) (m ? R ) ,方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根.
3 2

(Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使得 f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 且满足 x2 ? 2 x1 , 若存在,求实数 m 的值;若不存在,说明理由. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
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如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B ,点 C 在圆上, ?ABC 的角平分线 BE 交圆于 点 E , DB 垂直 BE 交圆于点 D . (Ⅰ)证明: DB =DC ; (Ⅱ)设圆的半径为 1, BC =3 ,延长 CE 交 AB 于点 F ,求 ?BCF 外接圆的半径. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos ? , ,以坐标原点为极点, x 轴的非负 (?为参数) ? y ? 2 sin ?
6 4 ? 5 sin 2 ?
, 正方形 ABCD 的

半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 2 的极坐标系方程是 ? ?

顶点都在 C1 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, (Ⅰ)求点 A, B, C , D 的直角坐标;

?
6

).

(Ⅱ)设 P 为 C2 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 关于 x 的不等式 lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ? m . (Ⅰ)当 m ? 1 时,解此不等式; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ,当 m 为何值时, f ( x) ? m 恒成立?

2

2

2

2

江西省八所重点中学盟校 2016 届高三联考理科数学答案
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1--5.CACBB 6--10AADBD 11--12BD

二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分) 13.

20

14. y ? ? x

15. 4

16.

2 2016 ? 1 3

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(Ⅰ)因为 a 2 ? b 2 ? 6ab cos C ,由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos C 所以 cos C ?
2

c2 4ab

............. .......2 分

又因为 sin C ? 2 3 sin A sin B ,则由正弦定理得: c ? 2 3ab ,.........4 分
2

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c2 2 3ab 3 ? 所以 cos C ? ,所以 C ? .............6 分 ? ? 4ab 4ab 2 6
(Ⅱ) f ( x) ? sin(?x ? 由已知

?
6

) ? cos ?x ? 3 sin(?x ?

?
3

)

2?

?
?

? ? , ? ? 2 ,则 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) .............9 分

5? ? ? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? . 6 6 3 2 2 2 ? 4? 3 所以 ? ? 2 A ? ? ,所以 ? ? f ( A) ? 0 ......12 分 3 3 2
因为 C ? ,B ? 18.解: (I)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 分别为

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33

?210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200 .
s 2 ? (?30) 2 ? 0.02 ? (?20) 2 ? 0.09 ? (?10) 2 ? 0.22
?0 ? 0.33 ? 102 ? 0.24 ? 202 ? 0.08 ? 302 ? 0.02 ? 150.
(II) (i)由(I)知, Z ~ N (200,150) ,从而

??3 分

??6 分

P(175.6 ? Z ? 224.4) ? P(200 ? 2 ?12.2 ? Z ? 200 ? 2 ?12.2) ? 0.9544

??9 分

(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间 (175.6 , 224.4) 的概率为 0.9544 , 依题意知 X ~ B (100,0.9544) ,所以 EX ? 100 ? 0.9544 ? 95.44 ??12 分

19. 解: (Ⅰ)证明:连 AC1,CB1,则△ACC1 和△B1CC1 皆为正三角形. 取 CC1 中点 O,连 OA,OB1,则 CC1⊥OA,CC1⊥OB1,则 CC1⊥平面 OAB1,则 CC1⊥AB1.??? 4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,OA=OB1= 3 ,又 AB1= 6 , 所以 OA⊥OB1.如图所示,分别以 OB1,OC1,OA 为正方向建立空间直角 坐标系, 则 C(0,-1,0) ,B1( 3 ,0,0) ,A(0,0, 3 ) ,?? 6 分 设平面 CAB1 的法向量为 m=(x1,y1,z1) , 因为

???? ???? AB1 ? ( 3, 0, ? 3) , AC ? (0, ?1, ? 3) ,

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所以 ?

? ? 3 ? x1 ? 0 ? y1 ? 3 ? z1 ? 0 ? ? 0 ? x1 ? 1? y1 ? 3 ? z1 ? 0

,取 m=(1,- 3 ,1) .

??? 8 分

设平面 A1AB1 的法向量为 n=(x2,y2,z2) , 因为

???? ???? AB1 ? ( 3, 0, ? 3) , AA1 ? (0, 2, 0) ,
所以 ?

? ? 3 ? x2 ? 0 ? y2 ? 3 ? z2 ? 0 ,取 n =(1,0,1) . 0 ? x ? 2 ? y ? 0 ? z ? 0 ? ? 1 1 1

??? 10 分

?? ? ?? ? m?n 2 10 则 cos ? m, n ?? ?? ? ? , ? 5 | m || n | 5? 2
所以二面角 C-AB1-A1 的正弦值为

15 . 5

?? 12 分

20.(1)设 C 点坐标为 ( x, y ) ,圆 C 的半径为 R .则 CC1 ? 5 ? R, CC2 ? R ? 1 从而 CC1 ? CC2 ? 4 ,所以圆心 C 的轨迹 E 是以 C1 , C2 为焦点,以 4 为长轴长的椭圆.

x2 y2 所以动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程为: ? ? 1 .??4 分 4 3
(2)由(1)轨迹 E 的方程为:

x2 y2 3 ? ? 1 ,代入得点 P(1, ) , 4 3 2
3 ? k ( x ? 1) , 联 立 椭 圆 方 程 , 得 2
, 则

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 设 直 线 PA : y ?

3 3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k ( ? k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 2

4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 12k ? 3 , x1 x p ? , 故x1 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
同理: x2 ?

4k 2 ? 12k ? 3 , 3 ? 4k 2

??8 分

k AB

3? ? 3? ? ? k ( x2 ? 1) ? ? ? ?k ( x1 ? 1) ? ? ? y ?y 2? ? 2 ? ? k ( x2 ? x1 ) ? 2k 1 ? 2 1?? ? ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 2
1 . 2
??12 分
3 ? ? x ? mx ? 0, 2 或 ln( x ? 1 ? m) ? 0 2 ? ?x ? 1 ? m ? 0

故直线 AB 斜率为定值

21.(1)解:由 f ( x) ? 0 得: ?

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可得 ?

? x 2 ? m, ? x ? 0, 或? ?1 ? m ? 0 ?m ? 0
' 2 2

方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根, 从而 0 ? m ? 1 .??4 分

(2)? f ( x) ? (3 x ? m) ln( x ? 1 ? m) ?

2 x 2 ( x 2 ? m) x2 ?1? m
2t (t ? m) ∴ g (0) ? ? m ln(1 ? m) ? 0 t ?1? m

令 x 2 ? t ,设 g (t ) ? (3t ? m) ln(t ? 1 ? m) ?

2(1 ? m) 2?m ? 0 ? m ? 1,? 2 ? m ? 1? g (1) ? 0, g (m) ? 0 g (1) ? (3 ? m) ln(2 ? m) ?
m ) m m m m m m2 2 g ( ) ? ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? ) ? m 2 2 2 2 2 2?m 1? 2 m ? (?
1 m m ? 0 ? m ? 1? ? 1 ? ? 1,2 ? m ? 0 ? g ( ) ? 0 2 2 2
∴存在 t1 ? (0,

m m ) ,使得 g (t1 ) ? 0 ,另外有 m ? ( ,1) ,使得 g (m) ? 0 . 2 2

??8 分

假设存在实数 m ,使得 f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 ,且满足 x2 ? 2 x1

则必有x1 ? (0,

m ), 使得f ' ( x1 ) ? 0, 2

另外有f ' ( m ) ? 0, 即x2 ? m ? x1 ? m m ? (0, )这与前面矛盾. ? 假设不成立. 2 2
. ??12

即不存在实数 m ,使得 f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 ,且满足 x2 ? 2 x1 分 22.(1)连接 DE ,交 BC 于点 G , 由弦切角定理得, ?ABE ? ?BCE . 而 ?ABE ? ?CBE ,故 ?CBE ? ?BCE , BE ? CE . 又 DB ? BE ,所以 DE 为直径,则 ?DCE ? 90? , 由勾股定理可得 DB ? DC . ??5 分 (2)由(1)知, ?CDE ? ?BDE , DB ? DC , 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG ?

3 .设 DE 的中点为 O ,连接 BO , 2

则 ?BOG ? 60? ,从而 ?ABE ? ?BCE ? ?CBE ? 30? , 所以 CF ? BF ,故 Rt ?BCF 外接圆的半径等于

3 . 2

??10 分

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23.(1)曲线 C1 的普通方程是 x ? y ? 4 ,极坐标方程是 ? ? 2 .
2 2

? 2? 7? 5? ? 点 A, B, C , D 的极坐标为 (2, ), (2, ), (2, ), (2, ), 6 3 6 3
从 而 点

A, B, C , D













( 3 ,1), (?1, 3 ), (? 3 ,?1), (1,? 3 ) .
(2) )曲线 C2 的普通方程是

??5 分

?x ? 3cos? x2 y2 (?为参数) ? ? 1 ,参数方程是 ? 9 4 ? y ? 2sin?

故可设 P (3 cos ? ,2 sin ? ) 其中 ? 为参数.

t ? PA ? PB ? PC ? PD

2

2

2

2

? 36 cos 2 ? ? 16 sin 2 ? ? 16 ? 32 ? 20 cos 2 ?
PA ? PB ? PC ? PD 的最大值为 52 .
24.解:(Ⅰ)当 m ? 1 时,原不等式可变为 0 ?| x ? 3 | ? | x ? 7 |? 10 , 可得其解集为 {x | 2 ? x ? 7}. (Ⅱ)设 t ?| x ? 3 | ? | x ? 7 | , 则由对数定义及绝对值的几何意义知 0 ? t ? 10 , 因 y ? lg x 在 (0, ? ?) 上为增函数, 则 lg t ? 1 ,当 t ? 10, x ? 7 时, lg t ? 1 , 故只需 m ? 1 即可, 即 m ? 1 时, f ( x) ? m 恒成立. ??????? 10 分 ??????? 9 分 ????? 7 分 ??????? 4 分
2 2 2 2

??10 分

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